V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Тогда любая постоянная функция на интегральном многообразии может быть записана в виде Р'(и1,..., и„1,.), где Р— произвольная гладкая функция и — й переменных. Инволютивность распределения У равносильна выполнению условий (11.39). Записывая зти условия и координатной форме, подведем итог, сформулировав теорему. Теорема 11.28. Если коэффициенты а; системы дифференциальных уравнений (11.43) удовлетворяют условиям где с~ — некоторые функции переменных х1, ..., х,„, а функциональная матрица (а; ) имеет ранг Й, Й ( и, то в некоторо1' т,е.
искомые функции являются решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициентами которой являются гладкие функции. Рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений вида (11.43). В каких случаях такая система имеет решения? Ответ можно дать, связывая систему вида (11.43) с каким- либо многообразием. Пусть, например, функции а;;: В" -+ Щ определены в окрестности Г некоторой точки х Е В". Множество У можно рассматривать как а-мерное многообразие с атласом иэ одной карты, на котором определены гладкие векторные поля Х;=~ а; —, ~'=1,Й. д (11.44) у=1 дх 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 408 ~У, Я'~ (и) = У(Я(и)) — 2(У(и)) = У(0) — Я(0) = О. Следовательно, множество решений исходной системы дифференциальных уравнений и множество решений пополненной системы дифференциальных уравнений совпадают. Но в случае пополненной системы дифференциальных уравнений можно испольэовать (при некоторых ограничениях) теорему 11.28, а это позволяет получить описание всех решений исходной системы дифференциальных уравнений. Пусть векторные поля Х1, ..., Х~ таковы, что для любого числа г = 1, Й векторные поля Х1, ..., Х, порождают инволютивное регулярное распределение размерности г. Тогда общие первые интегралы векторных полей Х~, ..., Х~ можно находить последовательно. Сначала определяются первые интегралы векторного поля Х1, затем общие первые интегралы пары векторных полей Х1, Х2, затем общие первые интегралы трех векторных полей и т.д.
Пусть найдены общие первые интегралы векторных полей Х1, ..., Х„. Согласно теореме 11.2« можно выбрать такие функции и1, ..., и„„, что любой об- Распределение, порожденное пополненной системой векторных полей, является инволютивным, так как любой коммутатор векторных полей системы является линейной комбинацией векторных полей системы, а потому принадлежит распределению. Это распределение является наименьшим, поскольку инволютивное замыкание вместе с векторными полями Х, содержит и все их коммутаторы, а также коммутаторы этих коммутаторов и т.п.
Если система векторных полей Х; соответствует системе линейных дифференциальных уравнений в частных производных вида (11.43), то пополненная система векторных полей соответствует системе дифференциальных уравнений, полученной иэ исходной добавлением новых уравнений. Отметим, что если У(и) = 0 и У(и) = О, то ,Ц.Я. Распределения и теорема Фробениуса 409 щий первый интеграл и векторных полей Х1, ..., Х„имеет вид и= Р(и1,...,и„„), где à — произвольная гладкая функция. Подставляя это представление в уравнение Х„+1(и) = О, приходим к линейному дифференциальному уравнению в частных производных относительно функции г'. Еаждому решению этого уравнения соответствует общий первый интеграл системы векторных полей Х1, ..., Х„+~. Тем самым мы получаем множество общих первых интегралов векторных полей Х~, ....
Х„+1. Последовательно применяя этот подход для г = 1, 2, ..., Й вЂ” 1, приходим к описанию общих первых интегралов векторных полей Х~, ..., Х~. Пример 11.26. В Из с координатами х, у, х исследуем на интегрируемость распределение Х, порожденное векторными поля м и д д У =е~ —, — 2р —. др дг' д д Х= — — г— дх дл' Поскольку векторные поля Х и У гладкие, распределение Х гладкое. Матрица, составленная из координатных функций векторных полей, т.е. матрица 1 0 О е — — 2д всюду в Жз имеет ранг 2.
Следовательно, рассматриваемое распределение является регулярным. Вычислим коммутатор векторных полей Х и У: т 1Х, Ц = е — — 2р —, = У. дд дх Из результатов вычисления заключаем, что распределение Х инволютивно. Согласно теореме Фробениуса, это распределе- ние интегрируемо. И. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 410 Определим максимальные интегральные многообразия этого раппределения. Чтобы найти первые интегралы векторного поля Х, используем симметпричную фарму записи системы ОДУ, соответствующей векторному полю Х: Ых ау й 1 0 — г Из этих равенств получаем И~ сЬ+ — = О, ау = О. г ,ди ди дР дР У(и) = е' — — 2у —, = е —, — 2уе~ —. = О, ду дг дд др или дЕ , дŠ— — 2о — = О.
дд др Итак, функция Е(р, д) является первым интегралом векторного д д поля — — 2д —. Снова используем симметричную форму записи дф дР соответствующей системы ОДУ: 1 — 2д Система состоит из единственного уравнения, решая которыми' находим его первый интеграл и = р+д~. Все множество первых д, д интегралов и векторного поля — — 2д — описывается формулои Ж дР и = С(р+ д~), где С вЂ” гладкая функция одного действитель- Отсюда легко найти первые интегралы системы ОДУ, или первые интегралы векторного поля Х: р = ле, 0 = у.
Множество первых интегралов и векторного поля Х описывается формулой и = Р~р,д), где р= ге, д = у, а Р' — гладкая функция двух переменных. Среди таких функций ищем первые интегралы векторного поля У. Согласно правилу сложной функции, име- ем 411 1!.9. Распределеыия и теорема Фробениуса ного переменного. Подставляя вместо р и д найденные выше первые интегралы векторного поля Х, получаем общие первые интегралы векторных полей Х и У: и=С(хе +у ). ~е'+у~ =С, где С вЂ” произвольная постоянная.
Пример 11.27. Решим однородную систему дифференциальных уравнений в частных производных ди ди у — +г — =О, дх ду ди ди у — +х —, =О. ду дх (11.45) Введем в Жз векторные поля д д д д Х=у —,+г —, У=у — +х —, дх ду' ду д~' Тогдасистему (11.45) можно записать в виде Х(и) = О, У(и) = О. Найдем коммутатор векторных полей Х и У: д д д '1Х, У] = -у — + (х — х) — + у —, дх ду дх Для описания максимальных интегрируемых многообразий достаточно взять один первый интеграл и= хе~+у~.
Отметим, что матрица Якоби функции и(х,у,г), равная (хе~ 2у ее), не обращается в нуль ни в одной точке в Ез. Максимальные интегральные многообразия распределения У, порожденного векторными полями Х и У, описываются уравнением 412 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ Составим матрицу из координатных функций векторных полей Х, У, [Х, У]: у О у л у г — х О х у Определитель этой матрицы равен (х~+ у~)у, т.е.
обращается в нуль только в точках плоскости у = О. Следовательно, при уф. О векторы ХР, Ур, [Х, У]Р в точке Р= (х, у, г) линейно независимы, а распределение Х, порожденное векторными полями Х, У, [Х, У], вне плоскости у = О совпадает с касательным расслоением, т.е. ХР = Трйз. Значит, через такие точки проходит максимальное интегральное многообразие размерности 3. являющееся областью многообразия Ез.
Таких многообразий два: у > О и у < О. Так как решение исходной системы постоянно на любом максимальном интегральном многообразии, то и постоянно в областях у > О и у < О. Учитывая гладкость функции и, заключаем, что рассматриваемая система имеет только постоянные решения. Замечание 11.7.
Мы видели, что каждому векторному полю на многообразии в заданной локальной системе координат соответствует автономная нормальная система ОДЕ Эта связь позволяет для исследования автономных систем ОДУ использовать геометрические методы. Чтобы такую связь распространить на неавтономные системы, можно поступить следующим образом. Неавтономную систему ОДУ х = ~(1,х). х Е Е", можно преобразовать в автономную систему добавлением одного нового переменного х0.
х = ~(х0,х), хо=1. Если х(~) — решение исходной системы ОДУ с начальным условием х(~0) = х~, то (1, х(1)) — решение преобразованноЙ системы г начальным условием х(10) = х0, х0(10) = 10, и наоборот. 413 11.9. Распределении и теорема Фробениуса Х = — +~Я~,х) —. д " д д1 ., ' ' дх Тогда интегральная кривая (хо(~), х®) векторного поля Х, проходящая через точку (хоо, хо), будет являться решением системы ОДУ х = Дхо,х), хо — — 1 с начальным условием хо(~о) = = хоо, х(1о) = хо. Отсюда следует, что хоЯ = (1 — $о) + хОР, а х(1) удовлетворяет системе ОДУ х = ~(~ — ~о+ хоо,х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
