X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Задачи различного физического содержании 499 Используя тождество й(1 Я ) в1 Д н=1 получаем Зл . и хор ЗН хор Я = — — 1п — — 1п — — 1п 2Н+Н „~ З н ) 4 4 «(2Н+В) 4Н е(20+ й) 4Н ~гЯ хЬР 4Н вЂ” 1п л 4Н хор хН хор иН = — — 1п 46 — = — 1п с46 —. и 4Н и 4Н Пример 11.10. Источник с положительной или отрицательной интенсивностью Я вызывает возмущение однородного векторного поля скорости жидкости или газа.
Это возмущение позволяет оценить зону распространения в потоке подводимой Например, при ЩН = 1/2 имеем Я = 0,28055хЬр. Для сравнения обратимся к формулам (11.63) и (11.64), из которых получаем соответственно Я = 0,34970хЬр и Я = 0,29167хЬр. В заключение этого примера отметим, что если основание плотины имеет поперечное сечение, отличающееся по форме от полукруга и ограниченное некоторой кривой у~ и отрезком [О, Ь] действительной оси 1шг = 0 (см.
рис. 11.23), то поперечное сечение целесообразно отобразить конформно на полукруг так, чтобы отрезок 10, Ь] был образом диаметра полукруга, а кривая у~ — образом полуокружности. Тогда для решения задачи можно использовать изложенный вьппе подход, заменяя во всех соотношениях г функцией д(г), осуществляющей такое отображение. 500 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ при Я > 0 инородной среды (например, загрязненной жидкости или дымовой завесы). В случае Я (0 зону такого возмущения можно интерпретировать как область потока, из которой происходит забор жидкости или газа. Пусть 1го — скорость невозмущенного потока жидкости, совпадающая с положительным направлением действительной оси 1шг = О. Поместим в точку г = 0 источник интенсивности Я > О.
Тогда комплексный потенциал Иг1я), описывающий взаимодействие этого потока и источника, в силу свойства аддитивности будет суммой комплексного потенциала И'0(г) = = 10я потока и комплексного потенциала источника, который можно представить в виде (5.56), т.е. (11.66) И'(я) = Иог+ — 1пж 2к Дифференцированием (11.66) находим скорость течения: г' (э) = И (э) го+ ( / 10+: 2к ~г~ 2кг Отсюда следует, что скорость равна нулю в единственной точке го = — Я/(2к1го), т.е.
эта точка является крипгической. Полагая г = ре'"' = р(сов р+ 1 01пу) и выделяя в (11.66) мнимую часть, получаем уравнение 111.67) Ъ~р01пу+ — у = соп0$ = Й,р 2к семейства линий тока (на рис. 11.26 стрелки указывают направление вектора скорости жидкости, касательного к линии тока). Значение )го( = Я/(2кЪо) в данном случае характеризует расстояние от источника, на которое проникает вверх по течению инородная среда.
Отметим, что агбго = к при Я > О. Для линии тока, проходящей через точку го = — Я/(2к1го) и ограничивающей область В распространения инородной среды, 11.5. Задачи различного чиезического содержании 501 получим значение константы /с,р = Я/2. Поскольку ря!п~р = у и <р = агс16(у/х) при х > О, уравнение для этой линии тока в области х > 0 можно представить в виде ~~ г у = — ~1 — — агс16 — ). 2Уе ~ „х) Анализируя полученное представление, нетрудно заключить, что эта линия тока имеет горизонтальные асимптоты у = = Щ/(21 е), к которым она приближается при х -+ +со. Рис. 11.26 Если в (11.66) принять Уе (0 и Я ( О, то характер векторного поля мало изменится: на рис. 11.26 изменится лишь направление стрелок на линиях тока.
В этом случае линия тока, проходяшая через точку хе, будет ограничивать область захвата источника с отрицательной интенсивностью (например, водозаборной скважины), а значение ~хе! = Я/(2яУе) будет характеризовать, на сколько граница этой области продвинута вниз по течению. Пример 11.11. Рассмотрим кольцевой слой теплоизоляции на горячей поверхности круглой трубы, заключенный в металлический кожух с тонкими продольными ребрами (рис. 11.27). Ребра увеличивают жесткость кожуха, что необходимо, например, в случае, когда из кольцевой полости между трубой и кожухом для повышения эффективности теплоизоляции выкачивает- 502 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ ся воздух.
Вместе с тем наличие металлических ребер в силу их высокой теплопроводности снижает суммарное термическое сопротивление теплоизоляции В = ЬТ1 Я, где ЬТ = Т вЂ” Т— разность температур трубы Т и кожуха Т„, Я вЂ” тепловой поток, проходящий через изоляцию в расчете на единицу длины трубы. Найдем значение Н при заданном количестве ребер п и известной высоте ребер Ь, принимая температуру ребер равной температуре Т кожуха. Рис. 11.2Т Распределение температуры внутри кожуха можно представить комплексным потенциалом, т.е. в виде действительной части некоторой аналитической функции в кольцевой области с повторяющимися разрезами.
Эта функция определяется граничными условиями: на внешней окружности, ограничивающей область, и на разрезе эта действительная часть функции имеет значение Т„, равное температуре кожуха, а на внутренней окружности — неизвестное значение Т, равное температуре трубы.
Повторящийся элемент кольцевого слоя теплоизоляции между двумя соседними ребрами показан на рис. 11.28. Отрезки А1С1 и А1С1 соответствуют радиальным сечениям кольцевого слоя, выделяющим из него повторяющийся элемент. В силу симметрии через эти отрезки нет переноса теплоты. Поэтому можно ограничиться рассмотрением отдельного элемента, считая, что на отрезках А1С1 и А1С1 этот элемент идеально 11.5. Задачи различного физического содержании 503 теплоизолирован. Температура дуги А' А~ равна Т, а темпе- ратура дуги РзР', и отрезков С1Р1, Р', С', — Т . езчч 1и,—. Р Рис.
11.28 Чтобы построить комплексный потенциал в выделенном элементе кольцевой области с нужным поведением на границе, отобразим этот элемент на область более простого вида — внутренность прямоугольника. Для этого введем полярную систему координат 1о, р с полюсом 0 на оси трубы.
Аналитическая в пределах выделенного элемента функция ~ = ~р+1 1п(р/г ) конформно отображает этот элемент на внутренность прямоугольника АРР'А' (см. рис. 11.28) в плоскости (~), характеризуемого параметрами В, Н и Ь', которые связаны соотношениями 6' 1п(1 — Ь/гн) В 2и 2 Н 1п(г /г ) Н п1п(г„/г )' где г и ㄠ— радиусы трубы и кожуха (см. рис. 11.27). Это конформное отображение переведет искомый комплексный потенциал в аналитическую внутри прямоугольника функцию, которая будет описывать распределение температуры внутри прямоугольника АРРА'. При этом сторона А'А этого прямоугольника будет иметь температуру Т, а сторона РзР и отрезки СР и С'Р' — температуру Т„.
При конформном отображении линии равного потенциала (в данном случае— Пь ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ~ = Цг) =С 0 й ( 1, (11.68) конформно отобразим верхнюю полуплоскость 1щг ) 0 на прямоугольник АРРА, подбирая соответствующим образом параметры С* и к.
При этом отрезку [ — 1, 1] действительной оси в плоскости (г) будет соответствовать сторона А'А прямоугольника АРР'А' (см. рис. 11.28), а точке г = 1 будет отвечать в изотермы) и линии тока теплового потока остаются взаимно перпендикулярными. Поэтому термические сопротивления слоя теплоизоляции с поперечным сечением в виде прямоугольника АРР'А' и в виде выделенного повторящегося элемента кольцевого слоя совпадают при условии, что коэффициент теплопроводности Л теплоизоляции в обоих случаях одинаков. Однако вычислить непосредственно термическое сопротивление прямоугольника АРР'А' достаточно сложно.
Задача упростится, если этот прямоугольник удастся конформно отобразить на новый прямоугольник А,С,С,'А', в плоскости (ю) (см. рис. 11.28), причем верхняя сторона С,С,' этого прямоугольника будет соответствовать участку границы СРР'С' старого прямоугольника, а нижняя сторона А.А', нового прямоугольника — нижней стороне АА' старого. Тогда распределение температуры для нового прямоугольника будет определяться значениями температуры на его горизонтальных сторонах А',А. и С,'С, и условием идеальной теплоизоляции на его боковых сторонах.
Такое распределение температуры имеет простой вид: Т = Су, где постоянная С может быть найдена нз значений температуры на горизонтальных сторонах прямоугольника и его высоты. Конформное отображение прямоугольника на прямоугольник можно осуществить в два этапа, используя в качестве промежуточной области верхнюю полуплоскость. При помощи эллиптического интеграла первого рода П.О. Задачи равличкого фпзического содержаккя 505 плоскости (~) точка (' = В,т.е.
= С* К(й), (11.69) где К(й) — полный эллиптический интеграл переого рода. Чтобы точке г = х = 1/й отвечала в плоскости (~) точка В (~ = В+1Н), должно быть выполнено, согласно (10.44), условие В+чН = С* о = К(й) +1К(й'), (11.70) где й' = ъ~1 — й~ — дополнительный модуль эллиптического интеграла. Следовательно, из (11.69) и (11.70) имеем Н/В = = К(й')/К(й) = р(й).
Функция р(й) монотонно убывает до нуля в промежутке (О, 1] (рис. 11.29). Поэтому любому заданному отношению Н/В Е (О, +ос) отвечает единственное значение модуля й. Рис. 11.29 Прообразом точки С в плоскости (~) при отображении (11.68) будет точка с > 1 действительной оси 1шг = О, удов- 506 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ летворяющая условию с В+г(Н вЂ” Ь') = С' О 1/с   — В+г О 1/с К(/с) = гс = 1,(2) = а, О на прямоугольник А, фф'А', в плоскости (гс) так, чтобы точка С, стала образом точки х = с > 1 (см. рис.
11.28). В этом случае /г. = 1/'с ( 1. Из условия 1 В=а, О = К(/г,) получаем а„= В/К(/г,), а из условия В+гН, =а. гЬ. (1 — х2) (1 — /г2 х2) О 1/й. = а, К(Й,) + а, = В+ га„К(й',), (1 - х2) (1 — /гзх2) 1 Теперь ту же верхнюю полуплоскость 1пгз > 0 конформно отобразим при помощи функции П.5. Задачи разяичяого физического еодержаяия 507 где я', =;/1 — йэ, находим высоту Н, = ВК(я,)/К(й,) прямоугольника А„С„С,'А',. Решение задачи теплопроводности для случая прямоугольника А,С,С„'А', в силу простых граничных условий, как уже отмечалось, элементарно: Т„(е) = Т вЂ” и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
