V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 55
Текст из файла (страница 55)
тео- рему 11.16), получаем А1 Вт = Вт'А~'В т'Ао'Вт = = Вт о А~ о В- о В = В о Аг о Во = Вт о А1- Необходимость в утверждении теоремы также доказана. ~ 393 11.8. Алгебра Ли векторных полей Теорема 11.24. Если отображение Р: М -+ Ж вЂ” диффеоморфизм многообразия М в многообразие Ж, а Х и У— гладкие векторные поля на М, то ИР(~Х, У]) = ~сЪР(Х), ЫР(У)]. (11.35) ~ Согласно определению коммутатора векторных полей, УР(Х), гР(У)] = ЮР(Х).НР(У) — НР(У) о ~Р(Х), где векторные поля ЫР(Х) и И'(У) в правой части равенства трактуются как дифференцирования алгебры С" (М).
В силу теорем 11.5 и 11.15 имеем НР(Х) оаР(У) =(Р-') охоР о(Р-')'оУоР"= = (Р-~)..Х. (Р-1.Р)-.У.Р- = (Р-~)..Х.У.Р-. Аналогично 4Р(У) о ЯР(Х) — (Р ) о У о Х о Р Поэтому [~Р(Х), «~" (У)] = (Р ') о Х о ~ о Р" — (Р ') ' = (Р-')". (Х.1 - ~ .Х).Р = (Р-')" ~Х, У].Р . (11.3б) Снова используя теорему 11.15, заключаем, что (Р 1) 01Х,У]ОР =аРИХ,У]).
(11.37) Сопоставляя равенства (11.3б) и (11.37), приходим к утверждению теоремы. ~ Замечание 11.6. Равенство (11.35) остается верным и в том случае, когда гладкое отображение Р не является диффеоморфизмом, но ставит гладким векторным полям Х и У в соответствие гладкие векторные поля Н'(Х) и ИР(У). Тогда отображение Р векторному полю ~Х, у] ставит в соответствие гладкое векторное поле ЫР(1Х, У]), которое, согласно (11.35), совпадает с гладким векторным полем ~Н'(Х), ЩУ)]. И.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 394 11.9. Распределения и теорема Фробениуса Умножая векторное поле Х на гладкую функцию, мы получаем векторное поле с теми же образами интегральных кривых, что и поле Х, так как умножению векторного поля на функцию соответствует замена параметра у интегральных кривых. Значит, образы интегральных кривых определяются скорее „полем прямых", чем полем векторов. Полезным оказывается рассмотреть более общий объект — „поле Й-мерных подпространств". Говорят, что на многообразии М задано распредаюение (или дифференциальная систпема, или стпрутпура Пфаффа) Х, если в каждой точке Р б М задано линейное подпространство Хр касатпельного простпранстпва ТРМ (рис. 11.19). Если размерность линейных подпространств 5Р постоянна для всех точек Р из некоторой окрестпностпи точки Ч' б М, то распределение т называют регуаарным в тпочне Ч, а размерность каждого линейного подпространства тр называют размерностиью расиределениа .'т" в окрестности точки Я и обозначают сИт Х.
Рис. 11.19 Пример 11.22. Рассмотрим в Вз функции Дж,у,г) = ж~+у~+г~, д(ж,у,г) = з. Через каждую точку (ха, уо, го) в Ез проходит поверхностп~ уровня каждой из этих функций. Интерпретируя поверхно- 395 11.9. Распределения и теорема Фробениуса сти уровня двух функций как подмножества многообразия И~, рассмотрим в каждой точке (хо, уо, го) множество векторов, касательных одновременно к двум поверхностям уровня У(х,у,х) = У(хо,уо,хо) и у(х,у,г) = д(хо,уо,хо). Покажем, что это множество является линейным подпространством касательного пространства в точке (хо, уо, хо) и что тем самым в Жз задано распределение.
В каждой точке (хо, уо, хо) ф (О, О, 0) градиентпы функций Дх,у,х) и у(х,у,х) не обращаются в нуль. Следовательно, поверхности уровня обеих функций, проходящие через точку (хо, уо, хо), в окрестности этой точки являются регулярными поверхностями, а множества векторов, касательных к этим поверхностям, есть множества векторов в касательных плоскостях к этим поверхностям (см. пример 11.15). Координаты (, и, ~ вектора, касательного к обеим поверхностям уровня в точке (хо, уо, хо), удовлетворяют системе уравнений 2хф+ 2уоп+ 2хо~ = 0 ~=0. Если ранг матрицы этой однородной системы линейных алгебраических уравнений равен двум, то множество решений представляет собой одномерное линейное подпространство. В точках (хо, уо, «о), для которых хо —— уо — — О, хо ф О, ранг матрицы системы равен единице, а множество решений системы есть двумерное подпространство.
В точке (О, О, 0) поверхность уровня функции ~(х,у,х) вырождается в точку. Так как единственной параметризованной кривой, образ которой принадлежит одноточечному множеству ((О, О, ОЦ, является 'у(~) = (О, О, 0) с нулевым касательным вектором, то множество векторов, касательных к поверхности уровня ~(х,у,х) = О, содержит единственный вектор — нулевой. Очевидно, что только этот вектор одновременно касается двух поверхностей уровня в точке (О, О, 0). 31. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ Итак, функции ~(х,у,х) и д(х,у,х) позволили построить распределение, которое: — точке (О, О, 0) ставит в соответствие нульмерное линейно~ подпространство касательного пространства; — каждой точке (О, О, хо), хо ф О, ставит в соответствие двумерное линейное подпространство касательного пространства, д д. состоящее из векторов вида 4 — + г1 —; д~ дц' — всем остальным точкам (хо, у0, х0) многообразия Жз ставит в соответствие одномерное линейное подпространство кад сательного пространства, состоящее из векторов вида ( — + дх д + т1 —, для которых хо( + до21 = О.
дд' Отметим, что построенное распределение не является регулярным. Распределения можно задавать с помощью семейств векторных полей. Пусть на многообразии М задано семейство (Х„1 векторных полей. Тогда в каждой точке Рб М определено множество (Х ~Р) касательных векторов к многообразию Л! в точке .Р, т.е. подмножество линейного пространства ТРИ.
Сопоставив точке .Р линейное подпространство ХР, являющееся линейной оболочкой арап(Х~~Р) множества (Х„~,), получим распределение У на многообразии М. В этом случае мы будем называть семейство (Х„~ семейстпвом, порождающим распределение У. Наиболее распространенным ямяется случай конечного семейства векторных полей Х;, г = 1, Е Если в каждой точке ~' система касательных векторов Х;~Р, ~ = 1, к, линейно независима, то ЖАСУР = к, Р б М, и мы имеем дело с регулярным распределением на многообразии М размерности Й. Однако в практических приложениях возникают системы векторных полей Х;, линейно независимые на всем многообразии за исключением относительно небольшого (возможно, и конечного~ множества точек, в которых свойство линейной независимости теряется. В этом случае система Х;, г = 1,й, порожда~" 11.9.
Распределения и теорема Фробениуса 397 нерегулярное распределение. Это распределение становится регулярным, если его ограничить на открытом подмножестве многообразия, не содержащем точки нерегулярности. Распределение Х, порожденное семейством (Х ) гладких векторных полей, называют г,юодким. Далее рассматриваются гладкие регулярные распределения. Пример 11.23. Распределение Х, построенное в примере 11.22, не является регулярным: соответствующее линейное подпространство касательного пространства нульмерно в точке (О, О, 0), двумерно в остальных точках оси Ок и одномерно вне оси Ог.
В области У = ((х, у, г): гфО), полученной выбрасыванием точек оси Ок, распределение Х имеет постоянную размерность, равную единице. Нетрудно убедиться, что в этой области распределение Х описывается гладким векторным под д лем — у — +х —. Значит, распределение У в области У является д~ дн гладким и регулярным. $~ На п-мерном многообразии М рассмотрим некоторое Й-мерное подмногообразие У.
Подмногообразие М имеет структуру гладкого многообразия, а касательное пространство ТРИ к многообразию М можно рассматривать как линейное подпространство касательного пространства ТРМ к многообразию М в точке Р. Любое распределение Х на многообразии М порождает распределение Х на подмногообразии Ф, для которого З'Р = тР и ТР ж, ~ ~= М. Если распределение Х на многообразии М и подмногообразие Ж многообразия М в любой точке Р Е Ж связаны условием ТРИ С ХР, то мы будем называть распределение Х по отношению к Ф распределением, касающимся подмногообразия Ж, а подмногообразие Х по отношению к распределению Х вЂ” интегральньюм многоо6розием.
Интегральное многообразие Ф распределения Х будем называть максимальным интпегральным многообразием, если не существует интегрального многообразия большей размерности, содержащего Ж. !1.9. Распределения и теорема Фробениуса 399 соотношения Хр б Х! и Ур Е Хр. Следовательно, (Х+ У)р = = Хр+ Ур б Хр и (~Х)р = ~(Р)Хр б Ур, так как Ур есть линейное подпространство ТрМ. Таким образом, множество З(Х) замкнуто относительно операций сложения векторных полей и умножения векторного поля на гладкую функцию. Это множество будем называть модулем раствредеменам Х. Кроме операций сложения и умножения на функцию, для гладких векторных полей имеется еще одна операция — коммдпгатор векторных полей Модуль распределения может быть не замкнут отйосительно коммутатора векторных полей, т.е. могут существовать векторные поля, принадлежащие распределению, коммутатор которых не принадлежит распределению.
Пример 11.25. На многообразии Вз рассмотрим двумерное распределение Х, порожденное векторными полями д д д Х= —, У= — +е —. дх' др дх Непосредственный подсчет с помощью формулы (11.28) дает х д ~Х,У]=е —. дх Легко убедиться, что в каждой точке Р Е Из вектор (Х, У]! не является линейной комбинацией векторов Хр, Ур, так как система из трех векторов Хр, Ур, ~Х, У]р линейно независима. Значит, векторное поле ~Х, У] не принадлежит распределению У, порожденному векторными полями Х и У, т.е. [Х, У] ф У. Распределение Х на многообразии М называют ииволю~вивмым, если его модуль 'Э(Х) замкнут относительно коммутатора векторных полей, т.е. ~Х, У] б У для любых гладких векторных полей Х б Х и У Е У. Модуль инволютивного распределения является алгеброй Ди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
