V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(ж1 91) (жз п)ЕЯе~ м(~) = тах ы;. (~). 1=1, в,,1=1, т Итак, погрешность приближения функции Дх,у) интерполяционным сплайном 81 1(х,у) не превосходит максимального колебания функции на сетке, т.е. величины 287 10.3. Кубические сплайны одного переменного 10.3. Кубические сплайны одного переменного з Вз(*) =~ аи(~-~ ~)', хб)*; „хю) (10.8) Одно из применений сплайнов — интперполирование фунх- ЧМ. При этом наиболее распространенным случаем является тот, при котором узлы интерполяции совпадают с узлами сплайна.
Остановимся на задаче построения сплайна вз(х) де- Производная такой функции порядка т = р, с одной стороны, непреРывна, а с другой, кусочно постоянна как ти-я производная многочлена епени ш. Значит, зта функция имеет постоянную т-ю производную на отрезке (а, Ь~, а потому является многочленом.
11апомним основные факты, которые относятся к кубичесФи „ м сплайнам одного переменного [11]. Выберем некоторое разбиение Т отрезка [а,6] точками а = х, с х1 < ... ( х„= 6. Полиномиальным сплайном одного „ременного называют функцию в, (х), которая удовлетворяет требоВаниям: 1) в (х) непрерывна и имеет непрерывные производные на отрезке [а, 6] до порядка р включительно; 2) на каждом из частичных отрезков [х; 1, х;] разбиения Т функция в~(х) совпадает с некоторым многочленом степени т. Точки х; называют узлами сп,аайма.
На практике предполагают, что р < т, так как при р = т поставленным требованиям удовлетворяют только многочлены'. Число т — р называют дефектом сплочена. В приложениях используют, как правило, сплайны невысоких степеней. Широкое распространение получили кубические сюмайкы, т.е. полиномиальные сплайны третьей степени дефекта 1 или 2. Кубический сплайн вз(х) на частичном отрезке [х; 1, х;] заданного разбиения Т можно представить следуюйцим образом: Ю. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ 288 фекта не выше 2, который в узлах х; имеет заданные значе1111„ и заданные значения производной. Такой сплайн зз(х) удов1„ творяет условиям 8з(х;) =д, 8з(х;) =Д, 1=0,и. Чтобы найти коэффициенты а;/, в представлении (10.8) сплайв лз(х) на частичном отрезке [х; 1, х;~, запишем заданные условя„ вточкахх; 1 и х;: / / / ЛЗ(Х1-1) = Ж-11 "'З(Х~) = 'Р1~ ~з(Х~-1) = 'Р1-1~ ~З(Хз) = 'Р,.
В результате получим систему линейных алгебраических урав. нений относительно неизвестных коэффициентов а;ь /с = 0,3: а1О =/Р -1 %0+%1А+%2~-"; + %3~; = ~г1 2 . 3 / %1 — 'Р; /2;1+ 2а;гА+ Мз~~ = 4 8з(х) = о(и)<р; 1+,д(и)у;+ у(и)<р'; 1+ 6(и)~р';, (10.9) где а(и) = (1 — и)2(1+ 2и),,8(и) = иг(3 — 2и), у(и) = и(1 — и) Ь;, о(и) = -ц (1 — и)Ь;. Из условий построения сплайна зз(х) ясно, что этот сплай" имеет непрерывную производную, а вторая производная може" где Ь; = х; - х; 1, 1 = 1, и.
Нетрудно убедиться, что определитель системы отличен от нуля, и, следовательно, система имеет решение, и притом единственное. Положим и= (х — х; 1)/Ь;. Тогда 0 < и ~~ 1. Используя /кубический интерлоллционный многочяен Эрмита, сплайн 8э(х) на частичном отрезке [х; 1, х;] можно представить в виде 10.3. Кубические снлайны одного переменного 289 име „ть разрывы первого рода. Значит, дефект сплайна 8з(х) Р авен двум. З1 практических задачах значения производных аппрокси„ируемой функции «Р(х) могут быть неизвестны. В этом случае ль производных могут играть их приближения, полученные помощью разделенных разностей. Например, полагают ф, «Р1 — У«-1 'Р1+1 — «Р«' «Р;=Л; „+гг; „, 1=1 11-1, ~.~« ~1+1 «Ро = (1+ И1) ~ — И1 «Р1 — 'Ро «Р2 — «Р1 1 2 ~ «Рп «Рп-1 ~ «Рп-1 «Рп-2 ~-~п ~-~п — 1 где Распространенной задачей является построение сплайна де.фекта 1, который имеет в узлах сетки заданные значения.
Отметим, что кубический сплайн с и+1 узлом имеет 4гг коэффициентов. Условие, что дефект сплайна равен единице, означает, что во внутренних узлах сплайна совпадают односторонние первая и вторая производные. Это дает 2п — 2 уравнений. Известное значение во внутреннем узле сплайна дает два. Уравнения на коэффициенты сплайна в двух примыкающих к Узлу частичных отрезках. Значит, имеем еще 2гг — 2 уравнений. Наконец, значения на концах отрезка 1а, Ь~ добавляют еще два УРавнения. Таким образом, всего есть 4п — 2 уравнений, т.е. На два меньше количества неизвестных коэффициентов сплайна.
4ля однозначного определения коэффициентов нужны дополнительные условия. Обычно используют два дополнительных Условия, влияющих на поведение функции на концах отрезка ~«г Ц Наиболее распространенными являются следующие до11ОЛНИтельные условия. 290 Ю. ИНтитОЛИ1 ОВЛНИК ФУНКЦИИ 1.
Если из условий прикладной задачи следует, что аппр „ симируемая функция является периодической, то естествен„ во добиваться совпадения первых и вторых производных на к „ цах отрезка, т.е. можно потребовать, чтобы з'(а) = з'(Ь), з"(а) = з" (Ь). (10.10) 2.
Часто считают известными производные на концах от резка, т.е. требуют, чтобы з'(а) = ~4, з'(Ь) = Р', (10.11) где ур и р'„известны. 3. Можно также зафиксировать на концах отрезка вторые производные з" (а) = Д, з" (Ь) = <р'„'. (10.12) При отсутствии всякой информации о поведении аппроксимируемой функции на концах отрезка можно испольэовать условия з" (а) = О, з" ((Ь) = О, которые называют естественными краевыми условиями. Полученный с учетом этих условий сплайн называют естественным кубическим сплайном. Теорема 10.1.
Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1, удовлетворяющий одной из пар (10.10) -(10.12) дополнительных условий, существует, и притом единственный. з(х)=т;, г=О,ц. (10.13) Тогда, согласно представлению (10.9), на отрезке [х; 1, 4 имеем з(х) = (1 — ц)~(1+2ц)ср; 1+ ц2(3 — 2ц)у;+ + ц(1 — ц)2Ь;т;, — ц2(1 — ц)Ь;т6 (10 14) ~ Интерполяционный кубический сплайн з(х) дефекта 1 явля- ется частным случаем сплайна дефекта 2, и поэтому его можно записать в виде (10.9). Введем обозначения Ю.З. Кубические сплайны одного переменного 291 -НаПОМНИМ, и = (Х вЂ” Х1 1)/Ь$, .Ь$ — — Хг — Х! 1.
ФуНКцня 8(Х), «а« а«интерполяционный сплайн дефекта 1, непрерывно диффе„цнруема на [а, Ц при любых значениях коэффициентов т; ~ви ч и и имеет заданные значения у; в узлах х; сплаина. Покажем, о за счет выбора значений коэффициентов т; можно добить- того, что этот сплайн будет иметь непрерывную вторую производную и удовлетворять выбранной паре дополнительных агоний, Другими словами, выбор значений коэффициентов т; пределяется условиями непрерывности второй производной во иутренних узлах сплайна и дополнительными условиями на концах отрезка [а, Ц.
Используя представление (10.14), а также соотношение и',. = =1/Ь;, находим, что наотрезке [х; 1,х;1 6 — 12и — 4+ 6и — 2+ 6и 8 (х) = ('Р~ — 'Р~-1) ~ + т~-1 + т1 1 1 г В узле х; вычисляем вторые производные слева и справа: 8"(х + 0) = 6~'+ ~' 4 ' 2 — '+1. Ь„! Ь+! Ь+! Л;т; 1+2т;+р;т;+! —— е;, 1=1,п — 1, (10.15) где Л;= А+ А+! Ь; Рч — ~ ~ — 1 Лг~ 1+ з+1 Условия непрерывности второй производной сплайна во внуТРенних узлах, т.е.
уравнения 8" (х; — 0) = 8" (х;+ 0), имеют вид !О. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 292 К этим условиям следует добавить дополнительные услов„ вия что приводит к системе из и+1 уравнении с и+1 неизвест ными. Рассмотрим эту систему для конкретных вариан Ов дополнительных условий. Для условий периодичности (10.10) система линейных алгети раических уравнений имеет вид 2т1+ и1тг+ Л1т„= е1, Л1т1-1 + 2ж + Игтз+1 ез1 р т1+Л„т„1+2т„=е„. 1=2,п — 1, В этой системе первое уравнение получено из равенства (10. д) при г = 1 с учетом равенств то — — т„(это равносильно усло. вию 8'(а) = в!(Ь)) и уо — — ср„(это условие также выполняется для периодической функции). Последнее уравнение системц отражает условие з"(а) = 8"(6), которое можно записать в виде (10.15) с г = п, причем в силу периодичности следует считать, что Ь!~+1 = Ь1 тд+1 = т1 и !од+1 = (~71.
Для дополнительных условий (10.11) имеем систему вида ! то уО! Л;т; 1+2т;+и;т;+1 — — е;, ! т! ='Р~~ г=1,п — 1, а в случае дополнительных условий (10.12) — систему вида г А ~! Фо! З(у1 — <~о) 1 Л;т; 1 + 2т; + ф; т;+~ — — е1, з(ю„— м„,) т„1+ 2т„— и й=1,п — 1, Аг в И я Во всех трех случаях матрица системы является матрице!! ' диагональным преобладанием, причем в двух случаях из тРе" матрица трехдиагональная.
Следовательно, эта матрица невь' рождена, а система линейных алгебраических уравнений имее~ 10А. Бикубические сплайны двух переменных ние, и притом единственное [111]. Отметим, что решение 0~ ФС%' емы в случае трехдиагональнои матрицы можно найти с ошью ме~иода прогонки. ~ ром 10.4. Бикубические сплайны двух переменных рассмотрим в плоскости хОу прямоугольник Я = [а, 6] х[с, Ы] „ееупку на нем, порожденную разбиениями Т = (хо, х1,..., х„), где а= хо < х1 « ... хп = 6, и Тц — (Уо У1 " У ), где с = уо < . У1 « "° ут = ". Функцию вз з(х, у) называют бикубическим силайном (дважды кубическим склайком), если она удовлетворяет условиям: 1) функция вз,з(х,у) имеет непрерывные частные производные первого порядка в прямоугольнике ч'; 2) вкаждой клетке ч; =[х; 1,х;]х[у у,у]заданной сетки функция вз,з(х,у) совпадает с многочленом, имеющим степень яе выше 3 как по переменному х, так и по переменному у, т.е.
ее можно представить в виде ззз(х,у) =~~ац(х — х;)~(у — у )~, (10.16) ~=о ~=о гдех~ [х; 1,х;], у Е[у, ),у,;]. Точки (х;;у ), г = О, и, ~ = О, о~, называют узлами бикубическоео сплайка. Отметим, что при фиксированном переменном, например у, бикубический сплайн является кубическим сплайном по переменному х. о задачах интерполирования функций двух переменных "аиболее распространенными являются сплайны, узлы которых ~овпадают с узлами интерполяции.
В качестве примера рассмотрим две задачи интерполяции. 1. Пусть требуется интерполировать функцию (р(х,у), ру"оводствуясь ее значениями и значениями частных производ"~ях (Р', дд, (р"д в узлах (х;; у ) некоторой сетки, заданной 294 1О. ИНТЕРПОЛИРОВА НИЕ ФУНКЦИИ разбиениями Т =(хо,х1,".,хп) и Т„=(Д0 Д11''' Ут) В к честве приближающей функции возьмем бикубический спла*„ узлы которого совпадают с узлами интерполяции (х;; у ). В дем обозначения Тогда задача сводится к построению бикубического сплайн лз,з(х,у) с узлами (х;; у.), удовлетворяющего условиям Решение поставленной задачи сводится к одномерному слу чаю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
