X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 69
Текст из файла (страница 69)
лй зЬ вЂ” яш = сопз1 лу лх лл соз — — сЬ вЂ” соз— Н Н Н линий равного потенциала и линий тока соответственно, показанных на рис. 11.21 сплошными и штриховыми линиями. Согласно (11.46), вектор напряженности Я(х) связан с комплексным потенциалом И'(х) соотношением ю(х) = Й(х), так как в силу (5.53) градиент потенциальной функции ВеИ'(х) есть векторное поле, описываемое комплексным потенциалом П.з. Задачи различного физического содержания 491 И'(з). Дифференцированием (11.55) находим я — га я+ гГг сЬ г „сЬх нг(з) г4гг(з) 2Н 2Н 2х з1 Я '" 2Н 1 .Я+'" 2Н 2Н 2Н 9 г з Й г+ гй~ = — ~сФЬх — сФЬя — ). 4Н~ 2Н 2Н ) Направление вектора .Е(з), касательного к силовым линиям, указано на рис.
11.21 стрелками. Отметим, что (11.54) описывает электростатическое поле тонкого проводника, параллельного заземленной поверхности и находящегося от нее на расстоянии 1шпге = аифгЬ/Н) = д > > О. Линии равного потенциала (сплошные) и силовые линии (штриховые со стрелками, указывающими направление вектора напряженности) этого поля являются, как и в примере 5.14, дугами окружностей и представлены на рис. 11.22. Рис. 11.21 Рис.
11.22 Пусть проводник радиуса г расположен параллельно заземленной поверхности, ось проводника находится на расстоянии 1 от поверхности, а на единицу длины проводника приходится заряд д > О. Поверхность проводника в плоскости (пг) будет изображаться окружностью, которая является линией равного ге" 492 11. ЛРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ потенциала. Согласно (5.65), проводник радиуса г можно, не изменяя электростатического поля, заменить тонким проводником, расположенным на расстоянии т1 =;/Р— г~ от заземленной поверхности (его положение называтот электрической осью проводника). Выделяя в (11.54) действительную часть ВеИ'(з) =Ф(ю) = — 1п~ ~ = — 1п, (11.56) 2тг ~ ю — юо ~ 2я (ю — юо)' найдем значение Ф„потенциальной функции Ф(ю) на поверхно- сти проводника при ю = с+ т(1+ г): г1 1ю — юо! Ч ~1 +т — Ф Ф,= — 1п = — 1п 2тг (ю — юо! 2я )1+ г+ г1) т7 (1 + г — г1) (1 — т.
— д) о 2гР— 2Ы = — 1п = — 1п 2тг (1+ г+ ф(1 — т. — В) 2я — 2тг1 т7 1 — д1+г1 о ! т = — 1п — — = — 1п~ — ~. 2я т 1+ д 2тг ~1+ г1 Учитывая, что электрический потенциал связан с потенциальной функцией соотношением Ф(я) = — Ф(г) (см. пример 11.7), получаем электрический потенциал проводника Поскольку г (1+ д, то в случае т7 > О имеем Ф, > О. Электрическую емкость С системы из двух проводящих поверхностей с различными электрическими потенциалами Фг и Фэ определяют как отношение потока Я электростатического поля между этими поверхностями к разности этих потенциалов, 1Ю! т.е.
С= . В рассматриваемой системе Я=т1, Ф1=Ф, и )Ф1 — Фг! Фт = О. Поэтому с учетом (11.57) находим, что электрическая 493 11.о. Задачи различиого физического содериакиа емкость системы, приходящаяся на единицу длины проводника, равна д 2х С1=== ф, !+Л~- 2' 1п Если г«1,тес( 1иС1 2и 1а(21/г) Комплексный потенциал (11.54) описывает также электростатическое поле двух перпендикулярных плоскости (ю) проводников, электрические оси которых пересекают эту плоскость в точках юс и юо, а заряды на единицу их длины равны ~д соответственно.
Если радиус первого проводника г, то его электрический потенциал имеет вид (11.57). Для второго проводника с радиусом В из (11.56) при ю = с — г(Ь + В) и А = 1/Р +1и~' !получаем Ч !ю — юо! Ч ~ — Ь вЂ”  — 4 Фл = — фл = — — 1п — — !п 2и )ю — юе) 2и ) — Х вЂ” В+ с!) = — 1п~ ) — — — 1п . (11.58) 9 ! В ~ 9 В 2 !Ь+ (~ 2и К+ /Г-Ж' Для разности потенциалов проводников, согласно (11.58), полу- чаем о г !+д В ~ 9 (!+с!)(7+с!) Ф, — Фл= — ~!п — — 1п ) = — 1п 2зг ~ г Ь+ ог' 2я ггс При этом электрическая емкость системы этих проводников равна д 2и ф фл (! +с!)(Л+ с!) тге Если радиусы проводников одинаковы и равны г, то ! = Ь, разность потенциалов равна 2Ф„, а электрическая емкость такой системы проводников вдвое меньше С1. Вернемся к комплексному потенциалу (11.55).
Соответствующие ему линии равного потенциала в малой окрестности 494 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ точки з = 16 близки к окружностям (см. рис. 11.21). Пусть проводник имеет радиус т, малый по сравнению с 6. В этом случае приближенно можно считать, что линия равного потенциала, проходящая через точку з* = г(6+ с), является окружностью радиуса т, т.е.
эта линия соответствует поверхности проводника. Полагая з*+ 16 = г(г+ 26) - 216 и учитывая (3.28), для точки з*, согласно (11.55), получаем я1г И~ (з*) — 1п Ч 2Н Ч 2я яг6 2я зЬ— Н кг яг яп— 1п 2Н- ~~1п 2Н (О я6 2х, я6 я1п Н яп— Н Здесь в силу соотношения яг «2Н синус приближенно заменен его аргументом. Полученное значение И" (з*) является действительным и поэтому совпадает со значением Ф(з') в точке з* потенциальной функции Ф(г). Следовательно, для электрического потенциала проводника имеем (см. пример 11.7) ф(з*) = — Ф(з*) — 1п 9 яп(я6/Н) > О. 2я ят/(2Н) Электрическая емкость, приходящаяся на единицу длины си- стемы, состоящей из проводника и двух заземленных пластин с нулевым электрическим потенциалом, равна о 2я С= Ф(,*) яп(я6/Н) ' 1п яг/(2Н) Пример 11.9.
Теория функций комплексного переменного находит применение в подземной гидромеханике, или теории фильтрации, изучающей движение жидкости и газа в пористом грунте. Рассмотрим фильтрацию воды под достаточно протяженной бетонной плотиной (рис. 11.23). В этом случае границу у1 соприкосновения плотины с грунтом можно считать непроницаемой для воды. Предположим, что 11.о. Задачи различного физического содержания 495 дно водоемов перед и за плотиной, т.е.
верхнего и нижнего бьефов, расположено на одном уровне. Тогда векторное поле скорости воды при фильтрации будет плоским и может быть описано в области Р комплексным потенциалом гг'(я)=Ф(г)+гФ(я), удовлетворяющим на границе Ь = у'0 у1 0.1н этой области следующим условиям: Рис. 11.23 где зг — коэффициент фильтрации, Лр = дороЬЬ вЂ” перепад давления на поверхности грунта в верхнем и нижнем бьефе (дв — ускорение свободного падения, рв — плотность воды, 1з1з — разность уровней воды в верхнем и нижнем бьефах). При записи (11.59) использован закон Дарси (см. 11.1), а в (11.2) принято ~3 = — зг. Если поперечное сечение основания плотины имеет форму полукруга радиуса В,то условиям (11.59) будет удовлетворять комплексный потенциал вида (5.58) (постоянные слагаемые опущены) И'(г) =, 1пг, (я) > Н, 1тг (О.
зги яг (11.60) Ф(г) = — ~р = сопвс, Ф(я) = — — 1п — = сопв$ (11.61) зг1ар зебр р я. ' я В семейств линий равного потенциала и линий тока в полярных координатах, причем на лучах ахба = 0 и ахба = -я при р > В В самом деле, выделяя в (11.60) действительную и мнимую части и полагая я = ре'~ (р > 1е, — я ( <р ( 0) > получаем урав- нения 11.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ имеем Ф(л) = О и Ф(з) = — хор соответственно, а на полуокружности ф = Н, 1пхг (Π— Ф(я) = О. Неравномерное распределение по основанию плотины давления р фильтрационного потока приводит к возникновению приходящейся на единицу ее длины равнодействующей силы, имеющей не только вертикальную У, но и горизонтальную Х составляющие: Х = — р(<р)Всоя~ойр. (11.62) У = — р(у)йзш~рйр, Учитывая (11.2) и (11.61), при р = В имеем р(~р) = —— ~(ж) = — ~Ьр.
Поэтому из (11.62) вытекает, что У = НЬр и Х = 2Я = — Ьр. Если поры в грунте являются сообщающимися, то необходимо учесть наличие в нем гидростатического давления — дерсу. Оно не изменит горизонтальной составляющей равнодействующей, но к вертикальной составляющей У добавит силу выталкивания де рвяй2/2, равную весу воды, вытесненной основанием плотины.
Так как плотина и ее основание представляют собой единое сооружение, то при расчете действующих на это сооружение сил следует, очевидно, к горизонтальной составляющей х добавить силу даре(ьь)2/2, вызванную перепадом ЛЬ уровней воды в верхнем и нижнем бьефах, а к вертикальной— вес воды в объеме части плотины, находящемся ниже уровня воды в нижнем бьефе.
Слой грунта, через который просачивается вода под плотиной, в действительности имеет конечную толщину. Если принять нижнюю границу этого слоя, соответствующую прямой 1тпг = — Н (рис. 11.24), водонепроницаемой, т.е. считать ее линией тока, то наличие этой границы можно приближенно учесть, поместив в точку г = — 21Н вихрь интенсивностпи хор, равной, но противоположной по знаку интенсивности вихря с 11.о.
Задачи различного физического содержания 497 комплексным потенциалом (11.60), расположенного в точке» = = О. Складывая комплексные потенциалы этих двух вихрей, получаем эсЬр ассар эс1эр Игз(») = —, 1п» вЂ” —, 1п(»+ 21Н) = — 1п, . (11.63) яг' ггпу яг»+ 21Н Возникающая прн этом погрешность связана с тем, что теперь линии равного потенциала Ф(») = 0 и Ф(») = = — ась не совпадают при р > Н с лучами аг6» = 0 и аг6» = — гг соответственно, а являются дугами окружности, хотя и достаточно большого радиуса. Ясно, что эта погрешность будет тем меньше, чем меньше отношение гс/Н.
Совпадения этих лучей с указан- Рис. 11.24 ными линиями равного потенциала можно добиться, если использовать комплексный потенциал 14гз = 1п» вЂ” 1п(»+ 21Н) —, 1п(» — 21Н) (11.64) эсг'гр эс1.'гр эсЬр яг яг яг системы трех вихрей, добавив к двум вьппе рассмотренным еще вихрь интенсивности — эсЬр в точке» = 21Н (рис. 11.25). Но теперь прямая 1гп = — Н лишь приближенно будет соответствовать линии тока, что также внесет некоторую погрешность в решение задачи. Указанные погрешности можно свести к нулю, если вдоль всей мнимой оси Ве» = 0 в точках» = 4игН, 1с Е К, поместить вихри интенсивности эоЬр, а в точках 2»'(2Й+ 1)Н вЂ” вихри интенсивности — эоЬр. Тогда в силу симметрии лучи аг6» = 0 и аг6» = — я при р > Н совпадут с линиями равного потенциала, прямая 1пг» = — Н будет линией тока, а комплексный потенциал 498 11.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Рис. 11.25 такой системы вихрей примет вид Найдем расход воды, просачивающейся под основанием плотины единичной длины. Для зтого вычислим разность мнимых частей (11.65) в точках я = — гВ и г = — 1Н. Эта разность есть разность значений Функции тока на границе (г~ = В (1щ г ) 0) основания плотины и грунта и на прямой 1п(г = — Н. Она равна потоку Я плоского векторного поля через любую кривую, соединяющую прямую 1п(з = — Н с границей: ( -Я в 2(2Й~-1(Н ( ( -Н вЂ” 2(2Ь-1(К ~) Н2 х 2Н+В и ( 1 ) ( (2Н+Я)2) П.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
