X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 68
Текст из файла (страница 68)
в книге: Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. 484 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ 1 — етмч я (1) Ь4, Рнс. 11.18 потенциал верхней пластнны отрицательным (Ф = — Ф = — $' < < 0), то для действительной оси получим Ф(г) = О. Поэтому достаточнопостроитьэлектростатическоеполелишьвобласти Р, которы представляет собой верхнюю полуплоскость 1ш г > 0 с разрезом по лучу 1шг = Ь, Нег < О. Задачу описания рассматриваемого электростатического поля можно упростить, если отобразить область Р на полосу 0 < 1шю < И так, чтобы лучу 1шг = 6, В.ег < О, проходимому дважды в противоположных направлениях, соответствовала прямая 1пио = И, а действительной оси 1шг = 0 — действительная ось 1пии = О. Поле в такой полосе между двумя параллельными прямыми, являющимися линиями равного потенциала, будет однородным, причем все линии равного потенциала 1шю = е = сопв1 (О < е < Ъ") будут параллельны действительной оси 1пив = О.
Область Р в полуплоскости 1шг > 0 представляет собой внутренность треугольника А~АзАз с двумя вершинами А~ и Аз в бесконечно удаленной точке г = оо и вершиной Аз в точке г = = 16, причем углы при вершинах кратны я с коэффициентами а~ = — 1, оз = 2 и аз = О соответственно (см. Д.10.2). Отобразим полуплоскость 1ш~ > О на внутренность этого треугольника так, чтобы прообразами его вершин были соответственно точки (~ = со, Сз = — 1 и (з = 0 действительной оси 1ш~ = О. Используя интеграл Кристоффеля — Шварца и учитывая, что множитель в подынтегральной функции, относящийся к вер- 11.5. Задачи различного физического содержания 485 шине Аг, выпадает, получаем ( /'(+ 1 а=а (( — (з)"з ~(( — (з) ' ~д(+5=а / д(+Ь= .I (о (о ( га~ = а г1(+ а 1 — + Ь = аг, + а1пг,'+ Ьг, (11.47) (о (о ЕК) = — (~+1+1п(').
6 (11.48) Функция г, = ео отображает полосу 0 < 1шзнг < я на верхнюю полуплоскость 1шг, > 0 (см. пример 10.20), причем действительная ось 1шгнг = 0 переходит в положительную полуось действительной оси 1ш( = О, а прямая 1пиег = и — в ее отрицательную полуось. Заменяя в этой функции знг на яче/$' и подставляя в (11.47), находим отображение г(гн) = — (е '"г +1+ — ), х Ъ' (11.49) переводящее полосу 0 < 1шге < Ъ' в область Р (см. рис.
11.18). При этом прообразом точки г = 16 является точка ге = Л'. Выделим в (11.49) действительную и мнимую части, положив и = и+ ос и использовав формулу Эйлера: 6 „а г,г хе,, зги~ 6 и+чу а = я+гу = — е"~~~~сов — +г а1п — ! + — + 6 = — ~1+ — +е "' соа — )+1 — ~ — +е™1'вш — ).
где Ьг = Ь вЂ” аг,е — а1пг",е. Поскольку при отображении (11.47) положительная полуось действительной оси 1ш(' = 0 переходит в действительную ось 1шг = 0 и 1шг = т -о +ос при 1ш~ = = ( -+ +со, то а, Ьг Е К, причем а > О. Образом точки ( = — 1 при этом отображении является точка а = 16, т.е. 16 = — а+ +а1п! — Ц+ юга+ Ьг.
Отсюда а = Ьг = 6/зг. Таким образом, из (11.47) следует, что 486 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Отсюда получаем параметрические уравнения Ь | яи „~~, яох х= — ~1+ — +е "' сов — ), у) а ~хо ~1,, у= — ~ — +е ' вш — ) у) (11.50) Рис. 11.19 Выясним, как изменяется модуль Е(г) = ~Е(г)~ вектора напряженности построенного поля вдоль линии равного потенциала Ф(г)~ = Ф1 = сопв1, соответствующей некоторому фиксированному значению о = о1 (О < (и~ ~ < 1'). Поскольку вектор Е(г) напряженности в силу (11.46) перпендикулярен линии Фы 1 до~1 то Е = ~~ — ~~, где дв — дифференциал длины дуга сило1 дв'и„=„, линий равного потенциала Ф(г) = сопв1 (при о = сопв1) и силовых линий Ф(г) = сопв1 (при и = сопв1) электростатического поля в зоне края пластин конденсатора.
Поскольку в (11.50) х является четной функцией о, а у — нечетной, то зти уравнения справедливы при — Ъ' < о < Ъ', т.е. и в нижней полуплоскости 1шг < О. На рис. 11.19 представлены сплошные линии равного потенциала и штриховые силовые линии, причем стрелки указывают, согласно (11.46), направление вектора Е(г), касательного к силовым линиям. 11.э. Задачи раэличиого фиэичеекого еодержааиа 487 вой линии Ф(а) ~ = Ф1 = сопвФ, соответствующей некоторому фиксированному значению и = и1. Дифференцированием (11.50) по е при и = и1 = сопв1 находим В результате для произвольного и Е В получаем Ео Ео = — (11.51) Согласно (11.50), я -+ — оо при и -+ — со, т.е. образ любой точки ю при отображении (11.49) удаляется влево от правого края пластин (см.
рис. 11.19), если Всю = и неограниченно убывает. В этом случае из (11.51) следует, что Š— ~ Ее = = сопвФ, т.е. электростатическое поле конденсатора с удалением от края пластин действительно приближается к однородному. Приближению точки я к 16 соответствует приближение точки ю к точке Л1, что можно описать условиями и -+ 0 и е1 — ~ Ъ' в (11.51). Но при этих условиях радикал в знаменателе стремится к нулю, т.е. в окрестности точки крал пластин напряженность поля не ограничена. Для нахождения экстремума функции Е(и) ~„при ее изменении вдоль линии равного потенциала Ф1 достаточно найти экстремум выражения под знаком радикала в (11.51). Для этого, согласно необходимому условию экстремума, приравниваем нулю производную этого выражения по ья 488 П. ЛРИКЛАДНЬИ ЗАДА ЧИ Отсюда приходим к равенству е "/г + соз(хс1/$') = О, которое может быть выполнено лишь при условии Г/2 < ~п1~ < Ъ', когда косинус отрицателен.
Нетрудно установить, что при выполнении этого условия минимум выражения под знаком радикала Ъ' ~ ли1 в (11.51) соответствует значению и* = — 1п~соз — ~, т.е. максил ~ \' мзльное значение модуля вектора напряженности равно Ео Ео (11.52) При /сд ) -+ Ъ' — О имеем и* -+ Π— О и Е* -э +со, что соответствует окрестности края пластины конденсатора. При ~с1~ = Ъ'/2 необходимое условие экстремума достигается лишь при и* — + — со, т.е. на бесконечно большом расстоянии от правого края пластин, где электростатическое поле приближается к однородному, причем нз (11.52) следует, что Е* = Ез. Ясно, что при О < )п1( < Ъ'/2 функция Е(и)~ изменяется монотонно вдоль соответствующей линии равного потенциала Ф(г) ~ = сопз1, убывая от значения Ез до нуля при возрастании и в интервале ( — со, +со).
Пластины реального конденсатора имеют конечные размеры. Его электростатическое поле будет симметрично относительно вертикальной прямой, равноудаленной от правого и левого краев пластин. В точках этой прямой при О < ~е1 ~ < Ъ'/2 функция Е(и) ~ будет достигать максимума, значение которого не превзойдет Ед и стремится к нему при достаточно больших размерах пластин по сравнению с расстоянием 26 между ними. Если пластины конденсатора имеют форму линий равного потенциала Ф(з)~„~,. (сплошные линии на рис.
11.19), то функция Е(и) ~ вдоль любой линии Ф(з) ~ такого конденсатора монотонно убывает при приближении к правому и левому краям пластин. Конденсатор с пластинами такой формы используют при измерении электрической прочности на пробой изоляционных 11.о. Задачи раэяичного физического содержания 489 материалов, жидкостей и газов, поскольку в его середине возникает практически однородное электростатическое поле с наибольшим значением модуля вектора напряженности, близким к известному значению Ед = $'/Ь. Пример 11.8. Исследуем электростатическое поле, создаваемое тонким заряженным проводником, помещенным между двух параллельных заземленных пластин.
Такие поля возникают при расчете электрофильтров или емкости провода, находящегося между проводящими границами. Это электростатическое поле можно рассматривать как плоскопарзллельное, а его исследование можно проводить в поперечном сечении. Расположение комплексной плоскости (г) можно выбрать так, что заземленным пластинам будут соответствовать прямые 1ш г = 0 и 1ш а = Н > О, а тонкому заряженному проводнику, параллельному пластинам, — точка зо = гй, 6 ( Н (рис. 11.20).
Потенциал пластин примем равным нулю, а приходяшийся на единицу длины проводника заряд — равным д > О. Таким образом, приходим к плоскому электростатическому полю в полосе Р между прямыми 1шг = 0 и 1шг = Н > О, создаваемому точечным зарядом д > О, помещенным в точку г = эй. Прямые, ограничивающие полосу, совпадают с нулевой линией равного потенциала Ф(а) = О.
Рис. 11.20 Функпия яя1Н (11.53) конформо отображает полосу Р на верхнюю полуплоскость 1шчо > 0 (см. рис. 11.20). При этом образом точки го = гЬ является точка юо = е '~~~, а образом прямых 1ш = 0 и 1шз = Н— 16 — Ю54 4ОО 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ действительная ось 1шю = О. Если в точку юз = е 1"1н поместить заряд -е, то зта ось будет линией равного потенциала для поля, создаваемого двумя разноименными зарядами, находящимися в точках юз и юз.
Комплексный потенциал такого поля, согласно (5.66), имеет вид Ил(ю) = — 1п я ю — юя 2з' ю — юо (11.54) Подставив выражения для юз, юз и (11.53) в (11.54), найдем комплексный потенциал Елл/Н Ел16/Н И'(х) = — 1п 2Х Елл(Н Е вЂ” л1З/Н х — 1й д е2Н вЂ” е 2Н вЂ” (» — гй) — — (х — гй) зЬх — 1п . . — 1п (11 55) 2Н 2х езН(х+ гй) е — 2Н(х+ гй) 2х 1 х+ гй 2Н искомого злектростатического поля в полосе Р. Выделяя в (11.55) действительную и мнимую части, получаем уравнения у-й +з1п я— у+а = сопзФ, +зш ив 2Н зЬ2— 2Н зЬ2— 2Н лх .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
