V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Выясним, как связаны друг с другом векторные поля и гладкие отображения. Пусть Р: М -+ Ф вЂ” гладкое отображение, Х вЂ” гладкое векторное поле на М. Для любой точки Р != М касательный вектор ХР Е ТРМ хасательнь~м отпображением И~' преобразуется в касательный вектор ЫРР(ХР) != ТцР~Ф в точке Р(Р) многообразия Ф. Естественно было бы рассматривать соответствие Р(Р) -~ ЫРР(ХР) как векторное поле на многообразии М. Однако это не всегда возможно по двум причинам.
Во-первых, возможна ситуация, когда две разные точки Р! и Р1 при отображении Р переходят в одну точку Ч б Ф, но при этом касательные векторы ХР, и ХР, отображением ИР переводятся в разные касательные векторы к многообразию Х в точке Ч'. В этой ситуации точке ц' соответствует не один касательный вектор, а несколько. Во-вторых, отображение Р может не быть сюръективным и тогда соответствие Р(Р) -+ НРР(ХР) не будет определено на всем многообразии Ж. Если для данного отображения Р: М -+ М и данного векторного поля Х Е Х)(М) две указанные трудности не возникают. т.е.
отображение Р сюръективно и из равенства Р(Р) = Р®) следует равенство ЫРР(ХР) = ИРд(Х~), то на многообразии М получаем векторное поле Уд = МРР(ХР), где Р != Р !(Я) Остановимся на частном случае, когда отображение Р является диффеоморфизмом. Такое отображение сюръективно, а равенство Р(Р) = Р(ч) равносильно равенству Р = Ч, что означает и выполнение равенства ЫРР(ХР) = ЫР!-,!(Хц). 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ многообразии Й, а обратное отображение к диффеоморфизму переводит любое гладкое векторное поле на М в гладкое векторное поле на М. Тем самым диффеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между гладкими векторны ми полями на многообразии М и гладкими векторными полями на многообразии Ж. 11.7.
Фазовый поток векторного поля Понятию векторного полл на многообразии можно придать физическую интерпретацию, представляя его как поле скоростей частиц потока жидкости. Предположим, что жидкость заполняет все многообразие, в каждой точке Р многообразия в каждый момент времени находится частица, которая движется со скоростью й(Р). В разные моменты времени в точке Р могут находиться разные частицы, но скорость их движения будет одна и та же, т.е. скорость движения частиц определяется положением на многобразии и не зависит от времени (такое движение называют стационарным).
Эта гидродинамическая интперпретпация еентпорного поля приводит к новым геометрическим понятиям. Например, каждая частица жидкости, двигаясь по многообразию, проходит некоторую траекторию, которую можно рассматривать как параметризованную кривую (параметром кривой при этом является время). Множество таких траекторий характеризует векторное поле скоростей текущей жидкости.
В геометрии многообразий под траекторией следует понимать некоторую гладкую параметризованную кривию, а под полем скоростей потока жидкости— произвольное гладкое векторное поле. Гладкую параметризованную кривую т на многообразии М называют интпеграяьной кривой вектпорного поля Х, если касательный вектиор к этой кривой в каждой ее точке Р совпадает с Хр (рис. 11.17). Это определение соответствует гидродинамической интерпретации векторного поля. Если 377 11.7.
Фазовый поток векторного пол» параметр 1 кривой у интерпретировать как время, а точки кривой — как положение частицы жидкости в соответствующие моменты времени, то касательный вектор к кривой будет выражать мгновенную скорость частицы жидкости.
Рис. 11.17 Рассмотрим на многообразии М гладкое векторное поле Х. Пусть в локальной системе координат х1, ..., х„это векторное поле имеет вид Если ~ — интегральная кривая векторного поля Х, имеющая координатные функции х1(1), ..., х„($), то касательный вектор к этой кривой в точке, соответствующей значению 1 параметра, имеет координаты х',(~), ..., х'„(~).
Поскольку, согласно определению интегральной кривой, касательный вектор к этой кривой совпадает со значением векторного поля, то х', (1) = а1(х1,..., х„), х„(8) = а„(х1,..., х„). Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (систему ОДУ), которую можно записать кратко в виде х = А(х), где х = (х1 ... х„), А(х) — функция многих переМенных вида А: Е" — ~ И", координатными функциями которой являются координатные функции а4х1,...,х„) векторного поля 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ Х, а х(1) обозначает вектор-столбец производных х';(~) коор динатных функций интегральной кривой ~, вычисленных при заданном значении 1. Итак, координатное представление х(1) любой интеграл», ной кривой векторного поля Х является решением системь» ОДУ х = А(х). Очевидно, что верно и обратное: любое решение этой системы ОДУ представляет собой интегральную кривук» векторного поля Х.
Открывшаяся связь теории многообра зий с теорией дифференциальных уравнений оказывается очень глубокой и весьма плодотворной. В данном случае эта связь позволяет для исследования векторных полей привлечь методы теории дифференциальных уравнений. Отметим, что полученная нами система является нормальной автономной системой ОДУ, причем правые части уравнений системы являются гладкими функциями. Задача определения интегральной кривой, проходящей через данную точку х~ = (х~», ..., х'„'), сводится к поиску решения системы ОДУ, удовлетворяющего начальному условию х(10) = х0, т.е.
к задаче Коими для нормальной системы ОДУ Согласно теореме Коши существования и единственности решения системы ОДУ, эта задача имеет единственное решение. Параметрами этой задачи являются координаты точки х0 и начальный момент времени 10, который можно менять произвольным образом. Действительно, если у(~) является интегральной кривой, удовлетворяющей условию у(10) = .Р, то у(~) = ~(~+ ~») также является интегральной кривой, причем эта интегральная кривая удовлетворяет условию Я~0 — а) = Р. Если не различать параметризованные кривые, которые преобразуются друг в друга заменой параметра вида г = 1+ а (сдвигом параметра) то можно утверждать, что через каждую точку многообрази~ проходит единственная интегральная кривая, две интегральные кривые либо не пересекаются, либо совпадают.
Эти свойства интегральных кривых легко понять, исходя из гидродинамической интерпретации векторного поля. И»» тегральные кривые поля скоростей потока жидкости — это 11,7. Фазовый поток векторного паав траектории движения частиц жидкости. Траектории не могут пересекаться, так как иначе в точке их пересечения у частицы жидкости было бы два варианта движения, а зто противоречит физическому смыслу задачи. Течение жидкости можно изучать, рассматривая положение ее части в различные моменты времени.
Частица жидкости, находящаяся в точке Р Е М в начальный момент времени Ф = О, к моменту времени ~ > 0 перейдет в другую точку (или была в другой точке при 1 < 0), которую мы обозначим через А~(Р). Положение А~(Р) частицы является функцией как времени $, так и начального положения Р. При фиксированном моменте времени 1 мы получаем отображение А~. М -+ М, которое точку Р многообразия М переводит в точку А~(Р).
Отметим, что при 1 = О отображение А~ сводится к тождественному. Кроме того, композиция А~ о А, отражает изменения в положении частиц эа период времени, равный $+8, т.е. совпадает с отображением А~+, Описанные свойства потока жидкости на самом деле не связаны с физической интерпретацией и относятся к произвольным векторным полям. Рассмотрим векторное поле Х на многообразии М. Выберем произвольную карту (У;Ь) ка многообразии М. В области Ь(У) С В" векторному полю Х соответствует задача Коши х = А(х), х(0) = хо (как условились, считаем, что ~а — — 0). Для любой точки хо Е Ь(У) решение задачи Коши определено в некоторой окрестности точки 1 = 0 и является функцией как параметра 1, так и начального положения хо.
Это решение определяет интегральную кривую у($,Ро) .векторного поля Х, проходящую через точку Рд — — ~(О,Ро) с координатным представлением хо в карте (У,Ь). Зафиксировав ~, сопоставим точке Ро точку Я~,Ро). Получим отображение 4~: М -+ М. Таким образом, векторное поле Х порождает семейство отображений (АД многообразия М в себя. Отметим, что при заданном ~ отображение А~ может быть определено не на всем многообразии М. Однако для любой точки Р многообразия М можно выбрать такую достаточно малую окрест- 380 11, ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ ность ЩР) и такое о > О, что при всех ~й~ < о отображение А, будет определено в окрестности У(Р).
Далее через Ц будем обозначать область определения отображения А», рассматриваемого при фиксированном 1. Пример 11.21. Рассмотрим векторное поле Х = — в д дх Е. Задача Коши для определения интегральных кривых этого векторного поля имеет вид х = 1, х(0) = хо, а ее решение таково: х(1) =хо+1, 1Е Ж. Таким образом, в данном случае А»(х) = х+ 1, отображения А» определены при любом ~ на всем многообразии. Если то же векторное поле рассмотреть лишь на некотором интервале, например (0,1), т.е. положить, что М = (0,1), то получим то же представление для А», но при этом область определения отображения будет меняться с изменением $.
При 0 < $ < 1 отображение А» определено на интервале (О, 1 — 1). При -1 < 8 < О оно определено на интервале ( — 1,1), а при ф > 1 имеет пустую область определения. Теорема 11.16. Семейство отображений А». Ц -+ М обладает свойствами: 1'. Ц> — — М, а Ао — тождественное отображение. 2'. Ц С У, при 0 < 8 < 1 или при 1 < 8 < О. 3'. О Ц = О Ц = М. »>о «о 4'. А»(0,) С О, », где 0 < 1 < з или з < 8 < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
