V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Приложения теории векторных полей и распределений 427 в областях х > О, х < 0 и и = —,1п(х + у ), о = — агс~~— 2 2 х 2 У (11.55) в областях у > О, у ( О. Хотя на многообразии Е~ ~ ((О, 0)) и существует атлас из одной карты, нет карты, накрывающей все многообразие, в которой векторные поля К1 и Хг являются координатными. Действительно, отображения (11.54) и (11.55) даже определены не на всем множестве Ез~ (О, О). 4~ Систему уравнений х = Д~,х, и), где ~ ~= Е, х б Е", и ~ Е™, а х(г.) = х®, называют динамическоЮ системоЮ с управлением (или просто системоЮ с управлением). Решением такой системы является любая пара вектор-функций х: Е-+ Е" и и: Е -+ Е™, удовлетворяющих условию х'(й) = Дй,х(й), и(й)).
При этом значение х(1) вектор-функции х при заданном значении 1 называют состолнием системы в момент времени 1, кривую х = х(1) — траекториеЮ системы, а вектор-функцию и — управлением. Различают векторное управление, соответствующее случаю т > 1, и скалярное управление, соответствующее случаю т = 1. Если функция ~ является гладкой, то при заданной гладкой функции и система с управлением х = ~(1,х,и) имеет решение, подчиняющееся начальному условию х(1о) = хо, и притом единственное [Ч1Щ. Выбирая различные управления и(1), мы получаем различные решения х(г). Типичной задачей теории управленил является такой выбор управления и($), при котором решение (х(г), и(г)) обладает нужными свойствами. Пример 11.32.
Положение автомобиля можно охарактеризовать четырьмя параметрами: декартовыми координатами х, у середины Р задней оси автомобиля, углом д, который прямая, проходящая через середины Р и Ч двух осей, составляет с осью абсцисс, и углом у поворота колес передней оси относительно прямой РЯ (рис. 11.21). При таком выборе параметров движе- 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 428 ние автомобиля описывается систе- мой дифференциальных уравнений х = иг созд, у= и1з1пд, (11.56) Задаче теории управления можно придать дифференциально-геометрическую интерпретацию. При заданном управлении и($) система с управлением х = Д1,х,и) становится нормальной системой ОДУ, в общем случае не являющейся иетономног~.
которую можно связать с векторным полем (см. 11.7). С этой точки зрения систему с управлением можно рассматривать как векторное поле, которое зависит от управления как параметра. где иг — скорость автомобиля, ир— Рис. 11.21 угловая скорость поворота колес передней оси, а Ы вЂ” расстояние между передней и задней осями (т.е.
между точками Р и Ч). Система (11.56) представляет собой систему с управлением, причем в данном случае управление векторное и имеет две составляющие иг и ир. Положение автомобиля характеризуется четырехмерным вектором состояний (х у у д) . Значения переменных х, у, у, д, иг, и~ имеют естественные ограничения.
Для данной модели поставим следующую задачу теории управления: найти управление, при котором автомобиль из т заданного начального положения (хо уо гро до) в момент времени $о перейдет в заданное конечное положение (хг уг дг дг) в момент времени $г. Это значит, что требуется найти такие функции и1(1) и иг(1), при которых решение задачи Когигг для нормальной системы ОДУ (11.56) с начальными условиями х(Фо) = хо у(~о) = уо <р(~о) = ро д(~о) = до удовлетворяет дополнительным условиям х(1г) = хг, у($г) = уг, у($г) = <рг. д(1,) = д,. Д,11.2.
Приложения теории векторных полей и распределений 429 При таком подходе задача теории управления состоит в том, чтобы выбрать управление, при котором интегральные кривые векторного поля будут обладать заданными свойствами. Пример 11.33. Задачу теории управления из примера 11.32 можно переформулировать следующим образом: для векторного поля д д, д д И1 д Х = — + и~ совд — + и1 8!Й и' — + ия — + — Ф$~~— д1 дх ду д р Н дд найти такие функции и1(1) и из(1), при которых векторное поле Х имеет интегральную кривую, проходящую в два заданных момента времени 1о и 11 через две заданные точки.
Две системы с управлением х = Д1,ж,и) и у = д(1,р,ю), х, р б Ж", и, о Е В~, назовем эхвивалеитимыми, если существует замена переменных у = у(1, ж), ю = ю(1, х, и), при которой любое решение (ж(1), и(1)) первой системы переходит в решение (р(1,ж(1)), о(1,х($),и(1))) второй системы, причем эта замена переменных обратима и обратная замена переменных переводит любое решение второй системы в решение первой. Введенное понятие отражает возможность замены заданной системы с управлением другой, эквивалентной исходной. Действительно, если система р = у(1,у, ю) эквивалентна системе х = Д1,ж,и), то па решениям первой системы можно найти решения второй и наоборот.
Возникает задача описания систем с управлением, эквивалентных заданной системе, и задача выбора такой системы, эквивалентной исходной, которая имеет наиболее простой вид. В дифференциально-геометрической интерпретации систем с управлением замена переменных представляет собой смену системы координат на многообразии, а задача выбора наиболее простой системы среди эквивалентных сводится к выбору такой системы координат, в которой векторное поле имеет наиболее простой вид. 1!.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 430 В качестве примера остановимся на случае автономной аффинной систпемы с уиравлением, имеющей следующий вид: х = А(х)+~ В;(я)и;, (11.57) $=1 где А, В;, г = 1, т, — некоторые вектор-функции. Ограничимся случаем ги = 1 и выясним, при каких условиях такая аффинная система эквивалентна простейшей аффинной системе г1 = гг1 хг =хз (1 1.58) г -1=3 3~~ = О.
х = (А(х) + В(х) у(х) ) + В(х) 4>(х) о, При этом уместно ограничиться только такими заменами координат, которые не зависят от времени и при которых система остается аффинной, т.е. в данном случае заменами вида х = х(х), ю = о(х) + /3(х) и (или х = х(г), и = у(х) + Ф(х) о). В такой замене функция многих переменных г = я(х) должна иметь обратную функцию (в частности, матрица Якоби л'(х) должна быть невырожденной), а функция 4(х) не должна обращаться в нуль. Вектор-функции А и В можно рассматривать как координатное представление двух векторных полей Х и У.
Тогда аффинной системе х = А(х) + В(х)и с управлением будет соответствовать векторное поле Х+ иУ. При замене переменных х = х(г), оставляющей управление неизменным, аффинная система преобразуется так, что сохраняется связь этой системы с векторными полями Х и У.
Однако изменение управления вида и = у(х) + 4~(х)ю приводит к изменению векторных полей. Действительно, при такой замене аффинная система х = А(х) + В(х) и преобразуется к виду Д.11.2. Приложения теории векторных полей и распределений 431 т.е. векторное поле Х с координатным представлением А(х) трансформируется в векторное поле Х+уУ с координатным представлением А(х) + В(х)~р(х), а векторное поле У с координатным представлением В(х) трансформируется в векторное поле 1~ФУ с координатным представлением В(х)~(х). Введем обозначения а~1хУ=У а~1А У= Х,адх У ~61~1 Теорема 11.32. Для того чтобы аффинная система х = = А(х) + В(х)и, х Е И", и 1= И, в некоторой окрестности заданной точки Р была эквивалентна системе (11.58), необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки Р распределение Х, порожденное векторными полями ай~~У, В= О,п — 2, было инволютивным, а векторы а4~У~р, 1=О,п — 1, были линейно й независимыми.
~ Упрощая выкладки, докажем эту теорему для частного случая и = 3. Тогда формулировка теоремы такова. Для того чтобы аффинная система х = А(х) + В(х) и, х 1= Из, и 1= И. в некоторой окрестности точки Р Е Из была эквивалентна системе (11.59) необходимо и достаточно, чтобы распределение Х, порожденное векторными полями У и ~Х,У], было инволютивным, а векторы Ур, '1Х, У]~, и 1Х, 1Х, У]]~, были линейно независимыми. Н е о б х о д и м о с т ь.
Если система х = А(х) + В(х) и эквивалентна системе (11.59), то линейную независимость и инволютивность векторных полей можно проверить в новой системе координат. Действительно, замену координат х = х(г), и = = о(2) +,В(х)о можно представить как повторную замену: сначала х = х(х), а затем и = у(х)+9(х)о, где ~р(х) = о(х(х)), 1!.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 432 4~(ж) = ~3(~(х)), а ~(х) — функция многих переменных, обратная х(г). Первая замена переменных не изменяет векторных полей, связанных с аффинной системой, а значит, не изменяет и условий инволютивности и линейной независимости. При второй замене (замене управления) векторные поля Х и У для управления и переходят в векторные поля Х = Х+ уУ и У = ФУ для управления ю.
Непосредственным подсчетом находим, что [Х, У1 =[Х+ РУАУ] =Ф(Х, У]+ХЮУ— где у = Х(Ф) — ФУ(ф+ ~рУ(Ф) — гладкая функция. Следовательно, векторные поля У и [Х, У~ принадлежат распределению, порожденному векторными полями У, [Х,У]. В силу обратимости замены можно также утверждать, что и векторные поля У, [Х, У] принадлежат распределению, порожденному векторными полями У и [Х, У]. Поэтому пары векторных полей У, [Х, У] и У, [Х, У] порождают одно и то же распределение Х2, а условие инволютивности этого распределения не зависит от выбора управления.
Далее, [Х, [Х, У1] = [Х+~У, Ф[Х,У]+~У] = = Ф [Х, [Х, УЦ + 71 ЦХ, У], У] + 'у2 [Х, У]+ АУ, где ~~, '~~ и ~з — некоторые гладкие функции (их конкретный вид не является существенным). Из этого представления видно, что если распределение У2, порожденное векторными полями У и [Х,У], инволютивно, то векторные поля У, [Х, У] и ~Х, [Х, У1~ принадлежат распределению Уз, порожденному векторными полями У, [Х,У] и [Х,[Х,УЦ. Учитывая, как и выше, обратимость замены переменых, заключаем, что распределение, порожденное векторными полями У, [Х, У~ и [Х, ~Х, У) 1, совпадает с распределением Уз. Условие линейной ,ц.П.2. Приложении теории векторных нолей и рвснредем.'ннй 433 независимости векторов Ур, [У, Х1 и ИУ, Х1,Х1р означает, что размерность линейного подпространства Зз~ равна трем.
Ясно, что это условие не связано с выбором управления. Итак, условия инволютивности распределения Ур и линейной независимости трех векторов в формулировке теоремы сохраняются при замене переменных. Поэтому их можно проверить в системе координат л1, лр, лз, о, в которой аффинная система имеет вид (11.59). В этой системе координат векторные поля Х и У записываются следующим образом: д д Х вЂ” ~2 + яз дй1 дйр Вычислим коммутатор векторных полей Х и У: [У, Х~ = —. д дй~ Теперь определим двойной коммутатор: ИУ,Х), Х] = —.
д Видим, что три векторных поля У, [У, Х) и [[У, Х|, Х~ являются координатными, а потому линейно независимы и коммутируют. Достаточ ность. Докажем, что при выполнении условий теоремы существует такая замена переменных ж = х(г), и = а(ж)+ ~9(х)о, которая аффинную систему ю = А(х)+ 8(ж)и преобразует в систему (11.59). Рассмотрим систему У(и) =О, [Х, У1 (и) = О. Согласно теореме 11.28, эта система имеет решения, причем можно выбрать такое решение л1, у которого не все частные 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ производные в точке Р равны нулю. Векторы У, 1Х,У1, ~Х, ~Х, УЦ линейно независимы, а потому образуют базис в трехмерном линейном пространстве Трйз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
