V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 53
Текст из файла (страница 53)
5'. А»~., = А»оА,. 6' А-» =(А») ' ° 7'. А». Ц -+ У» — диффеоморфизм. «$ Свойство 1' непосредственно следует из определения семейства (А»). При фиксированном Р параметризованная крива» 'у(1) = А»(Р) определена в некотором интервале (-а,~9), со держащем нуль. Согласно определению, точка Р принадле жит множеству Ц при $ б (-а,,о) и не принадлежит ему пР" 1 ф (-а,,д). Это значит, что если Р б Ц, то 1»= (-а, Р). 381 11.7. Фазовый поток векторного поля Аа+з(Р) = У(й+ 8) = У(1) = А1(Я) = Аю(Аз(Р)) = (Ас ' 4,)(Р) ° '1оскольку точку Р можно выбрать произвольно, то А~+, —— = А~ о А„т.е.
доказано свойство 5е. тогда и 8 б (-а, 4), если О < в < 1 или 1 < з < О. В таком случае Р Е У,. Тем самым доказано свойство 2'. Перейдем к доказательству свойства 3'. Пусть Р— произвольная точка М. Через точку Р проходит интегральная кривая у(1) с областью определения (-а,Д). Выберем некоторое значение т Е (-а, 0), и пусть ~(т) = Я. Рассмотрим параметризованную кривую Я1) = у(~+т). Как было отмечено выше, эта кривая является интегральной кривой векторного поля Х, причем областью определения этой кривой является интервал (-а — т, Д вЂ” т), содержащий нуль, и у(О) = у(т) = ц. А это значит, что у(1) =А~(ц).
Так как А~(Я) = у(О)= Р при 1=-т> О, то точка Р принадлежит множеству Ц. Итак, для любой точки Р можно указать такое число 1, что Р б Ц. Следовательно, Р б 0 У~. Аналогично доказывается равенство Р Е 0 Ц. 1>О 1<О Докажем свойство 4'. Пусть Р е У,. Это значит, что интегральная кривая у(~) = А~(Р) определена на интервале (-а,,В), который содержит точку 8.
Если 1 б (-а,,в), то через точку Я = А~(Р) проходит интеральная кривая А,Я) = у(т+ й) с областью определения ( — а — 1,,8 — 1). Ясно, что 8 — 1 Е (-а— $„3 — 1). Таким образом, А~(ЦПУ,) С У, ~. В частном случае 0<1 < 8 или в<1<О имеем У, С Ц, что приводит к свойству 4'. Докажем свойство 5'. Пусть Р Е У, и Ч = А,(Р). Это значит, что интегральная кривая у(1) = А~(Р), проходящая через точку Р при 1 = О, имеет область определения ( — а,,в), которая содержит точку ~ =8. Эта интегральная кривая проходит и через точку Я при значении параметра ~ = а Следовательно, интегральная кривая Яй) = у(8+ 8) проходит через точку Ч' при ~ = О, а потому совпадает с А1(Я).
Областью определения интегральной кривой у является интервал (-о — 8,,8 — 8). Пусть значение 1 принадлежит этому интервалу. Тогда 382 «1. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ Перейдем к свойству 6'. Оно утверждает, что при фикси рованном «отображение А~ является инъективным, область значений этого отображения является множество У ~, а образ ным отображением является А ~. Пусть Р Е Ц. Тогда интег ральная кривая у(з) = А,(Р) определена на интервале ( — о, ~3) содержащем точку «. Значит, через точку Я = у(«) проходит интегральная кривая А,(Я) = у(з) = у(«+ з) с областью определения (-а — «, д — «).
Так как эта кривая определена при з = -« то Я = А~(Р) Е У ~. Более того, А ~ ®) ='у(0) = Р. Таким образом, если Р Е Ц, то А~(Р) Е У ~ и А ~®) = Р = (А~) 'Я). Поскольку А~ при любом «является гладким в области Ц, а обратное отображение А ~ является гладким в области У ~, то отображение А~. 'Ц -~ У ~ является диффеоморфизмом. Свойство 7' доказано. Ь Семейство отображений А~. Ц вЂ” ~ М, удовлетворяющее свойствам 1'-7' теоремы 11.16, называют локальной однопараметпрической группой диффеоморфиэмов (мы будем называть ее просто яокальной группой). Теорема 11.16 утверждает, что с каждым гладким векторным полем Х на многообразии М связана локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов. Такую группу (т.е.
локальную однопараметрическув группу диффеоморфизмов, порожденную векторным полем) называют фазовым потпоком вектпорного пол.я Х. На самом деле любая однопараметрическая группа диффеоморфизмов связана с некоторым гладким векторным полем Действительно, если (АД вЂ” локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов на многообразии М, то сопоставим каждой точке Р Е М касательный вектор Хр к параметризованной кривой т(«) = А~(Р).
Можно показать, что это векторное поле является гладким, а его фазовым потоком будет скальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов (А~) Таким образом, имеется взаимно однозначное соответстви" между векторными полями на многообразии и локальными од нопараметрическими группами диффеоморфизмов, а поняти" 383 11.7. Фазовый поток векторного поля „локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов" и „фазовый поток векторного поля" оказываются равносиль- ными. Теорема 11.17. Если гладкому векторному полю Х на многообразии М соответствует фазовый поток (АД и ~— гладкая функция на М, то Х(1) = — (А;Щ) ~ и Х(А;(()) = — (А;(1)) = А;(Х())).
(11.26) ~ Выберем произвольную точку Р и зафиксируем. Параметризованная кривая ~(1) = А1(Р) является интегральной кривой векторного поля Х. Следовательно, вектор Хр — касательный вектор к этой кривой в точке Р, причем точке Р соответствует значение параметра ~ = О. Значением функции Х(~) в точке Р является производная функции ~ вдоль касательного вектора Хр. Поэтому (Х(Р))(Р) = ХрЦ) = (1о~) (0) = — ((1оА )(Р))~ КОМПОЗИцИя ~о А1 ЕСТЬ фуНКцИя, КОтОрая ПарЕ арГуМЕНтОВ (1, Р) ставит в соответствие число.
Эту композицию можно рассматРивать и при фиксированной точке Р (как в последней формуле), и при фиксированном значении параметра ~. В последнем Замечание 11.5. Если векторному полю Х соответствует локальная группа (А1), то векторному полю — Х соответствует локальная группа (А 1). Действительно, в локальной системе координат параметризованная кривая А1(Р) записывается как решение х(~) системы ОДУ х = А(х). Но в этом случае вектор-функция х(-~) является решением системы ОДУ х= -А(х), соответствующей векторному полю — Х.
Но эта вектор-функция есть представление в локальной системе координат параметризованной кривой А 1(Р), которая оказывается интегральной кривой векторного поля -Х. ! 1. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 384 случае А~ есть отображение многообразия на себя, которому с„ ответствует индуцированное отображение А, алгебры С (Лу) Согласно определению, А;(У) = ~о А~. Поэтому можно написать (Уо А~)(Р) = (А;(~))(Р). В результате получаем первое равен ство.
Доказательство второго равенства проводится аналогично Выберем точку Р б М. В этой точке (Х(Ао Щ))(Р) = — ((А;Щ о А,)(Р)) ~ = — ((~о А,оА,)(Р))~ = — ((ДоАо+о)(Р))~ = — ((~о А~)(Р)) = — ~А~ (~))(Р). (11.27) В результате приходим к равенству Х(А;(~)) = — А;(~). д Далее, так как при ц = А~(Р) — ((~о А, А,)(Р))) = — ((~о А, А,)(Р))~ д д д (ЦоА )(Ч))~ =Хц(~) =(ХЩ)Я)= = (Х(У))(А(Р)) = (Х(У) ~Ас)(Р) = А,'(Х(У))(Р) с учетом равенств (11.27) получаем (Х(А;(~)))(Р) = А;(Х(~))(Р), Х(А~(У)) = А~(Х(У)). или Если гладкое векторное поле Х таково, что в любой точке Р данного подмножества М С М вектор Хр является касательным к Ф, то Х будем называть векторным пояем, касающимся подмножества Ф, 385 11.8.
Алгеорв Дн векторных полей Теорема 11.18. Пусть Ж является подмногообразием многообразия М, векторное поле Х касается Ж. Тогда фазовый поток (А~) поля Х двигается по Ж, т.е. Ас(Ж) С Ф. Любая интегральная кривая поля Х или не пересекает У, или лежит на Ж. 11.8. Алгебра Ли векторных полей На многообразии М рассмотрим два вехторных поля Х и У. Будем их интерпретировать как дифференцирования алгебры С" (М), т.е. отображения из алгебры С~(М) в себя, обладающего свойствами, сформулированными в теореме 11.14. С' помощью этих двух отображений составим новое отображение '1Х, У) =ХеУ вЂ” УеХ алгебры Соо(М) в себя.
Оказывается, что это отображение также является дифференцированием. Действительно, свойство линейности этого отображения (свойство 1' в теореме 11.14) очевидно. Прове- 41 Из определений вектора, касательного к подмножеству на многообразии, и векторного поля, касающегося подмножества, следует, что если Ж вЂ” подмногообразие многообразия М, то векторное поле, касающееся Ж, после его ограничения на Ж будет векторным полем на многообразии М.
Ограничим векторное поле Х на Ж. Обозначим полученное таким образом векторное поле на М через Х~ . Очевидно, интегральные кри- 1М вые поля Х ~ являются одновременно интегральными кривыми 1И поля Х. Поэтому, если Р Е М, то А~(Р) лежит на интегральной кривой поля Х1, а значит, А~(Р) Е М. Отсюда А~(Ж) Е Ж. 1М Так как интегральные кривые поля Х1 заполняют все М, 1Ф то интегральные кривые поля Х или не пересекают У, или являются интегральными кривыми поля Х~, а значит, лежат 1Ф наУ.~ 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 386 рим, как зто отображение связано с произведением функций: [х, к] уд) = х(дауд)) — ~(худ)) = = х(~®д+ у~(д)) — цху)д+ ух(д)) = = ХЖУ))д+ У(У)х(д)+ ХУ)~(д)+Р~(У(д))— — ~ (ху))д- х(у)цд) — у®х(д) — ~т(х(д)) = = х(1'у))д-1 (ху))д+ ~х('1'(д)) — Уъ'(х(д)) = = [Х У]У)д+ЛХ.Ч(д). Итак, с помощью векторных полей Х и У можно построить новое векторное поле, которое при интерпретации векторных полей как дифференцирований алгебры функций можно записать в виде [Х 1']= Хо~' — 1'ОХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
