X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Иногда нет необходимости в построении векторного поля, а достаточно получить лишь его некоторую интегральную характеристику (например, суммарное термическое или электрическое сопротивление, суммарный расход жидкости, подъемную силу при обтеканиии профиля и т.п.). Область Р, в которой рассматривается векторное поле, может быть задана сложным образом.
Так, в примере 11.11 эта область ограничена двумя линиями равного потенциала и двумя линиями тока. Решение перечисленных задач в общем случае может быть не единственным. Однако дополнительные ограничения, обу- 451 11.1. Предварительные замечании словленные особенностями конкретной задачи, гарантируют единственность решения и позволяют построить комплексный потенциал, описывающий соответствующее плоское векторное поле, с точностью до постоянного слагаемого. Рассмотрим, например, первую из сформулированных задач.
Приведем основную идею доказательства того, что если в области Р существует векторное поле, для которого кривые Г1 и Гз являются линиями равного потенциала с заданной разностью потенциалов Ь ~ О,то такое поле единственно. Условие ьь ~ О означает, что кривые Г1 и Гз в области Р не пересекаются. Рассмотрим в Р два комплексных потенциала И'(з) = Ф(х,у)+гФ(х,у) и И1(е) = Ф1(х,у)+гФ1(х,у), которые определяют два векторных поля с линиями равного потенциала Г1 и Гз и одинаковой разностью потенциалов Ь на них.
Тогда аналитическая функция ЪУ,(г) = И'(г) — И'1(з) является комплексным потенциалом некоторого векторного поля в Р, причем кривые Г1 и Гз являются линиями равного потенциала этого поля с нулевой разностью потенциалов: Ф,~ =(Ф вЂ” Ф1)~ =(Ф вЂ” Ф1)~ =Ф,~ где Ф(х,у) = НеИ',(г), г =х+ту е Р. Функция Ф,(х,у), как действительная часть аналитической функции И"„(з), удовлетворяет ураепеппю Лапласа ~7зФ, = О. Оператор Лапласа в каждой точке линии равного потенциала может быть представлен в виде T2 = д2/дел + дт/дпз, где е и п — направления по касательной и по нормали к этой линии.
Но на линии равного потенциала длФ,/де~ = О. Поэтому в каждой точке этой линии даФ, — О. (11.4) Соединим кривые Г1 и Гз какой-либо линией тока у векторного поля, описываемого комплексным потенциалом И',(з). В каждой своей точке эта линия пересекается под прямым углом с линией равного потенциала. Поэтому вдоль всей линии тока 452 11. ИРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ справедливо равенство (11.4). Вводя натуральный параметр в кривой у, можем рассматривать равенство (11.4) как дифференциальное уравнение ~ра(в) = О для функции ~р(в) = Ф,(у(в)), где Ф„(х,у) = 1шИ~,(г), г Е Р. Интегрируя это уравнение, получаем ~р(в) = С~в+ Сз.
Но так как в конечных точках кривой у, лежащих на кривых равного потенциала Г~ и Гь, функция Ф. (х, у) имеет одинаковые значения, то функция у(в) тоже имеет одинаковые значения для значений в, соответствующих этим точкам. Следовательно, С~ = О, функция Ф,(х,у) постоянна на у. Выбирая в качестве у всевозможные линии тока, соединяющие Г~ н Гз, заключаем, что Ф,(х,у) = сопвФ в Р и дФ, дФ, И' (2)= $ =О дх ду т.е. И~. (г) ив з сопя~ в Р. Это означает, что комплексный потенциал плоского векторного поля при задании разности значений потенциальной функции этого поля на двух не имеющих общих конечных точек линиях Г~ и Гь определен однозначно (с точностью до постоянного слагаемого). Аналогично можно обосновать, что комплексный потенциал, описывающий плоское векторное поле с линиями тока Г~ н Гь и с заданной разностью значений функции тока на этих линиях, определен однозначно.
11.2. Непосредственное использование известного комплексного потенциала В некоторых достаточно простых случаях форма линий тока и линий равного потенциала плоских векторных полей, рассмотренных в Д.5.1, позволяет для решения конкретной задачи непосредственно применить соответствующий комплексный потенциал. Пример 11.1. Используем комплексный потенциал вида (5.62) для нахождения теплопотерь трубы теплотрассы. 1Ьл. Использование известного комплексного потенциала 453 Пусть труба радиуса Н заложена в грунте на глубине Н от О его горизонтальной поверхности г >,~1 т (рис. 11.1).
Примем, что перепад кс = ььь =„э> =-. ььь я ььь е ссь между температурами наружной Н вЂ” у« поверхности трубы Т р и поверх- Ь «р ности грунта Тв равен ЬТ, а коэффициент теплопроводности Рис. 11.1 грунта Л. Согласно закону Фурье (см. 11.1), вектор о плотности теплового потока, передаваемого путем теплопроводности в неподвижной среде, пропорционален градиенту температуры Т, причем д = — Л уайТ. Таким образом, векторное поле д является потенииальнььм. В силу (11.2) потенциальная функция в данном случае имеет вид Ф(г) = — ЛТ. Поскольку в грунте отсутствуют источники (или стоки) теплоты, то это векторное поле соленоидальное: й1» д = О.
Поэтому установившееся распределение температуры Т в нем удовлетворяет уравнению Лапласа л»зТ = й1» уайТ = й1» «1 = О. Для достаточно длинной трубы (по сравнению с ее радиусом) такое поле можно считать плоскопарвллельным и использовать для его описания комплексный потенциал. В плоскости (г) поверхностям грунта и трубы, являющимся изотермическими, будут соответствовать линии равного потенциала Ф(г) = — ЛТо = сопв1 и Ф(л) = — ЛТ р — — сопв1, представляющие собой горизонтальную прямую у и окружность 1 радиуса Н (см.
рис. 11.1). Форма и взаимное расположение таких линий равного потенциала характерны для плоского векторного поля системы двух источников интенсивностью Щ, размещенных в точках ( — Ь; 0) и (О; 0), симметричных относительно прямой х = — и/2 (см. рис. 5.21). Описывающий это поле комплексный потенциал (5.62) можно использовать для решения рассматриваемой задачи, если под Я понимать мощность 454 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ теплопотерь участка трубы единичной длины, а действительную ось 1ш л = 0 на рис. 11.1 провести через центр поперечного сечения трубы перепендикулярно поверхности грунта и в точке пересечения оси с этой поверхностью принять л = — 5/2. Согласно условию, Ф( — 5/2,0) — Ф(х1,0) = ЛЬТ, где х1 = = — Ь/2 — Н+ В -- абсцисса точки пересечения действительной оси с контуром трубы (см.
рнс. 11.1). Учитывая (5.62), запишем Л ЬТ = Ф( — 6/2, О) — Ф (х1, 0) = д л — и —,/~ -л ЬТ = — 1п — 2— .Д л-нд и — л а Н вЂ” Лдл — Л = — 1п 2 Д Й вЂ” Л вЂ” НД-Л (11.6) Например, при Н/й = 2 имеем Я = 2яЛЬТ/1п(2+ ~/3). Если труба теплотрассы покрыта кольцевым слоем теплоизоляции с коэффициентом теплопроводности Л1 и внешним радиусом В1, то влияние этого слоя на теплопотери можно приближенно оценить следующим образом.
Примем, что температура теплоизоляции на внешней поверхности слоя одинакова и обозначим ее Т1. Тогда вместо (11.6) получим Нэ — В +Н вЂ” В Значению теплопотерь Я соответствует перепад ЬТ = Т р — Т1 температур по толщине слоя теплоизоляции, равный [Ъ'П1-11.3] ЬТ вЂ” !и В~ 27ГЛ1 (11.8) По заданным значениям В и Н = 1к, используя первое равенство (2.222, д Д=Д/2=2/д — Л = Н вЂ” Н. Пд выражения для 6 и х1 в (11.5), устанавливаем связь между Я и ЬТ: П.2.
Использование нзнестного комплексного потенциала 455 Так как заданное значение ЬТ связано соотношением ЬТ = =Т р — То = ЬТ +ЬТ1, то из (11.7) и (11.8) Устанавливаем свЯзь между Я и сьТ с учетом слоя теплоизоляции: о ~~,,Гн~~',;и — и, ~, и,~ з Л Гнв~' — и+и, А, и)' Второе слагаемое в скобках в правой части этого равенства выполняет роль поправки, оценивающей влияние слоя теплоизоляции. Точность этой оценки зависит от достоверности сделанного предположения о том, что температуру внешней поверхности слоя теплоизоляции можно принять одинаковой. Пример 11.2.
Комплексный потенциал (5.62) можно использовать для нахождения электрического сопротивления изоляции одножильиого кабеля радиуса г1 со смещенным прово- сз) дом радиуса то в зависимости от эксцеитриситета с, характеризующего смешение прово- Ь да (рис. 11.2). 2 В данном случае линиями С~ равного потенциала являются окружности радиусов т~ и то.
Рис. 11.2 Обозначим разность потенциалов этих линий через сзУ и установим связь эксцентрично расположенных окружностей с линиями равного потенциала иа рис. 5.21, задаваемыми первым равенством (5.64). Действительную ось 1шг = О иа рис. 11.2 проведем через центры окружностей, а начало координат выберем так, как показано иа рис.
5.21. Тогда источники интенсивностью ~Я будут расположены в точках г = О и г = — 6, симметричных относительно прямой Вел = — с( = — 6/2 (см. рис. 11.2). Обозначая абсциссы центров окружностей радиусов т1 и то через х1 и хо соответ- 456 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ ственно и используя первое равенство (5.65), получаем хе= ~те2-1-гР— д, хг= ~т~+сР— д, е = х1 — хе = 1гг1 +г12 — )г ге — г)2. 2 2 Отсюда находим д= — =— Ь 1 2 2е и затем хе. Это позволяет вычислить действительную часть разности значений комплексного потенциала (5.62) в точках г = = хг — гг = хо + е — г1 и г = хо — тд окружностей: ЬФ= — (! $ — 1 ) В данном случае Я характеризует силу электрического тока, который может пройти через изоляцию кабеля единичной длины при разности потенциалов ЬУ между проводом и внешней поверхностью кабеля.
Принимая в (11.2) ~3 = — гг, получаем ЬФ = — о.ЬУ, что для сопротивления изоляции кабеля единичной длины, согласно известному из курса физики закону Ома, дает ЬУ ЬФ 1 (хе+ е — г1)(хд — го+ 1г) В= — = — — = — 1п ггпу 2хгг (хо — геНхе+ е — тг + Ь) Отсюда следует, что В = 0 при е = гг — ге, когда провод касается внешней поверхности кабеля. Если же оси кабеля и провода совпадают, т.е. е = О, то это соответствует предель- 1п(тг!то ному случаю хе — г 0 и 6-+ оо, так что В-+ ' ').
Можно 2ггп показать, что при этом сопротивление изоляции стремится к своему наибольшему значению. Таким образом, эксцентричное расположение провода в изоляции понижает ее сопротивление. Исходя из допустимого уменьшения сопротивления изоляции по ы.л. использование известного комплексиого потенциала 457 сравнению с его наибольшим значением, можно установить до- пуск на эксцентриситет в при изготовлении кабеля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
