X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ю= У(г) ~ а2 О аа~аа аао а Рис. 10.61 Длины 1ь звеньев Ьь ломаной можно изменять, передвигая точки аа на действительной оси. С помощью таких передвижений можно получить нужные пропорции между длинами сторон многоугольника и тем самым прийти к конформному отображению верхней полуплоскости на внутренность некоторого многоугольника, подобного заданному. Чтобы получить нужный многоугольник, достаточно составить композицию функции С(а) с линейной функцией, которая изменит подходящим образом размеры многоугольника и его положение с помощью поворота вокруг некоторой точки комплексной плоскости.
Итак, конформное отображение верхней полуплоскости на внутренность заданного многоугольника можно осуществить с помощью функции С*(г)е а (» — а~)о' ~(а — аз) ' ~...(г — ао) " ~с1х+Ь, (10.49) о гдеа,ЬЕС 438 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Интеграл в правой части равенства (10.49) называют иитпеералом Кристпоффелл — Шварца (Э.В. Кристоффель (1829 — 1900) — немецкий математик). Отметим, что отрезки, которые соответствуют промежуткам (а„, +со) и ( — оо, ае) действительной оси, параллельны друг другу и фактически составляют одну сторону многоугольника с вершинами А„и А1.
Условие параллельности вытекает из тождества (10.48). Если это тождество опустить, но по- прежнему, считать, что интеграл Кристоффеля — Шварца переводит действительную ось в замкнутую ломаную без само- пересечений, то в этой ломаной будет не п вершин, а п+ 1, хотя в интеграле Кристоффеля — Шварца количество сомножителей не изменилось. Таким образом, интеграл Кристоффеля— Шварца может отображать верхнюю полуплоскость на и-угольник или (и+ 1)-угольник в зависимости от того, выполняется условие (10.48) или нет.
Ясно, что при отображении верхней полуплоскости на и-угольник выгодно в качестве одной из точек а„выбрать оо. Тогда в подынтегральной функции будет не п сомножителей, а п — 1 и вместо формулы (10.49) получим (10.50) т.е. выпадает сомножнтель, соответствующий бесконечно уда- ленной точке. Как выбрать точки аы соответствующие вершинам заданного многоугольника П? Отметим, что конформных отображений верхней полуплоскости на многоугольник П существует бесконечно много. Однако для любых двух таких отображений С1(з) н Сз(г) можно записать С1(з) = Сз(6(г)), где 6(з)— дробно-линейное отображение, переводящее верхнюю полуплоскость на себя.
С помощью выбора 6(з) можно добиться того, что три точки аь займут фиксированное положение. Тогда кон- Д.10.2. Иитетрвл Кристоффеля — Шварца 437 формное отображение будет определено однозначно. Значит, остальные точки ав тоже будут определены однозначно. Их можно найти из уравнений ГдЕ ПОд пи+1 ПрЕдПОЛаГаЕтСя тОЧКа а1, а ПОд ИНтЕГраЛОМ С пределами интегрирования аи и а1 — сумма несобственных интегралов по промежуткам (а„, +со) и ( — со, а1). В системе и уравнений п+ 1 неизвестное, так что два уравнения являются лишними.
Действительно, в многоугольнике длины двух сторон однозначно определяются внутренними углами и длинами остальных п — 2 сторон. Это значит, что соответствующие два уравнения вытекают из остальных. Надо сказать, что в прикладных задачах п — 3 неизвестных параметра ав редко находят описанным способом, поскольку, как правило, трудно решить систему из п — 3 уравнений, содержащую интегралы. Поэтому в каждом конкретном случае стараются использовать все резервы для того, чтобы упростить отыскание функции то = С(а). Для этого одну из точек ав обычно полагают бесконечно удаленной, что немного упрощает интеграл Кристоффеля — Шварца.
Выбор оставшихся двух точек целесообразно связывать со значениями углов при соответствующих вершинах. В некоторых случаях вычисления можно упростить, если вместо неизвестных параметров аь рассматривать некоторые соотношения между ними (например, при наличии симметрии многоугольника относительно прямой, проходящей через вершину А„„можно в качестве прообраза точки А выбрать а =О, а прообразами вершин А +1 и А взять симметричные относительно а = 0 точки а,„+1 = ая и а,а 1 = — а„ВЫРаЗИВ ИХ ЧЕРЕЗ ОДИН НЕИЗВЕСтНЫй ПаРаМЕтР ая). Отметим, что выбор нижнего предела я = 0 в интегралах формул (10.49) и (10.50) не является существенным. Вместо 438 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ этого предела можно выбрать любую точку верхней полуплоскости или действительной оси.
Этот выбор лишь изменит значение постоянной Ь. Пример 10.35. Отобразим верхнюю полуплоскость на внутренность треугольника А1АзАз (рис. 10.б2) с вершинами в точках А1 = О, Аз = 1 и Аз, причем вершина Аз расположена в верхней полуплоскости. о =.Ф) Рис. 10.62 В данном случае 0 < аь < 1, й = 1, 2, 3, и а1 + аз + оз = и — 2 = = 1.
В качестве прообразов вершин треугольника выберем а1 = О, аг = 1, аз = со. Тогда в интеграле Кристоффеля— Шварца будет всего лишь два сомножителя. Учитывая зто, запишем Д(х) =а х ' 1(х — 1)'2 1бх+Ь= о где а' = аебм 1)"'. Так как образом точки х = 0 является вершина А1 = О, то Ь = О. Из равенства а* х"' 1(1 — х)о' 'г)х = а*Ща1,аг) о находим а* = 1/В(а1,оз), где В(а1,аз) — бета-функция. Таким образом, искомое конформное отображение верхней полуплос- Д.10.2.
Интеграл Крнетаффеля — Шварца кости на внутренность треугольника реализуется функциеи д( ) а1 — 1д )ал — 1я у 1 В(о1, аз) О Конформное отображение верхней полуплоскости на внешность заданного и-угольника можно представить интегралом такого же вида, что и интеграл Кристоффеля — Шварца: л у,) =а1(* ") (* оз) '"( '")0 Ы+б, (10.51) ,/ (х — а*)~(х — аг)~ О Здесь а* — точка верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной точке лц = со; аь, й = 1, п, — прообразы вершин Аа п-угольника, причем возрастающему порядку точек аь на числовой оси соответствует обход вершин и-угольника по часовой стрелке; Дя, Й = 1, п, — внешние углы и-угольника; а1,61 ЕС Внешние углы Вь многоугольника (О < Д < 2) связаны с его внутренними углами лль соотношениями 11ь = 2 — лц„й = 1, п, и удовлетворяют тождеству, аналогичному (10А8): и ~~) Дь = п+ 2. я=1 Если прообразом одной из вершин является бесконечно удаленная точка (например, а„= оо), то, как и в случае внутренности многоугольника, в представлении (10.51) выпадает множитель, относящийся к атой вершине.
В ряде случаев приходится иметь дело с областями, ограниченными совокупностью отрезков прямых и лучей, которые можно рассматривать как обобщенные многоугольники, у которых одна или несколько вершин расположены в бесконечно удаленной точке. Такая интерпретация становится более понятной, если обратиться к изображению рассматриваемых областей на сфере Римана.
Граница многоугольных областей, 440 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ изображаемых на сфере Римана, будет состоять из дуг окружностей, проходящих через „северный полюс" сферы. При зтом вполне возможно, что „северный полюс", как вершина, будет повторяться несколько раз (рис. 10.63). (г) Рве.
10.63 Каждая бесконечно удаленная вершина формируется парой смежных лучей на границе области. Например, угол, образованный двумя лучами, в зтом смысле представляет собой двуугольник с одной конечной и одной бесконечной вершиной (рис. 10.63, а). Полоса — зто двугольник, у которого две беско- ДД0.2.
Иитегрвл Кристоффеля — — Шварца 441 печные вершины (рис. 10.63, б), а область, полученная объединением полуплоскости и полосы, — это четырехугольник с двумя конечными и двумя бесконечными вершинами (рис. 10.63, в). Первый из этих примеров наталкивает на мысль о том, чтб следует считать углом при бесконечной вершине. Так как, согласно тождеству (10.48), сумма двух углов двуугольника должна быть нулевой, то угол в бесконечной вершине двуугольника должен отличаться лишь знаком от его угла в конечной вершине.
Поэтому в качестве угла сев в бесконечной вершине в случае двух пересекающихся лучей будем рассматривать угол между лучами, взятый с обратным знаком. Лучи, образующие бесконечную вершину, могут быть параллельными. В этом случае угол при соответствующей вершине может быть нулевым, равным — гг или — 2х в зависимости от того, на какой угол нужно поворачивать один из лучей до совмещения с другим. Например, на рис. 10.63, в в одной из бесконечных вершин угол равен нулю, а в другой — — и.
В результате сумма всех углов равна 2х, т.е. тождество (10.48) верно. Пример 10.36. Определим углы обобщенных треугольников, изображенных на рис. 10.64. Рис. 10.64 а. Для треугольника с вершинами в точках А, = О, А2 = = 1 и Аз = со (см. рис. 10.64, а) имеем сгг = 3/4, сг2 = 1/2 и сгз = — 1/4. Сумма всех трех углов равна единице, что соответствует тождеству (10.48). 442 НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ б. Внешность полуполосы 0 < Вез < 1, 1п1 з < 0 можно рассматривать как внутренность неограниченного треугольника АгАгАз (см. рис. 10.64, б).
При таком подходе А1 = О, Аг = 1, Аз = оо и сгг = ггг = 3/2, ггз = -2. н. Область, ограниченная биссектрисой третьего квадранта плоскости (з), отрезком (О, 1) действительной оси и лучом, исходящим из точки 1 и проходящим через точку 2+ г (см. рис. 10.64, в), представляет собой обобщенный треугольник с вершинами Аг = О, Аг = 1 и Аз = со. В данном случае имеем ггг = 5/4, ггг = 3/4, а для вычисления ггз удобно использовать тождество (10.48), из которого находим ггз = п — 2 — ггг — ггг = = 1 — 5/4 — 3/4 = -1.
Пример 10.37. Найдем отображение и = /(я) верхней полуплоскости на внутренность неограниченного треугольника, изображенного на рис. 10.64, б. Выберем прообразами вершин Аг, Аг и Аз точки аг = О, аг = 1 и аз = со. Согласно примеру 10.36, ггг = ггг = 3/2. Так как /(О) = О, то в формуле (10.50) имеем Ь = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
