V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Теорема 11.25. Если регулярное распределение интегрируемо, то оно инволютивно. 11.9. Распределения и теорема Фробениуса 401 систему координат х1, ..., х„и запишем рассматриваемые векторные поля У, и Х в этой системе координат: ~ = 1,А). Здесь все функции Д и а;. являются гладкими.
Представление векторного поля Х в виде (11.38) в выбранных координатах в произвольной точке Ч' записывается следующим образом: и О и Й 1 (Я) — тЯ~) о;Д)а Щ) —, ,1=1 1,У=1 1=1 Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при координатных векторных полях, находим а и (Я) а1(Я) + " + пи(Я) сЬ(Ю) = Л (Ю) аМ(Я)а1®)+...+а„,),(Я)а1;(Ю) = У (Ю) т.е. коэффициенты о1(Я), ..., а1,(Я) являются решениями неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Эти коэффициенты являются гладкими функциями, если все коэффициенты и правые части — гладкие функции.
Действительно, эта система линейных алгебраических уравнений совместна в силу условия Хд Е Хд, а ранг ее матрицы равен й, так как столбцы матрицы представляют собой столбцы координат линейно независимых векторов Е1 ~~, ..., Я~~~ и, следовательно, линейно независимы. Поскольку ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, эта система имеет единственное рещение. Выберем в точке Р 6азисный микор матрицы системы. Тогда он будет базисным и в любой другой точке Ч из некоторой окрестности точки Р (этот минор остается ненулевым в некоторой окрестности точки Р в силу непрерывности определителя функциональной матрицы. а его порядок равен количеству столбцов, т.е.
максимально возможный для рассматриваемой матрицы). Выбор базисного минора позволяет отбросить в 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 402 [Х, оТ~ = Х(а)У+а[Х, У~, в верности которого можно убедиться непосредственно, используя формулу (11.28) и свойства частных производных функций многих переменных. Используя это тождество для двух векторных полей принадлежащих распределению У, получаем [Х, У] = ~ ~ (а;2;ф,) — ДЯ;[а )) Я, + ~~ щ~3,[Я<, У,[. 1=1,1=! 1=1,1=1 Из этого представления видно, что для инволютивности рас- пределения Х необходимо и достаточно, чтобы распределению У принадлежали все векторные поля [Я;, Я ], т.е. чтобы суше- ствовали такие гладкие функции с~~ на многообразии М, что й [У;,УД=~ с~У, г,,[=1,Й.
(11.39) тв=1 системе линейных алгебраических уравнений небазисные уравнения, вытекающие из базисных. В результате мы приходим к квадратной системе линейных алгебраических уравнений с не- вырожденной матрицей. Единственное решение этой системы можно записать с помощью формул Крамера, т.е. каждый коэффициент а;(Ч) в окрестности точки Р можно представить в виде отношения двух определителей, являющихся гладкими функциями своих элементов. Значит, каждая функция а;(Я) является гладкой в некоторой окрестности точки Р. А поскольку точку Р Е М можно выбрать произвольно, то функции а;(Р).
~ = 1, Й, являются гладкими на многообразии М. Отметим, что для гладких векторных полей Х и У и гладкой функции а имеет место тождество 11.9, Распределения и теорема Фробениуса 403 Теорема 11.26 (пъеоремв Фробениусс). Гладкое регулярное распределение Х интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно. М То, что из интегрируемости многообразия следует его инволютивность, составляет суть теоремы 11.25. Доказательство интегрируемости гладкого регулярного инволютивного распределения сложное и здесь не приводится'.
й Теорему Фробениуса в литературе приводят с разными формулировками, зачастую мало похожими друг на друга. Известно', что для любого Й-мерного подмногообразия Ф многообразия М и произвольной точки Р 1= М в некоторой окрестности У точки Р существует система координат л1, ..., л„, в которой множество М П У описывается уравнениями гЦ.1 — — О, гЦ.~ — — О, ..., г„ = О.
В отношении максимальных интегральных подмногообразий интегрируемого распределения У верно более сильное утверждение, суть которого в следующем. Если У вЂ” гладкое регулярное интегрируемое распределение, то для произвольной точки Р Е М в некоторой ее окрестности 0 можно выбрать такую систему координат г1, ..., г„точки Р, что для любой точки Я 1= У и максимального интегрального многообразия распределения У, проходящего через точку Ч', его часть, включенная в У, описывается уравнениями ~1+1 — сй+11»»+2 — сй+2~ ° ° ° ~ ~п = си~ (11.40) где с1, ..., с„— координаты точки Ч.
Очевидно, что линейное подпространство Т~М, совпадающее с У~, является линейд! ной оболочкой системы касательных векторов — ~, г = 1, Й. д»; ~' 'Доказательство этой теоремы см., например, в книге: Стермберг С. См. там же. 404 11. ТЕОРИЯ МИОГООБРАЗИИ Значит, в окрестности точки Р распределение Х порождаетд ся векторными полями —, ~ = 1, й. Сформулируем зто в виде дй; теоремы. Теорема 11.27. Гладкое регулярное Й-мерное распределение У многообразия М интегрируемо тогда и только тогда, когда для любой точки Р Е М в достаточно малой окрестности этой точки существует такая система координат г~, ..., г„, что распределение порождается координатными векторными поляд ми —, г= 1,Й. ~1 Предположим, что й-мерное гладкое регулярное интегрируемое распределение У на многообразии М порождается гладкими векторными полями Х1, ..., Х~.
Согласно теореме 11.27, в некоторой окрестности 0 произвольной точки Р б М существует такая система координат г1, ..., г„, что распределение Х д порождается координатными векторными полями —, ~ = 1, Й. дФ; а максимальные интегральные многообразия распределения Х в окрестности У описываются уравнениями (11.40), в которых с~+1, ..., с„— некоторые постоянные.
Как найти такую систему координат, решив тем самым задачу описания максимальных интегральных многообразий регулярного распределения Х? Уравнения (11.40) означают, что координатные функции л~+~, ..., ~„являются постоянными на каждом максимальном интегральном многообразии в У. Значит, часть координатных функций искомой системы координат следует искать среди гладких функций, постоянных на максимальных интегральных многообразиях распределения У.
Такие функции в системе координат л1, ..., г„имеют вид Р(я~+1,...,г„), где Р— произвольная гладкая функция п — Й переменных. Множество этих функций совпадает с множеством решений системы дифференциальных уравнений в частных производных дп — =О, ~~г 405 И.9. Распределения и теорема Фробениуса Учитывая, что распределение Х порождается и системой векм м д торных полей Х;, 1= 1, й, и системой векторных полей —.
1= 1, Й, заключаем, что система (11.41) эквивалентна системе уравнений Х;(и) = О, г = 1, й. (11.42) Действительно, так как векторные поля Х;, 1= 1, й, порождают распределение .'Г, любое векторное поле Х, принадлежащее Х, можно представить в виде линейной комбинации векторных полей Х;, т.е. Х = О1Х1+".+аЪХЬ д Х;= '~ а; —., ~=1,й. Тогда система уравнений (11.42) примет вид ди ди а11 — + ... + а1„—, — — О, дх~ "' "дх„ (11.43) ди ди ал1 — +...+а1,.„—, —— О, дх1 ''' "дх„ Из этого равенства заключае1~1, что любое решение системы (11.42) удовлетворяет уравнению Х(и) =О.
В частности, любое решение системы (11.42) удовлетворяет и системе (11.41). Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что любое решение системы (11.41) удовлетворяет системе (11.42). Функцию ~, которая для данного гладкого векторного поля Х удовлетворяет уравнению Х(~) = О, называют тюервым иктвеграмом вектпорного воля Х. Мы можем теперь интерпретировать задачу описания максимальных интегральных многообразий интегрируемого распределения, порожденного системой векторных полей Х1, ..., Х~, как задачу поиска общих первых интегралов векторных полей Х1,..., Х1... Выберем в окрестности точки Р какую-либо систему координат х1, ..., х„и запишем в координатах векторные поля Х,'. 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 406 Эти векторные поля порождают распределение Х, и процесс решения системы (11.43) можно рассматривать как построение интегральных многообразий распределения Х. Если распределение Х инволютивно, регулярно и йвХ= й. то можно найти и — Й функций и1, ..., и„1„постоянных на интегральных многообразиях, которые в некоторой системе координат являются координатными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
