V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Мы имеем еще одно уравнение в частных производных: дд, дд, ех — =д — =д =д еч =1. дхо Ф дхо ' х — е*хо 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 420 и = -ге ~+ С, С = сом$. Отметим, что в точках (х, у, г), в которых я~у(2х — 3) = О, найденные функции также являются решениями, что легко про- верить непосредственной подстановкой в уравнения системы. Пример 11.29.
Докажем несовместность системы (11.51) ди — =1. д11 Для этого рассмотрим векторные поля д д Х1= ~ Х2= дх' ди и перепишем систему в виде Х1(и) = р, Хг(и) = 1. Так как векторные поля Хд и Хт коммутируют, то условия (11.49) совместности системы имеют вид Х1(1) — Х~(У) = О. Нетрудно убедиться в том, что записанное равенство не выпол- няется. Следовательно, система (11.51) несовместна. Отсюда заключаем, что у(д) = -е ~+С =х0 — хе +С, где С вЂ” постоянная интегрирования. Следовательно, любое решение системы (11.50) на множестве М имеет вид Д.11.2. Приложени» теории векторных полей и распределений 421 Дополнение 11.2. Некоторые приложения теории векторных полей и распределений Теорема 11.31.
Пусть Х1, ..., Մ— гладкие векторньи поля на и-мерном многообразии М, Р б М и векторы Х1 ~ „..., Х„~р линейно независимы. Для того чтобы векторные поля Х1, ..., Х„в некоторой локальной системе хоординат у1, ..., у„ а в окрестности точки Р были координатными, т.е. Х; = —, дд,' ю =1,п, необходимо и достаточно, чтобы эти векторные поля коммутировали, т.е.
1Х;, ХД = О, г, у = 1, и. ~ Необходимость. Если векторные поля Х; являются координатными в некоторой системе координат у1, ..., у„, то непосредственным вычислением с помощью формулы (11.28) убеждаемся, что ~Х;,ХД= =О, ~,у=1,Й. Ьг ~уу Достаточ ность. Выберем произвольный номер ~ (1 < (~ ( и) и рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных О, ~фу; Х;(у)= .. а=1,п, 1, (11.52) считая неизвестной функцию у . Нетрудно убедиться, что условия совместности для этой системы выполняются. Поэтому записанная система в некоторой окрестности Г точки Р имеет решение. Выберем какое-либо решение, обозначим его через у, и повторим такой выбор для всех номеров ~ =1, п.
Все выбрани ные функции определены в окрестности И = й Р. Покажем. и=1 что существует окрестность Р С Р точки Р, в которой отобра.- жение Ь = (у1 ... у„) определяет карту (КЙ) на многообразии, Выберем некоторую карту (И~,й), накрывающую точку Р, и обозначим через х1, ..., х„локальные координаты в этой 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 422 карте. Пусть в выбранной системе координат векторные поля Х; имеют координатное представление д Х,=~а1: —, ~=1,п, дх1, д, Уз 6; = р а~ —,~ =Х;(у). дх1, С учетом формул (11.52) делаем вывод, что АЬ'(х) = 1; и деВЬ'(х) ф. О, т.е.
матрица Якоби функции Ь является невырожденной. Согласно теореме об обратной функции и условию гладкости координатных функций а; векторных полей Х;, сужение функции Ь(х) на некоторую окрестность точки х = Й(Р) является диффеоморфизмом. Следовательно, для некоторой окрестности Г С Уй Ю точки Р пара (1~,6) является картой, а.
функции у, 1= 1, и, в этой карте есть координатные функции. Еоординатные функции векторного поля Х; в этой карте есть производные координатных функций у вдоль этого векторного поля. В силу формул (11.52) векторное поле Х; имеет вид д Х; = —, т.е. является ~-м координатным полем. 1~ дд, Пример 11.30.
Рассмотрим на многообразии И~ векторные поля д д д Х, = —, Х,=4у —, дх' дх ду' В каждой точке (х, у) б И~ эти векторные поля независимы. поскольку матрица, составленная из координатных функций векторных полей, всюду в Й2 невырождена: 1 4у = -1 у~О. Π— 1 а отображение 6 — координатное представление 6 = 60 й Ь(х) = (у1(х) ...
у„(х)). Вводя функциональную матрицу А = = (а; ), заключаем, что произведение этой матрицы на матрицу Якоби Ь'(х) функции Ь имеет вид АЬь(х) = (6; ), где Д.!1.2. Приложения теории векторных полей и распределений 423 Векторные поля Х1 и Хр коммутируют, так как д4у д1 д4р д1~ д (х, У1 = (1 —, — 4у — + Π— — (-1) — ~ — + дж дх ду дд) дж д(-1) дО д(-1) дО~ д +(1 — 4у — + О. — (-1) . — ~1 — = О. дй д~ дф дф д~ Согласно теореме 11.31, векторные поля Х1 и Х~ в некоторой системе координат являются координатными. Напомним, что производная координатной функции вдоль векторного поля совпадает с координатной функцией векторного поля.
Поэтому, если векторные поля Х1 и Х~ в системе координат и, о являются координатными, то Х1(и) = 1, Х1(о) = О, Х2(и) = О, Хг(о) = 1. (11.53) Из этих соотношений следует, что координатная функция и является иервым интегралом векторного поля Х~, а координатная функция н — первым интегралом векторного поля Х~. Первые интегралы векторного поля Х1 в исходной системе координат ж, у определяются уравнением равносильным уравнению ф = О, откуда у = сопв~. Значит, первым интегралом векторного поля Х~ является функция ~р(ж,у) = у, а все остальные первые интегралы в силу того, что размерность многообразия равна двум, имеют вид ~(фх,Я) = = Ду), где ~ — произвольная гладкая функция.
Аналогично находим первые интегралы векторного поля Х~, записав соответствующее уравнение в системе координат х, у: Ых <~у 4у — 1 Записанное уравнение эквивалентно уравнению Ыж+4рду= О, из которого находим х+2у~ = сонями. Таким образом, все первые 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 424 интегралы векторного поля Хг имеют вид д(х+2уа), где д— гладкая функция. Из первых интегралов ~(у) векторного поля Х1 находим такую функцию о, что Х~(о) = 1. Для этого в дифференциальное уравнение д д. 4у — — — =1 дх ду подставляем о= Ду) и приходим к уравнению относительно неизвестной функции ~: -Р(у) = 1.
Из этого уравнения находим ~(у) =С1 — у и о=С1 — у. Ана- логично для определения первого интеграла и = д(х+2у ) под- ставляем его в дифференциальное уравнение Х1(и) = 1: — =д (х+2у ) = 1. ди дх Это равенство верно для любых значений переменных х и у и равносильно условию д'(х) = 1, откуда д(х) = х+С2. Значит. и=д(х+2уя) =х+2у~+С2. Итак, функции и = х+ 2у~ + С'~ и о = С1 — у удовлетворяют условиям (11.53). Следовательно, в системе координат и, о, которая определяется заменой переменных и = х+ 2у~+ Ся, о = С1 — у, или х = и — 2(С1 — ю) ~ — С~, у = С1 — е, рассматрива; емые векторные поля являются координатными: д Х1 — — —, ди Отметим, что система координат и, о введена на всем многообразии Ж2, так как отображение (и, о): Й~ -+ И~ является диффеоморфизмом Е~ на йз. Отметим также, что решение найдено с точностью до аддитивных постоянных С1 и С'~. Это связано с тем, что при замене переменных х = х+ С~ Д.11.2.
Приложения теории векторных полей и распределений 425 у=у+С2 с произвольными постоянными С~ и С2 координатные векторные поля не изменяются. Пример 11.31. Векторные поля д д Х2 — у +х ° дх ду д д Х1 — — х — +у —, дх ду на многообразии Ж2 коммутируют всюду, так как [Х, Ц = 0 в Ж2. Проверим, являются ли векторы Х1~р, Х2~, в произволь- ной точке Р линейно независимыми. Вычислим определитель, составленный из координатных функций векторных полей: х — у у х = х +у2.
Видим, что векторные поля Х1 и Х2 линейно независимы в каждой точке в Ж2, кроме точки (О, 0). В окрестности этой точки векторные поля не могут быть координатными для какой-либо системы координат, так как координатные векторные поля линейно независимы в каждой точке, в которой действует система координат. Для произвольной точки (хо, уо) в Ж2~ ((О, 0)) найдем систему координат, в которой заданные векторные поля являются координатными. Как и в предыдущем примере, ищем первые интегралы векторных полей. Для векторного поля Х1 дифференциальное уравнение первых интегралов имеет вид пх пу х у Интегрирование этого уравнения приводит к соотношеник~ у/х = С1 или х/у =С1.
Поэтому первые интегралы векторного поля Х1 можно записать в виде д(у/х) или у(х/у). Первое представление можно использовать в окрестности точки (хо, уо) при хоф.О, а второе — при уо~О. 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 426 Первые интегралы векторного поля Хр описываются ураннением И~. Ы~ 3 -у х —,+1 Отсюда заключаем, что и у(х) = агс®х (постоянная интегрирования опущена). Следовательно, о = агсф(у/х), если х0 ,-Е О. Аналогично находим, что о = — агсФфх/у) при у0 ф О. Среди первых интегралов 4~(х~+ у~) векторного поля Х~ ищем функцию и, удовлетворяющую уравнению Х1(а) = 1.
Это уравнение приводит к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции 4: Ф'(х~+ у~)(2х~+ 2у~) = 1. Выполнив замену г = ха+ у2, получим 6'(г) = 1/(2т), откуда 4~(г) = (1/2)1пт (постоянную интегрирования опускаем). В результате получаем и = (1/2)! п(х~+ уя). Итак, искомая замена переменных имеет вид а = — !п(х +у ), п = агсф— 2 2 у 2 х (11 54) эквивалентным уравнению хпх+ уеду = О. Отсюда следует, что первыми интегралами Хя являются функции вида 4>(х~+ уя). Среди первых интегралов векторного поля Х~ находим функцию о = <р(у/х) (или о = ф(х/у)), удовлетворяющую дифференциальному уравнению Х2(о) = 1, которое в данном случае имеет вид Д.11.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
