V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Достаточно в качестве начального момента времени взять 1д —— хоо, чтобы вектор-функция х(1) оказалась решением системы х = ~(1,х) с начальным условием х(1о) = хо. Автономные системы ОДУ можно рассматривать как частный случай неавтономных систем. Это позволяет системе т х = 1'(х), х Е Е", 1' = (~1 ....1„), ставить в соответствие векторное поле д " д Х = — + ~Як)— д1 ., дх; в расширенном фазовом простпрансиьве. Существенное отличие автономного случая от неавтономного состоит в том, что координатные функции векторного поля в автономном случае не зависят от переменного 1. Это позволяет заменить векторное поле в расширенном фазовом пространстве Е"+1 его проекцией на фазовое пространство Е", для чего в координатном представлении векторного поля достаточно отбросить первое слагаемое. При такой проекции интегральные кривые векторного поля в расширенном фазовом пространстве переходят в интегральные кривые векторного поля в фазовом пространстве.
Указанное преобразование позволяет неавтономной системе сопоставить векторное поле на (и+ 1)-мерном многообразии. Например, если исходная система х = Д1,х), 1" = ® ... ~„), задана в области М С Е"+' (т.е. (1, х) Е М), то ей можно поставить в соответствие векторное поле 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 414 Дополнение 11.1.
Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида ди ди аи — + "+аь — =Л дх1 дх„ (11.46) ди ди а 1 — +...+а „вЂ” =~„„ ~1 ~п где а;, 1= 1, т, 1 = 1,п, и Д, з = 1, т, — заданные гладкие функции переменных ж1, ..., х„, определенные в некоторой области М С $Г. Введем на М гладкие векторные поля д д Х; = а;1 —, +... + а;„—, г = 1, т. ' дх1 "' '"дж„' Тогда систему дифференциальных уравнений можно записать в виде Х;(и) = Д, ~ = 1, т.
(11.47) Отметим, что подобную систему можно рассматривать на произвольном многообразии М, вообще говоря, не являющемся областью в Е". Но в таком случае в разных локальныж системах координат на многообразии мы будем получать разные системы дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений (11.46) (или система (11.47) ) в частном случае Д = О, ~ = 1, т, является однородной системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которую можно решить, используя инволютивные распределения (см. 11.9).
Покажем, что решение неоднородной системы можно свести к однородному случаю. Д1я простоты остановимся на случае, когда и-мерное многообразие М является областью в Е". Д.11.1. Системы линейных уравнений в частных производных 415 Теорема 11.29. Гладкая функция и(х1,...,х„) на М является решением системы (11.47) в том и только в том случае, когда функция о(хо,х1,...,х„) = и(х1,...,х„) + хо является решением системы Я;(о) =О, з=1,т, о где Я; =Х; — Д вЂ”. дхо «~ В силу специального вида векторных полей Я; и функции о имеем Я;(о) = У;(и)+Я;(хо) = ди дхо = Х;(и) — Л вЂ” + Х;(хо) — Уг — —— Х;(и) — Д. дхо дхо Из равенства Я;(е) = Х;(и) — Д немедленно вытекает утвержде- ние теоремы. Э Теорема 11.30. Предположим, что гладкие векторные поля Х1, ..., Х в точке Р многообразия М линейно независимы и имеют место представления [Х;, Х ) = ~с| Хь ~, ~' = 1, ш, (11.48) «,ф) - х,~~;~ = ~ Сц~~, 1=1 (11.49) 4 Необходимость.
Если и — решение системы (11.47), то '1Х;,Х ](и) =Х;(Х (и)) — Х.(Х;(и)) =Х;(Д) — Х ®), г,~=1,тп. где с,"" — гладкие функции на многообразии М. Тогда, для того чтобы система (11.47) имела решения в некоторой окрестяости точки Р, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки Р выполнялись условия соемеетпности систиемы дифференциальных рравнеиий (11.47): И. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ В то же время при выполнении условий (11.48) имеем тп иь (Х;, Х,) (и) = ~ с;,Хи(и) = ~с~ ~и. 1=1 й=1 Сопоставляя эти равенства, получаем соотношения (11.49).
Достаточность. Пусть в окрестности У С Е" векторные поля Х; и функции Д удовлетворяют условиям (11.48), (11.49). Предположим, что в окрестности Г заданы локальные координаты х1, хо, ..., х„. Рассмотрим в области Г1 —— = У х Й С И"+' с координатами хо, х1, ..., х„векторные поля д У; = Х; — Д вЂ”, ~ = 1, т, и распределение Х, порожденное зтидхо ми векторными полями. Распределение Х гладкое, так как порождено гладкими векторными полями, и регулярное, так как векторные поля Х;, а следовательно, и векторные поля У, линейно независимы.
При этом в любой точке Я б У1 имеем йвХд = т. Докажем, что распределение Х является инво.аотивным. Для этого вычислим коммутатор произвольной пары векторных полей У;: д д 1 (г;,г) = [Х;-Л вЂ”,Х,-Л вЂ” 1 = дхо ' дхоти = (Х;, Х,) — (Х;(Ц вЂ” Х,(Л)) — = сс1 Фт4 д Н1 =~ с,",Х,-~с,',У,— =~ с",,г,. А — 1 й=1 й=1 дхо По тпеоре.ме Фробениуса распределение Х интегрируемо, а по теореме 11.'27 в некоторой окрестности точки Р существует такая система координат уо, у1, ..., у„, что распределение Х д порождается векторными полями —, т = О, т — 1. В этом случае ду,' система уравнений Я;(о) = О, ~ = О, т — 1, равносильна системе дю — =О, а=О,т — 1, ду3 Д. ! !. !. Системы линейных уравнений в частных производных 417 а множество решений такой системы можно записать в виде о = Р(у,...,у„), где Р— произвольная гладкая функция и — т+ 1 переменных.
Можно показать, что среди таких функций о существуют функции, которые в системе координат хд, х1, ..., х„имеют вид ю = хо+ и(х1,..., х„). Любой такой функции соответствует функция и(х!,...,х„), являющаяся решением системы (11.47). > Пример 11.28. Найдем все решения системы дифференциальных уравнений ~дн ди х — — у — =уе ду дх ди ди ди — +ху —,+г —, =О. дх ду дг (11.50) Обозначим в И~ координаты х, у, х, хо и рассмотрим векторные поля .,д д,.д 2! = г~ —. — у —. — уе ду дх дхо д д д 22 — +ху — + х— дх ду дх' Исходная система сводится к решению системы уравнений 21(о) = О, 2~(о) = О. Чтобы решить такую систему, необходимо найти инеолютивное замыкание распределению, порожденного векторными полями 2! и 22.
Для этого находим коммутатор двух векторных полей: д д д ~2!, 2г] = г~(х — 2) — + у(х — 1) — + уе (х — 1) —. ду дх дхо Определяем точки, в которых векторные поля 21, 2~, ~2!, Я~~ линейно независимы, для чего составляем матрицу иэ коорди- 1 1. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 418 натных функций векторных полей: 1 О ху х~(х — 2) х у(х — 1) 0 де (х — 1) У вЂ” уе ' В точках, в которых векторные поля линейно независимы. ранг матрицы равен трем.
Прибавив к третьему столбцу первый, умноженный на х — 1, получим, что ранг матрицы равен трем, если г2(2х — 3) ф 0 и у ф О, что равносильно условию г~у(2х — 3) у6 О. Итак, векторные поля У1, 22, ~У1, Уг~ линейно независимы в точках множества М = ((х, у, х, х0): г~у(2х — 3) фО~. ~Я'~, Я'~] = г~(2х — 3) — — (х — 1) Я1, д ' ау д ч н т.е. на множестве М векторное поле — является линеинои комду бинацией векторных полей Я1, Яр, [Я1, Я'1. В качестве третьего векторного поля Яз, пополняющего систему векторных полей Я~ и Я~, удобнее взять именно это векторное поле.
Итак, полагаем д Яз = —. ду Теперь выясняем, возможно ли дальнейшее пополнение системы векторных полей. Имеем д,д х~ 1 [А Яз1 = —. + е * —, = — Яз — -Я1, дг дх0 у у д ~г,, гз~ = — = хгз. дд Поэтому к системе двух уравнений необходимо добавить третье. В качестве третьего векторного поля Уз можно взять коммутатор ~Я1, ЯЯ, но в данном случае удобнее его заменить определенной линейной комбинацией векторных полей Я1, У2. ~У1, Яр1.
В самом деле, нетрудно увидеть, что Д.11.1. Системы линейных уравнений в частных производных 419 Следовательно, на множестве М векторные поля 21, Яг, Уз порождают трехмерное инволютивное распределение. Отметим, что пара векторных полей У1 и Уз также порождает инволютивное распределение. Это указывает на то, что сперва следует искать первые ин1пеграаы этих полей.
Поскольд ку Яз — — —, первые интегралы этого векторного поля имеют ду' вид ~(х, х, хо), где ~ — гладкая функция трех переменных. Подставляя это представление в уравнение 21(о) = О, получаем д~ д~ 71(~) = -у — -де х —, = О. дх дхо Отсюда следует, что функция ~ является первым интегралом векторного поля д д — +е дх дхо' д Так как в это векторное поле не входит слагаемое —, первым дх' интегралом является функция х. Нетрудно найти еще один первый интеграл: р= х — е хо. Значит, первыми интегралами, общими для векторных полей Я1 и Уз, являются функции вида д(х,р).
Подставляя такую функцию в уравнение 2~(о) = О и используя правило дифференцирования сложной функции, находим дд дд дд дд А(д) = — + — (-е хо+ х) = — + р — = О. дх др дх др Функция д является решением этого уравнения, если имеет вид д = д(х — 1и р), поскольку о = х — 1и р — первый интеграл векторд д ного поля — +р —. Наконец, среди всех гладких функций д(д) дх др* нужно выбрать те, для которых — = 1, так как только функдд дх. ции вида о(х,у,х)+хо приводят к решениям исходной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
