X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Частные производные потенциальной функции Ф(х,у) и функции тока Ф(х,у) выражаются через функции и(х,у) и е(х, у) следующим образом: дФ вЂ” = и(х,у), дх дФ вЂ” = -и(х,у), дх (5.48) дФ вЂ” = и(х,у). ду дФ вЂ” = о(х,у); ду где — в данном случае обозначает частную производную по д дл аппликате точки. Векторные линии плоскопараллельного векторного поля Дх) = и(х,у) + се(х,у) описываются дифференциальным уравнением йх йу и(х,у) п(х,у) или о(х,у) ох — и(х, у) оу = О. (5.44) Условие соленоидальности векторного поля означает, что выражение — п(х, у) ох + и(х, у) оу является полным дифференциалом некоторой скалярной функции Ф(х,у), а уравнение векторных линий является уравнением в полных дифференциалах.
Итак, 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 178 Из этих выражений видно, что потенциальная функция и функция тока являются сопряженными гармоническими функциями в области дифференцируемости функций и(х,у) и о(х,у), а функция комплексного переменного И'(г) = Ф(х,у) + ю'Ф(х,у) аналитична в этой области. Через функцию И'(г) можно записать основные характеристики плоского лапласова поля у (г). Во-первых, само векторное поле у (г) можно записать так: дФ, дФ у(г) = и(х,у)+т(х,у) = — — г' — = И'(г). (5.49) ах а Во-вторых, с помощью этой функции можно записать нотон плоского еенторного полл.
В общем случае поток векторного поля г через поверхность Я с заданным направлением единичной нормали по выражается поверхностным интегралом от скалярного произведения ге~ по поверхности Я. Но если поле является плоскопарзллельным, направленным вдоль плоскости (г), то поток Я~ этого поля через цилиндрическую поверхность Я, которая образована перемещением вдоль кривой у отрезка единичной длины, перпендикулярного (г), можно записать с помощью криволинейного интеграла вдоль кривой бс 9„= -о(х, у) йх+ н(х, у) йу = сЯ(х, у).
(5.50) Если функция комплексного переменного у(г) задает плоскопараллельное векторное поле скорости текущей жидкости, то по физическому смыслу интеграл в (5.50) равен расходу жидкости через поверхность Я, т.е. количеству жидкости, протекающей в единицу времени через эту поверхность. Далее будем говорить о потоке векторного поля (в частности, о расходе жидкости) через кривую у,имея в виду цилиндрическую поверхность с образующей единичной длины и направляющей у. В-третьих, с помощью функции И~(г) можно записать линебныб интеграл векторного полл 7(г) вдоль кривой ~ (цир- Д.ол.
Комплексный потенцнвл плоского векторного пеке 179 куляцию в случае замкнутой кривой). Этот интеграл представляет собой криволинейный интеграл вдоль у и записывается следующим образом: Гт = и(х, у) Йх+ и(х,у) Иу = НФ(х,у). (5.51) 7 7 Напомним, что для силового векторного поля (например, поля тяготения или электростатического) линейный интеграл выражает работу этого поля при перемещении вдоль кривой единичной массы (единичного заряда). Поток и линейный интеграл являются действительной и мнимой частями комплексного интеграла от производнои функции И'(к): Г +19,,„тл и(х,у)Их+и(х,у)йу+ч' — и(х,у)сЬ+и(х,у)Ир= 7 7 7 у(к) сЬ = И" (к) сЬ. Функцию И'(г) = Ф(х, р) +1Ф(х, у), составленную из потенциальной функции Ф(х,у) и функции тока Ф(х,у) плоского лапласова векторного поля у(к), называют молви.аеисиььи иотпеиииплом этого векторного поля.
Комплексный потенциал и векторное поле связаны соотношением Иг (2) = у(к)> т.е. плоское лапласово векторное поле описывается функци ей комплексного переменного Дк), комплексно сопряженной к аналитической функции Иг'(к). Верно и обратное, т.е. если функция ~(к) аналитична, то плоское векторное поле, заданное функцией „У(к), " „~(к) является лапласовым. Действительно, условия потенциально ьности и соленоик означают выполнение дальности плоского векторного поля 1 (к) овна 180 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ равенств (5.43), в которых нетрудно увидеть условия Коши— Римана для функции ~(г). Аналитичность функции Дл) означает (в случае односвязной области) существование функции И'(я), для которой И"(з) = Дю), т.е. комплексного потенциала.
Отметим, что комплексный потенциал, как первообразная аналитической функции Ц~), определяется с точностью до аддитивной постоянной. Функцию комплексного переменного у(г) = и(х,у) +1в(х,у) можно рассматривать как векторную функцию (и(х, у), о(х, у)) двух переменньпсх и у. С этой точки зрения дФ(х,у), дФ(х,у) И"(я) = ' +с' дх ду дФ(х, у) дФ(х, у) ) Линии равноео потенциала (энвипотенциальные линии) представляют собой линии уровня потенциальной функции Ф(х, у), а линии уровня функции тока Ф(х, у) известны как линии тона (в некоторых приложениях силовые линии).
Линии равного потенциала и линии тока в области Х) описываются соответственно уравнениями Ф(х,у) = сопес и Ф(х,у) = сопзс, (х; у) Е В. (5.52) Если в точке я Е Р функция ~(х) не равна нулю, то И1'(я) = =,Цз) у~ О. В этом случае линия равного потенциала и линия тока, проходящие через зту точку, взаимно перпендикулярны. Действительно, линии Ф(х,у) = сопзС, проходящей через точку я,перепендикулярен вектор градиента / дФ дФ'1 8гас(Ф(х,у) = ~ —, ~дх' ду,~' а линии тока Ф(х,у) перпендикулярен вектор (5.53) 8гас)Ф(х,у) = Д.о.ь Компкексиъп1 потенциал плоского иекториого поки 181 Ясно, что два этих ненулевых вектора взаимно перпендикулярны. Отметим, что вектор ~(л) = 07айФ(х,у) в точке г касается линии тока. При графическом изображении линий тока на них обычно указывают стрелками направление возрастания потенциальной функции.
Если функция ~(я) задает лапласово поле в односвязной области Р на комплексной плоскости (х), то функция Цг) является аналитической в Р и по теореме Коши длл односелэной обласгпи комплексный интеграл от этой функции по замкнутому контуру у с Р равен нулю. Но действительная часть этого интеграла есть циркуляция векторного поля по контуру у, а мнимая часть есть поток векторного поля через кривую 'у. Таким образом, утверждение теоремы Коши означает, что циркуляция лапласова поля по замкнутому контуру и поток лапласова поля через замкнутую кривую равны нулю.
Первое утверждение верно для всех потенциальных полей, а второе— для всех соленоидэльных полей [ЧП]. Пример 5.9. Пусть плоское векторное поле задано в плоскости (х) фУнкЦией 1 (л) = а = а +1аю гДе а, ап — некотоРые действительные числа. Тогда сопряженная ей функция имеет вид ~(з) = а = ат — 1аю и в силу (5.49) комплексный потенциал этого поля равен И~(я) = 1(л)сЬ= асЬ=аг+с= =а х+апу+с, +1(а у — апх+с ), (5.54) где с = с + 1с„— постоянная интегрирования. Потенциальная функция данного поля будет Ф(х,у) = а х+ апу,+ си, а функция тока — Ф(х,у) = — апх+ а .у+ с . На рис. 5.16 для случая а > О и ап > О изображены семейство линий равного потенциала (сплошными линиями) и линии тока этого векторного полл (штриховыми линиями).
Если функция у(я) определена лишь в полосе, ограниченной двумя прямыми (они выделены на 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 182 рис. 5.16), то (5.54) будет задавать комплексный потенциал в этой полосе. Ря ь 6.16 Пример 5.10. Выясним, какое векторное поле описывает комплексный потенциал И'(х) = я~ = х~ — уз + 2Ыу.
Эта функция является аналитической во всей комплексной плоскости и потому определяет в этой плоскости лапласово поле, которое описывается функцией ~(я) = И"(х) = 2я. Потенциальная функция и функция тока этого поля имеют вид соответственно Ф(х,у) = Вей'(я) = х — р и Ф(х>у) = 1шИ'(я) = 2ху. На рис. 5.17 сплошными линиями изображены линии равного потенциала, а штриховыми — линии тока. Оба семейства содержат равнобочные гиперболы, но, кроме того, линиями равного потенциала являются биссектрисы координатных углов, а линиями тока — координатные оси.
В точке я = 0 имеем И" (0) = 0 и нулевой вектор ДО) = О. Именно в этой точке нарушено условие взаимной перпендикулярности линий равного потенциала и линий тока. Д.о.1. Комплексный потенциал плоского кеккорного поля 183 Рис. $.17 Рассматриваемое векторное поле описывает, например, течение жидкости в пространстве, разделенном двумя перпендикулярными стенками (они соответствуют координатным осям). ф Комплексные потенциалы, описывающие часто встречающиеся в прикладных задачах плоские векторные поля, не являются аналитическими функциями на всей комплексной плоскости. Эти потенциалы имеют особые точки, в которых теряется их аналитичность, причем физическая интерпретация каждой такой точки непосредственно связана с причиной, порождающей рассматриваемое векторное поле (например, источник теплоты, создающий температурное поле; электрический заряд, образующий электростатическое поле; протекающий по проводнику электрический ток, порождающий магнитное поле, и т.д.).
Пусть функция ~(г) аналитична в некоторой леиогосвлзной обласгпи Р. Тогда циркуляция и поток задаваемого этой функцией плоского векторного поля, вообще говоря, не будут 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 184 обращаться в нуль на любом контуре Ь, целиком лежащем в В, т.е. в общем случае имеем Рассмотрим несколько характерных примеров. Пример 5.11. Функция Цл) = Я/(2яя), где Я вЂ” ненулевое действительное число, аналитична всюду на плоскости (я), кроме точки г = О. Поэтому функция /(э) = Я/(2яя) задает в двусвязной области Р = С '1 (0) плоское векторное поле. Комплексный потенциал этого поля имеет вид à — Я ГсЬ (~ И'(э) = / Цы)дэ = — ~ — = — Ьпэ+с, (5.56) где с = с1 + гол — постоянная интегрирования.
Выделяя в (5.56) действительную и мнимую части, находим потенциальную функцию и функцию тока Ф(х,у) = ВеИ'(я) = — 1пф+сы 2и 1л(х,у) = 1шИ'(я) = — Агяя+ сэ. Я 2я — 1пр = сопв1, — у = сопв1. ~3 Ю 2и ' 2я (5.57) Линии равного потенциала — это окружности р = сопв1 с центром в точке э = О, а линии тока — это лучи у = сопв1, выходящие иэ нуля (на рис. 5.18 стрелки на линиях тока соответствуют случаю Я ) 0). Интеграл от функции /(э) = Я/(2хя) по любому контуру, не охватывающему точку э = О, в силу теоремы Коши для Полагая л = ре'~, получаем уравнения линий равного потенци- ала и линий тока в полярных координатах: Д.й.1.
Комплексный потенпнае плоского векторного паев 185 Рис. 6.18 односвязной области равен нулю, т.е. на таком контуре равны нулю и циркуляция, и поток векторного поля. Но если контур Ь охватывает точку и = О, то, используя (5.16) и (5.11), получаем ф — С вЂ” Ч .Хдп Я У(п) ~Ь = ~ У(п) сЬ = — ~1 — = — 2яе' = 1Я. 2я )г' и 2я ~х~=е ~е~=г В данном случае циркуляция вдоль любого контура Ь, охватывающего точку и = О, равна нулю, а поток векторного поля через такой контур при обходе его в положительном направлении равен Яь = Я = сопв$ и не зависит от формы контура. Заданное векторное поле можно интерпретировать как поле скорости жидкости, вытекающей из точечного источника и = О. Расход жидкости через любую окружность ~я~ = г (как и через любой другой однократно охватывающий точку и = О контур) равен Я, что соответствует физической сути явления.
Если Я ( О, расход жидкости отрицателен, а точка и = О соответствует не источнику, а стоку жидкости. Параметр Я определяет мощность точечного источника. Если говорить не о плоском течении жидкости (например, между двумя близкими плоскостями), а плоскопараллельном, то точка я = О будет соответствовать не точечному источнику (стоку), а линейному, т.е. источнику, распределенному по прямой, перпендикулярной плоскости (и) и проходящей через точку и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
