V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 43
Текст из файла (страница 43)
+ а„1,„, где (~г, ..., ~„,)»= Е™, (хг, ..., х„) Е Е". Записанная система уравнений представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно координат $г, ..., 1 в области определения отображения. Это отображение инъективно, если ранг матрицы системы максимален и равен т 11Ч].
Если д инъективно, то множество М = д(Е'") при т > 1 будем называть т-меркой плоскостью в Е". а при т = 1 — прлмой в Е". При этом систему уравнений (11.2) будем называть параметиричесяими уравнениями т-мериой плосмостпи (прямой при т = 1), а переменные $г, ..., 3, — параметрами тп-мерной плоскостпи.
В случае т = 1 система параметрических уравнений (1!.2) упрощается: хг — — хг+аг1, о х„= х„+ а„~. о Ей можно придать простой геометрический смысл. Свободньн' члены хо, г =1,п, в правой части определяют точку, чер»'» которую проходит прямая, а коэффициенты а; задают вектор называемый иаправллющим вектиором прямой.
11.1. Определение гладкого многообразия 315 Рассмотренный пример можно расширить следующим образом. Система линейных алгебраических уравнений Ьих1+...+Ь1„х~ = Ь1, (11.3) Ь1,1х1+ "+Ь1, х =Ь1„ ранг матрицы которой максимален и равен Й (в предположении, что Й ( и), задает в Е" (и-Й)-мерную плоскость (прямую при и — Й =1). Действительно, общее решение системы (11.3) имеет вид (11.2), где т = п — й. При эгом (хо ...,хо) будет частным решением системы (11.3), а арифметические векторы а; = (а1,, ..., а„;), 2=1, т, — фундаментальной системой решений соответствующей однородной системы. Систему уравнений (11.3) естественно назвать общимм уровкекилдва тп-мерной плоскости (прямой при и — Й = 1).
Таким образом, преобразование общих уравнений т-мерной плоскости (прямой) в параметрические сводится к поиску общего решения системы линейных алгебраических уравнений. Свободные переменные, выбранные при решении системы, становятся параметрами т-мерной плоскости, и их можно выбрать в качестве координат этой плоскости. Параметрические уравнения (11.2) т-мерной плоскости М легко позволяют ввести на этой плоскости атлас из одной карты. Рассмотрим карту (М,Ь), где й — отображение, обратное отображению у: Е -+ М, заданному параметрическими уравнениями. Эта карта накрывает т-мерную плоскость. Можно показать, что отображение Ь непрерывно.
Непрерывность ото:бражения у = 6 ' очевидна. Пример 11.3. Обозначим через хо, х1, ..., х„координаты в В"+' и рассмотрим множество 5" точек, координаты которых удовлетворяют уравнению х02+ х2+ + х2 — 1. (11А) Множество 5" представляет собой и-мерную сферу. Введем в о" стереоарафические координаты. Рассмотрим в Е"+' 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 316 и-мерную плоскость х0 — — О.
Отметим на сфере 5" север мый полюс Ф, имеющий координаты (1, О, ..., О), и юнак мый полюс 5 с координатами ( — 1, О, ..., О). Пусть Р = = (х00, х0, ..., х0) — произвольная точка сферы, отличная от Ж. Проведем через точки М и Р прямую, которая будет иметь 0 направляющий вектор ЛФ= (х0 ц— 1 х01 ... х0) . Параметри ческие уравнения этой прямой имеют вид х0 = 1+ (х0 0— 1) 1, х1 — — х11, 0 х„= хф.
Поставим точке Р в соответствие то ку Ч' пересечения прямой 1ЧР с плоскостью х0 = О. Эта точка определяется значением параметра 1 = (1 — х0) ' прямой, и ее координаты имеют вид 0 " 1 0 Отбрасывая первую нулевую координату, получим точку в Е". Таким образом, задано отображение Ь: У -+ Е", где Г = = Я" ~ (У). Нетрудно показать, что это отображение является взаимно однозначным и тем самым вводит на и-мерной сфере 5" карту (КЬ) размерности и (на рис. 11.7 изображен двумерный случай).
Эта карта не покрывает всю сферу, так как за пределами ее носителя осталась точка Ж. Построим аналогичным образом карту (КЙ), заменив северный полюс Ж южным 5. В этом случае Ъ' = 5" ~ (5). Две карты (У,Ь) и ®й) в совокупности покрывают и-мерную сферу и образуют ее атлас Однако, чтобы это можно было утверждать, необходимо доказать согласованность этих карт.
Чтобы доказать согласованность двух карт (У,Ь) и (К"') нужно найти пересечение их носителей И" = Уй К, убедиться что образы множества И~ при отображениях Ь и Й являются от крытыми, найти функции перехода, проверить их на гладкость. 1!.1. Определение гладкого многообраэия Рис. 11.Т В данном случае Ф = Я" ~(Я, Ж~. Образом множества И~ при любом из двух отображений является множество Е" ~ (О~, открытое в Е". Точки множества ~ характеризуются своими координатами ю0, ж1, ..., ж„в Е"+' и в то же время координатами у1, ..., у„в карте (У,Й) и координатами г1, ..., г„в карте (~,й). Из структуры отображения Ь, описанной выше, видим, что оно описывается уравнениями добавив к полученным уравнениям уравнение сферы, получим систему Уг— х; г=1,п, 1+ ~0 ~0+ 21 + ° ° ° + Ж = 1 г и г г=1,я, Для отображения Й, соответствующего стереографической про- екции из южного полюса, имеем аналогичное представление 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ (1 хо) ~ у' — 1 хо 2~ 2 2 откуда в 1+хо ~ 2 7 Уг' 1 — хо 1=1 (11.5) Возвращаясь к исходной системе, из первой и второй групп уравнений находим 1 — хо г;=у; —, 1=1,п. 1+ хо Учитывая равенство (11.5), делаем вывод, что у~ Л' и 1=1,п. Аналогичным образом можно получить и обратные функции перехода ,$1 УФ= и 2 Ы1 1=1,п.
Итак, функции перехода найдены. Отметим, что они распространяются на все точки и-мерной сферы, кроме двух е1' полюсов. Это означает выполнение неравенств ',~.У2 ~ О и 11 1=1 ",~,22 ~ О, так как нулевые значения всех координат у; соот1=1 ВЕтСтВуЮт ЮжНОМу ПОЛЮСУ, а НУЛЕВЫЕ ЗНаЧЕНИя ВСЕХ КООрдниа'1' г; — северному полюсу. В области Е"'1, (О), которая описывает- связывающую все три группы координат. Из этой системь1 необходимо исключить переменные хо, ..., х„. Из перво11 группы уравнений находим х; = у;(1 — хо), г =1, и.
Подставив найденные выражения переменных х; в последнее уравнени<* системы, получаем 11. 1. Определение гладкого многообразия зв ся каждым из этих неравенств, все функции перехода являются бесконечно дифференцируемыми. Следовательно, карты (К Ь) и (К,Й) согласованы и образуют атлас на сфере 5". ~ф Пусть М вЂ” множество с заданным на нем атласом. Для произвольной точки Р Е М можно выбрать карту (Г, Ь), в носитель ругорой входит точка Р. Множество Ь(У) в Е" является областью и потому открыто. Рассмотрим некоторую окрестность О С Ь(1.1) точки Ь(Р).
Полный прообраз Ь '(0) множества О назовем окрестностью точки Р на множестве М. Введение понятия окрестности на множестве с атласом позволяет распространить на такие множества и некоторые другие термины. Подмножество С С М назовем открытым мкозкеством на М, если оно вместе с каждой своей точкой целиком содержит и некоторую окрестность этой точки. Подмножество А С М будем называть замкнутым множеством на М, если дополнение М ~ А этого подмножества является открытым на М. Отметим, что понятие открытого (замкнутого) множества в определенном смысле не зависит от выбора карты. Если (~У, Ь) и (~, й) — две согласованные карты, накрывающие точку Р, то достаточно малая окрестность точки Р, построенная с помо1цью карты (К Ь), является окрестностью и в карте (~, Й).
Действительно, отображение Йо Ь ' является непрерывным и взаимно однозначным отображением открытого множества Ь(И~) иа открытое множество й(Ж), где Ф = У и $~. При этом любое открытое подмножество С С Й(И~) имеет полный прообраз при отображении Йо Ь ', являющийся открытым множеством. 1аким образом, окрестности точки Р, целиком попавшие в Ф, будут окрестностями и в карте (У,Ь), и в карте (КЙ). Пример 11.4. На плоскости Е~ рассмотрим два непеРесекающихся множества: прямую М1 — ((х, у): у=О) и луч К = ((ю, у): у = 1, ж > О).
На их объединении М = М1 О Мг ®ведем атлас, состоящий из двух карт (У,Ь) и ($',й). Пусть = М1, Ь(х,О) = х, Р— объединение луча М~ с множеством 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 320 точек прямой М1, имеющих отрицательную абсциссу (х < О). Й сопоставляет точке множества Ъ" ее абсциссу, т.е. Й(ж,у) =:~ (рис. 11.8). Рис. 11.8 Легко увидеть, что две введенные карты покрывают множество М, а отображения Й о Ь 1 и Ь о Й ', представляющие собой тождественное отображение отрицательной части числовой прямой в себя, являются гладкими.
Поэтому карты (Г,Ь) и (К Й) согласованы и образуют атлас на множестве М. Обратим внимание на то, что в рассмотренном множестве с атласом нарушаются некоторые представления, привычные в рамках дифференциального исчисления и непрерывных функций. Действительно, если у двух различных точек Р1 — — (О, О) и Рг — — (О, 1) взять окрестности в М, то эти окрестности будут иметь общую часть, состоящую из точек с отрицательной абсциссой. Функция, непрерывная на М, обязана в точках Р1 и Рг принимать одно и то же значение.;ф Последний пример показывает, какие ситуации при построении атласа являются нежелательными.
Такие ситуации не возникают, если множество М с атласом удовлетворяет условию отпделимоспъи, гласящему что любые две точки множества М ° ° имеют непересекающиеся окрест- Р Ю ности (точки Р и ц на рис. 11 9). Точки, имеющие непересекающп еся окрестности, называют отпде Рис. 11.9 лимыми точфсама. Таким обра 321 11. 1, Определение гладкого многообразия зом, условие отделимости на множестве М означает, что любые две точки этого множества являются отделимыми. Замечание 11.2.
Так как любые две точки в К" отделимы, то условие отделимости на множестве с атласом может нарушаться только для тех пар точек, которые нельзя накрыть одной картой атласа. Действительно, если на множестве М задан атлас и точки Р, ч' принадлежат носителю Г карты (Г,Ь) из заданного атласа, то в области Ь(Г) в Е" точки Ь(Р) и Ь(Я) имеют две непересекающиеся окрестности Ср и С~.
Тогда множества Ь '(Ср) и Ь '(С ) будут непересекающимися окрестностями точек Р и Ч' на множестве М. Отсюда, в частности, следует, что условие отделимости выполняется в случае, когда атлас состоит из одной карты. Предположим, что множество М является подмножеством В'а при некотором т. Тогда условие отделимости для атласа ((У„,Ь„)) на М выполняется, если каждое отображение 6,„, как отображение множества из И"' в некоторое множество из В", является гомеоморфизмом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
