V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 47
Текст из файла (страница 47)
34! ! 1.3. Гладкие отображеиия миогоо0разий матрицы А на квадратную невырожденную матрицу ранг мат- рицы А не изменяется ~ГЧ). Поэтому йа(1ъ,~, )'(61( Р)) = йК(Ри)'(Ь(Р)). Ранг матрицы Якоби (Рц,)ЩР)) координатного представления Р),~ гладкого отображения Е' называют рангом опвображения Г в пзочне Р. Гладкое отображение Г: М -~ М т-мерного многообразия М в и-мерное многообразие М называют вложением многообразия М в многообразие М, если оно удовлетворяет трем условиям: 1) зто отображение является ииьекцией; 2) обратное отображение Р' '. Р(М) + М непрерывно на множестве ЦМ); 3) ранг отображения в каждой точке Р б М равен т.
Пример 11.13. Если Я вЂ” регуалрнал поверхность, заданная отображением Р: С С В~ -+ Ез, то отображение Г является вложением многообразия С (области в Ж2) в многообразие Ез. 4~ Подмножество А многообразия М называют подмногообразием многообразия М, если множество А является образом некоторого вложения Р. Ранг вложения г, т.е. размерность области определения этого вложения, называют размерностпью подмногообразия А. Пример 11.14. В любом многообразии М подмногообразаем является произвольное открытое подмножество А в М.
действительно, можно показать, что атлас на множестве А можно составить из некоторого набора карт многообразия М. При наличии такого атласа вложением А в М будет тождественное отображение Ы,~. А + А С М. До сих пор мы рассматривали функции, определенные на всем многообразии. Однако представляют интерес и функции, И. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 342 11.4. Касательные векторы Понятие касательного есктора к многообразию является важнейшим при построении дифференциального исчисления.
Это понятие встречается в теории кривых и поверхностей и является в этой теории достаточно простым и интуитивно ясным. Однако в теории многообразий ситуация усложняется. Дело в том, что само понятие многообразия введено абстрактно, как некое множество, удовлетворяющее определенным требованиям, при этом природа множества никак не оговаривается (похожая ситуация возникает в линейной алгебре при введении понятия линейного пространства). Такая природа многообразия и понятию касательного вектора придает абстрактный характер, усложняющий его осмысление и использование на практике.
В литературе используют три подхода к определению касательного вектора к многообразию, приводящих к одному и тому же. Каждый подход отражает одну иэ сторон этого сложного понятия и более предпочтителен в определенной ситуации (вспомним два определения предела функции по Коши и по Гейне ~1-7.3~, в Ьдних случаях удобнее одно определение, и других — другое). Мы выберем для определения касательно го вектора один из подходов, который условно можно назват" координатным.
Два других подхода (геометрический и алгеб которые определены лишь в некоторой окрестности заданнои точки многообразия. Таковы например, координатные функ ции отображения 6, которое на многообразии Л1 задает карту (К 6) (такие функции в дальнейшем мы будем называть моор динатпными функциями карты (Г, 6) ). В отдельных случаях гладкую функцию, заданную лишь в некоторой окрестности точки на многообразии, можно продолжить на все многообра зие так, что продолженная функция будет гладкой на всем многообразии.
В таких случаях функцию, заданную локально, можно рассматривать как элемент алгебры С (М). 11.4. Касательные векторы 343 раический) будут ниже сформулированы как разные интерпре'гации зтого понятия. Напомним, что в теории кривых [!1~ и в теории поверхностей (см. 8) понятие касательного вектора опирается на дифференциальные свойства кривых и в конечном счете сводится к касательному вектору к кривой. Чтобы распространить этот подход на многообразия, необходимо ввести понятие кривой на многообразии. Гладким путпем на многообразии М (или гладкой параметпризованной кривой на многообразии М) будем называть гладкое иньективное отображение у: (~1,~2) -+ М некоторого интервала (11, 12) числовой оси в зто многообразие.
Образ такого отображения будем называть гладкой кривой на многообразии М. При координатном подходе касательный вектор в точке многообразия вводят, задавая в каждой системе координат упорядоченный набор чисел (координатное представление касательного вектора), причем при изменении системы координат упорядоченный набор чисел меняется по определенному правилу.
Подобным же образом определяется тензор в линейном пространстве. Мы исходим из того, что касательный вектор к многообразию можно рассматривать как касательный вектор к некоторой параметризованной кривой на многообразии, которую в заданной системе координат на многообразии можно записать как параметризованную кривую в И". Касательный Вектор к параметризованной кривой в $Р в фиксированной точке и определяет тот набор чисел, который соответствует Выбранной системе координат.
Возьмем произвольную точку Р на многообразии М и рассмотрим две карты (ЦЬ) и (1~,Й), накрывающие точку Пусть задана параметризованная кривая 7:(а,б) + М, проходящая через точку Р, т.е. для некоторого 1о б (а, 6) имеем .7(~о) = Р. Координатное представление параметризованной ЪРивой у для карт (Р,й) и (КЙ) дают вектор-функции ул = 6 у " Ъ = Й о у. Эти вектор-функции можно связать друг с другом 11.
тЯОЕИЯ МНОГООБГЛЗИй 344 отображением перехода: 7л = ~1'7= (~1'л ) ~Й'7) =ул '7л где длл = 6 ой ' — отображение перехода из карты ®й) в карту (У,Й). Пусть координатным представлением касательного вектора к параметризованной кривой 7 на многообразии М в произвольной системе координат (И~,!) является набор координат касательного вектора к параметризованной кривой 7! = 1о7 в Е".
Тогда матрицы-столбцы 7л(10) и 7~л(10) дают координатные представления одного и того же касательного вектора. Нр 7л = улл о7л. Поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной функции многих переменных, примененному к сложной функции 7л(Ф) = (длл 7л)(Е) =улл(7у,(й)) при Ю=йо, получаем 7лйо) = Улл(хо) 7лйо) (11.7) где хо —— И(Р) = й(7(~о)) = 7ъ(80) — координатное представление точки Р в системе координат ®й).
Обозначив координаты точки многообразия в системе координат (к, Й) через х = (х1, ..., х„), а в системе координат (Г,6) ЧЕРЕЗ у = (У1, ..., Уп), ОтОбражЕНИЕ дц, МОЖЕМ ПрЕдСтаВИтЬ В виде у = у(х), или в координатной записи: У1 — У1 (х1~ ° -. ~ хп) ~ Уп — Уп(Х1~ ° ~ Хп) При такой записи точке хо — — ~х„..., / о отображения улл в длл(хо) = матрица Якоби д~лл(хо) х~) имеет вид ду1 ду1 (хо) (хо) дх1 дхг дуг дуг †(хо) †(хо) дх1 дхг — (хо) — (хо) дуп дуп дх1 дх2 — (хо) ду1 дх„ дуг — (хо) дхп Ф дуп (хо) дх„ 345 11А. Касательные векторы т т Обозначив уД1о) = ® ...
~„) и у~(1о) =(ц1 ... т1и), получаем координатную запись векторного равенства (11.7): и цю — ~' (~0)1у дх' Э Эти формулы и лежат в основе координатного подхода к понятию касательного вектора. Определение 11 5. Касательным вектпором в точке Р к п-мерному многообразию М называют соответствие, которое каждой локальной системе координат в окрестности точки Р сопоставляет упорядоченный набор иэ и чисел. При этом если локальной системе координат х1, ..., хи поставлен в соответствие набор чисел ф, ..., ~„), а локальной системе координат у~, ..., у„— набор чисел (ц1, ..., т1и), то выполняются соотно- шения и с ~У' о о ц; = > — (х ~,..., х„)(», т' = 1, п, х. 3 (11.Я) где хо1, ..., хо — координаты точки Р в системе координат х11 ° ° ° Ф хи.
Итак, касательный вектор в точке Р— это соответствие, которое в каждой локальной системе координат х1, ..., хи в окрестности точки Р задает набор чисел ®, ..., ~„), при замене координат меняющийся согласно формулам (11.8). Точку Р, с которой связан касательный вектор, называют точкой прилозсенил касательного вектпора, набор чисел (6, ..., 4„) — координатами касательного вектора в системе координат х~, ..., х„. Касательные век горы будем обозначать греческими буквами с надстрочным знаком „стрелка", Например ~. Хотя определение касательного вектора требует задания его координат в каждой локальной системе координат, на 346 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
