V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если ~: С С В" -+ И вЂ” гладкая функция многих переменных, заданная на отпхрытттом множестпвт С, то график этой функции является гладким многообразием Действительно, график функции ~ описывается векторным УРавнением Дх) — у = О, и в данном случае выполнены все условия теоремы 11.1. А это и значит, что график рассматриваемой Функции является многообразием. Последний пример не просто частный случай доказанной теоремы. Основная идея доказательства теоремы 11.1 как раз 329 И.2.
Примеры многообразий точками квадрата, видим, что противоположные стороны квадрата „склеиваются" (стрелки на рис. 11.10,6указывают, как следует склеивать стороны квадрата: склеиваются стороны. обозначенные одной буквой, причем при склеивании стрелки совмещаются). Рис. 11.10 Построим на торе атлас, превращающий тор в гладкое многообразие. В В~ рассмотрим четыре открытых квадрата (11.10, 6), которые описываются неравенствами 01 '. 0<у<2т, О< Ф<2я', 0~. — ~г < р< ~, 0< Ф<2я, Оз .' 0 < р < 2я', — я < Ф < я', 04: -я' < ~Р < я'т — я' < Ф < я' Ограничение отображения Е на каждый квадрат 0;, как функция многих переменных вида, В~-+ Из, является гомеоморфизмом Значит. для каждого ~ = 1,4 определено непрерывное отображение Ь; множества Г; = г'(О;) в квадрат 0 Е И2, обратное к ограничению отображения Е на этот квадрат.
Тем самым иа торе определены карты (Г;,Ь;), 1= 1,4. Докажем согласованность любой пары этих карт. Из соображений симметрии достаточно рассмотреть лишь одну пару карт. Пусть это будУт карты (Г1,Ь!) и (Г2,Ь1). Обозначим И~ = Г1 ПГ2 и заметим, ~то Ь1(И~) = Оц ООд, Ьр(В) = Од002~, где Ои, Од, Оп открытые не пересекающиеся прямоугольники, определяемые 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 330 неравенствами 011.
л <(р<2л, 0<4 <2л, 01р . '0 «р < л, 0 < 4~ < 2л', 022 . '— л' < у < О, 0 < Ф < 2л. (Ь2 ~ Ь1 ') (~р Ф) = ((р — 2тг, $~) Е 022 ° Мы видим, что отображение Ь2 о Ь1 ~ гладкое. Аналогично доказывается гладкость обратного отображения. В результат~ заключаем, что две взятые карты являются согласованными. Носители Ц четырех построенных карт в совокупности накрывают тор, так как они на плоскости <рОг~ накрывают квадрат — л < у < 2л, — л' < ~~ < 2л, образом которого является весь тор (см. рис.
11.10, в). Условие отделимости выполняется согласно замечанию 11.2. Таким образом, тор является двумерным многообразием, Пример 11.10. Конфиеурагфионным простпранстпвом механической систпемы называют множество всех ее состояний. Такое множество, как правило, является гладким многообразием, размерность которого в механике называют числом стпепеней свободы систпемы.
Рассмотрим твердое тело в пространстве, закрепленное в точке О шарниром, способным поворачиваться в любом направлении. Положение тела определяется положением двух его точек А и В, которые можно выбрать любым способом удовлетворяющим условию". прямая АВ не должна содержать точку О. Выберем А и В так, чтобы угол АОВ был прямым (рис. 11.11). С каждым положением треугольника ОАВ можно связать правый ортонормированный репер е1, е~, ез, где е1— единичный вектор, коллинеарный и сонаправленный с вектора" При этом отображение Ь~ о Ь1 ' оставляет на месте точки прямоугольника Од, а точки прямоугольника 011 параллельно сдвигает в прямоугольник О~р. 331 11.2.
Примери многообразий х11 + х12 + х13 х'1 х~1+ х12х12+ х;зх~з = О, 1 ( г (.1 ( 3. (11.6) Эту систему можно записать в виде г'(х) = с, где координатными функциями отображения г: В9-» Ж" являются левые части уравнений системы, а с= (1, 1, 1, О, О, О). Матрица Якоби отображения г в точке х имеет вид 0 О 0 О О 2х22 2х23 0 0 0 0 0 2хз1 2хз2 2хзз х12 х1з 0 0 О О 0 хц х12 х13 ХЗ2 *ЗЗ Х21 Х22 Х2З 2х11 2х12 2х13 0 О 0 0 2х21 О 0 О 0 Х21 Х22 ХЗ1 ХЗ2 О 0 Х23 Х11 хзз 0 0 хз1 Пусть какая-то линейная комбинация шести строк этой 1®атрицы с коэффициентами а1, ..., ав равна нулю. Рассмотрим ОА, е2 — единичный вектор, коллинеарный и сонаправленный с вектором ег , а ю3 =01хе2.
В е Зафиксировав в пространстве не- А который правый ортонормированный о У базис, мы можем любому ортонормированному базису поставить в соот- х ез вествие матрицу перехода в этот ба- Рис. П.11 зис из ф~кс~рованн~г~ базиса. Отметим, что матрица перехода от правого ортонормированного базиса к правому ортонормированному базису является ортогональной ~ГЧ], причем ее определитель равен единице. Множество всех квадратных матриц третьего порядка можно рассматривать как девятимерное линейное арифметическое пространство Е9, в котором координатами вектора являются элементы матрицы, записанные, например, по строкам.
Если матрица А = (х; ) является ортогональной, то ее элементы удовлетворяют системе шести уравнений 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 332 сначала только первые три элемента всех строк. Для нп. получим соотношения 2а~ х|1+ о4хд + о;хз1 — — О, 2о'1х и + а'4хи + а5хзя —— О, 2о1х1з+ о~хяз+ аьхзз = О. Записанные соотношения означают, что линейная комбинация строк матрицы А с коэффициентами 2а1, а4, ав равна нулю. Но матрица А невырождена, а потому ее строки линейно нез» висимы. Значит, все три коэффициента а1, о4, аь равны нулю.
Выбирая последовательно вторую и третью тройки элементов в строках матрицы Якоби, заключаем, что все коэффициеп гы а~, ..., ав равны нулю. Значит, строки матрицы Якоби линейно независимы, а ее ранг равен шести !!! !]. Итак, множество ортогональных матриц можно рассматривать как подмножество элементов Й9, координаты которых удовлетворяют системе уравнений Г(х) = О, причем левая часть системы, отображение Цх), имеет матрицу Якоби максимального ранга на решениях системы. Согласно теореме 11.1, мн»- жество ортогональных матриц третьего порядка представляет собой трехмерное многообразие, которое обозначают чере з 0(3). Многообразие 0(3) распадается на два подмножества, соответствующих значениям определителя 1 и — 1. Оказывает» я, что носитель любой карты (Р,Ь) многообразия 0(3) либо целиком содержится в множестве 50(3) = (А Е 0(3): де~ А = 1), либо не пересекается с ним, т.е.
целиком содержится в множестве 0(3) ~ 50(3). Действительно, множество С= Ь(У), согласно определению карты, является областью в Ез, а значит, он" линейно связно. Функция Дх) = с!ей(Ь 1(х)), х Е С, является пе прерывной в С как композиция непрерывных функций Ь '(г'1 ! >.;>. Гладкие отображения многообразий (см. замечание 11.1) и с1е~ А. Согласно теореме 1.11, образ мно- сества С при отображении Дх) =с1е1(Ь '(х)) является линейно связным. Но определители матриц из 0(3) могут принимать лиспь два значения 1 и -1.
Следовательно, функция ~(х) постоянна на С, а все матрицы из множества Г имеют одно и то же значение определителя: либо 1, либо -1. Поэтому либо ~7 С ЗО(3) > либо СУ 080(3) = Э. Отобрав из атласа на многообразии 0(3) те карты, носители которых целиком включаются в 50(3), получим атлас на множестве 50(3). Это значит, что 50(3) является трехмерным многообразием. Таким образом, конфигурационное пространство твердого тела в пространстве, вращающегося вокруг неподвижной точки, является трехмерным гладким многообразием.
И это многообразие совпадает с многообразием ЯО(3) ортогональных матриц г определителем 1. 11.3. Гладкие отображения многообразий Пусть М и Ж вЂ” гладкие многообразия и Р: М -+ Ж— некоторое отображение. Предположим, что существуют карша (Р,Ь) на многообразии М, накрывающая точку Р, и карта. (У,к) на многообразии Ж, накрывающая точку Я = ЦР), для которых Г(Г) С У. Тогда в облагтии Ь(Р), содержащей точку Ь(Р), определено „сквозное" отображение йо Рой ', которое.
как нетрудно заметить, координа~иам точки ь локальной гис~йеме координат (Г,Ь) ставит в соответствие координаты ее образа при отображении Р в карте (У,Й) (рис. 11.12). Если зтс> отображение является гладкой (бесконечно диффсренцирусмой) Функцией многих переменных в некоторой окрестнос'ти точки "(Р), то отображение Г называют гладким отпображением в квочке Р. Отображение г называют гладким, если оно является гладким в каждой точке многообразия М.
Замечание 11.4. Из данного определения следует. что необходимым условием гладкости отображения Г в точке Р 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 334 Рис. 11.12 является существование двух карт (К Ь) и (К Й), для которых Р'(У) С Р. Здесь нетрудно уловить знакомый мотив: для любой окрестности Г точки Ч = Р(Р) существует окрестность У точки Р, такая, что Р(Г) С Г. И действительно, введение понятия окрестности на многообразии позволяет ввести и понятие непрерывного отображения. Фактически мы в определение отображения, гладкого в точке, включили и определение отображения, непрерывного в точке Р. Из определения гладкого отображения можно заключить, что отображение, гладкое в точке Р, является и непрерывным в этой точке. Условие существования карт (У,Ь) и (КЙ) в определении гладкого отображения в точке Р можно заменить условием непрерывности отображения в этой точке Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
