V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда площадь БР РР треугольника Р~Р~Р„, рави сумме площадей трех треугольников: ~РкР~Р, = ~РР~Р, + ~РРРР,„+ ~Р~Р~Р Из этого равенства, умножая его на два, получаем так как все рассматриваемые тройки точек являются правыми. Следовательно, так как Ь(Р~,Р~,Р ) ф-0. Используя равенство (10.5) и условие, что все рассматриваемые тройки точек являются правыми, получаем оценку 10.1. Интерполяционные сплайны первой степени 281 е о1(~) — колебание фУнкЦии У, соответствУюЩее заДанной где ангуляции многоугольника М, которое определяется следутп« 1ОКК „«м образом. На каждом треугольнике Р1,Р1Р„, вычисляется яебание с )(У, Р~сР1Рт) функции У(х У)' ,„Ц,Р1,Р1Р ) = мах(~~д — Ц(х,у)~, ф — У(х,у)~, ~У вЂ” ~(х,р)о, ( и) „~е максимум берется по всем точкам Р(х; у) внутри треуголья«ка Р~Р1Р„, и на его границе.
Колебание ы(1), соответствую1цее заданной триангуляции многоугольника М, равно максимальному из колебаний функции на отдельных треугольниках триангуляции. Колебание функции ~(х,у) на заданной триангуляции не превосходит величины ы(~,Б) = 1пах ~~(х1, у1) — Дх2, дг) ~, ~Р1 Рр~(б где максимум берется по всевозможным парам точек Р1 (ж1, у1) и Р2(жр,у2), расстояние ~Р1Рр~ между которыми меньше о, а в качестве Ю выбран максимальный диаметр среди треугольников триангуляции, Итак, точность приближения функции ~(ж,у) с помощью знтерполяционного сплайна первой степени определяется колебанием функции на выбранной триангуляции.
Следовательно, триангуляцию многоугольника М следует выбирать так, чтобы сделать колебания функции на отдельных треугольниках возМожно меньшими (точнее, нужно стремиться к тому, чтобы максимальное колебание функции на треугольниках выбираемой триангуляции было минимальным). Если о функции ~(х, у) ничего не известно кроме того, что она непрерывна и имеет заданные значения Д в заданных точках Р;(х;; у;), г = О, Ж, то определить колебание функции на треугольниках выбираемой триангуляции нельзя. В этом случае целесообразно триангуляцию выбирать так, чтобы минимизировать максимальный из 4наМетров треугольников в триангуляции.
282 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 10.2. Билинейные интерполяционные сплайнь| На плоскости хоу рассмотрим прямоугольник Я = [а, Ь] х [с, а1 = ((х; у): а < х < Ь, с < у < а) и на нем севку, порожденную разбиениями Т = (хо, х1,..., х„) а = хо < х1 « хп = Ь1 и ~у = Ьо~ У11 ° ° ~ Ут)1 с = Уо < У1 ~ ... «у = а. Эта сетка состоит из вертикальных х = х,. н горизонтальных у = у прямых и разделяет прямоугольник д на меньшие прямоугольники ® = [х; 1, х;1 х [у. 1, У,1, ю = 1, и у =1, т (рис. 10.6).
Пусть в узлах (х;; у ) сетки заданы значения Д неизвестной функции Дх,у). Рис. 16.6 Нюпериолмииоккъам силайном сзпееени (1,1) (билинейным иктерполмциоккым сплайном) з1,1(х,у) называют функцию, удовлетворяющую условиям: 1) функция з1 1(х,у) неирерыена на прямоугольнике Я; 2) на каждом прямоугольнике ©~, ~ =1, и, у = 1, т, функция з1,1(х,у) совпадает с некоторым многочленом, имеюшим первую степень как по переменному х, так и по переменному у, т.е. з1,1(х1у) = аь3+Ьв,х+ счэу+Йс3хуу (х> у) 6 а; 3) в узлах сетки функция з1,1(х, у) имеет заданные значения т.е. з1,1(х;, у ) = Д;, ю = О, и, ~ = О, т. Функцию з1,1(х,у), удовлетворяющую зтим требованияу1 естественно рассматривать как приближенное представление 10,2. Билинейные интерполяиионные сплайны яви известной функции Дх,у).
Но при этом возникает вопрос, вгда ли существует такая функция и единственна ли она. Отметим, что сплайн 81 1(х,у) на каждом прямоугольнике ... однозначно определяется своими значениями в вершинах ЦЪ» ~р~оугольника, являющихся узлами заданной сетки. Действи, ~ьно, коэффициенты многочлена Р;,(х, у) = а; +6; х+ с; у+ +~ру, с которым совпадает сплайн в клетке ®, удовлетво~ют системе линейных алгебраических уравнений ©ц + ~ч»х1-1 + суу»-1 + ~1»х~-1У»-\ У1-1,»-1~ а;»+6;»х;+с,»у» 1+6; х;у 1 — — Д;,» 1, а; +6; х; 1+с;,у, + Мух; 1у =,Д 1,, а;, +6;,-х;+с;,.у, +4,х;у; = Я,.
3та система имеет решение, и притом единственное, если матрица системы имеет ненулевой определитель: У»-1 1 х; у хг-1 у» 1 х; 1У х;у х1-1У»' х1У» (х;-х)(у -у) 1»(х,у) = ~~ 1,»' 1 ) + (х;-х; 1)(У; — У 1) + с (х хг-1)(у» у) (х~ х)(у у»'-1) +Л~» 1 +~у 1» + (х;-х; 1)(У».-У» 1) ' (х;-х; 1)(У»-У» 1) У (х ' )(У У» 1) (10 6) »(х; — х; 1)(У вЂ” У» 1) Нетрудно убедиться в том, что определитель в левой части равен (х; — х; 1)2(у, — у, 1)2 и не равен нулю, так как х; 1 < х; ИУ» 1 <У, Итак, существует елинственный многочлен Р; (х,у) первой сТепени по каждому из переменных, имеющий в вершинах клетки Я;» заданные значения.
Этот многочлен можно представить в следующем виде: 284 10. ИНТЕРПОЛИРОВА НИЕ ФУНКЦИИ Очевидно, что записанный многочлен имеет первую степень и ио каждому из переменных, а в вершинах клетки Ч; принима заданные значения Д 1, 1, Д,, 1, Д 1,, Д;. Рассмотрим функцию 81,1(х,у)) которая на каждои клер„ ® заданной сетки совпадает с многочленом Ру(х, у). Убедим ся, что эта функция непрерывна в прямоугольнике ц. О, метим, что эта функция непрерывна в каждой точке (х;у) попавшей внутрь одной из клеток ®, так как в этом слу У чае в некоторой окрестности точ И Ю ки (х; у) функция совпадает с мио.
у~ гочленом. Функция также непре (хЪ) рывна и в точках границы прямо. С угольника Я, не совпадающих с уз 1 ! ! лами сетки, т.е. в точках (х; у), для О ~ х,. Ь х котоРых х=а или х=6 а У~У,, у = О, т, и в точках (х; у), для которых у = с или у = 6, а х;Е х;, г = О, и. Пусть точка (х; у) находится на смежной стороне х = х; двух соседних клеток ф и чу+1 (рис. 10.7). Тогда имеем Р,у' У У У~-1 Р;~(х,у) = Р,.„(х;,у) =,Д;, 1 ~ +А; Уз — Р.у'-1 У.у — У.у-1 т.е. значения многочлена РДх,у) на прямой х = х; определяются только двумя значениями Д, 1 и Д в узлах сетки.
Аналогично Уз У У У~-1 Р,+1,(х;,У) =Д 1 ~ +Д Р.у Уз-1 У.у — Р~-~ и два многочлена Ру(х,у) и Р+1 (х,у) имеют одинаковы~ значения на прямой х = х;, по которой граничат клетки Яз) и Я;+1 . Это значит, что функция е1 1~и,у) непрерывна ео всех точках (и; у), дли которых и=и<, уз 1 < у < у~, з = 1, и — ~ у = 1, т. Точно так же заключаем, что эта функция непрерывиа и в точках горизонтальных прямых сетки, т.е. в точках (х:. У) для которых х; 1 < х < х;, у = у., 1 = 1, и, З = 1, т — 1. 10,2.
Билинейные интерлоляционные сплайны 285 функция 811(х,у) непрерывна и в узлах сетки. Рассмотнапример, внутренний узел (х;;у.), 0<1<и, 0 < г < „,. Этот узел является общей вершиной четырех клеток ®, ц,+1 „ф,~+1, Я;+1~+1. Функция 81,1(х,у) имеет предел Д. при (®.У) -+ (х;; у~) по множеству ©~, так как на этом множестве (х,у) совпадает с непрерывной функцией Р; (х,у). Анало- 81,1 г Ично убеждаемся, что существует предел з11(х,у), равный у.~, при (х; у) — ~ (х;; у,) по множествам ф+1~, ф +1, ч;+1, +1. Но это и означает, что функция 81,1(х,у) непрерывна в точке (д;, у ), так как ее значением в этой точке является число Д ..
Замечание 10.1. Представление (10.6) многочлена Р; (х, у), появившееся как бы „с потолка", можно получить из следую1цих соображений. Для каждого фиксированного у 1= ~у. 1, у;1 миогочлен Р;;(х, у) является линейной функцией переменного х, а потому однозначно определяется по своим значениям в точках (х; 1,У) и (х;;у) согласно формуле х — х; Х вЂ” Х; 1 р;3'(х,у) = рИ(х; 1,у) + Р;3(х;,У), (10.7) Хг-1 Х; — Х; 1 которая представляет собой частный случай иниерпоаяцион- НОгО МНОгОЧЛЕНа ЛаграНжа. ФуНКцИИ Р;;(Х; 1,у) И Рг,(Х;,у) переменного у также являются линейными и определяются однозначно своими значениями в точках у 1 и у'.
У Уг У Уг1 Ргг(Хг-1г У) = Ргг'(Хг-1г Уг-1) + Ргг(Хг-1г Уг) УЗ-1 У,1 У~ У,г-1 У У.г У У,г-1 РО(Х У) — Рг~(Х УЗ-1) +РгДХ;,М г У~-1 — Уу' Уг У.г-1 Подставляя эти равенства в представление (10.7), приходим к представлению (10.6). Остановимся на вопросе о погрешности приближения непРерывной функции ~(х, у) ее интерполяционным многочленом а1,1(х, у). 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 286 Положим х — х; 1 у — у и=, и=, (х;у) Е®.
Х; — Х; 1 УЗ вЂ” У1-1 Тогда 0 < и < 1, 0 < о < 1, а представление (10.6) можно запис, следующим образом: Р; (х,у) =(1 — и)(1 — о)Д 1,. 1+ +и(1 — и)1;, 1+(1 — и)и1; 1, +и 1,, Кроме того, отметим очевидное тождество Дх,у) = (1 — и)(1 — ю)~(х,у)+ + и(1 — и) ~(х, у) + (1 — и) и~(х, у) + ии~(х, у). Вычтем из первого равенства второе. В результате получим оценку ~ Р1~ (х, у) — Дх, у) ~ < (1 — и) (1 — ю) ~ Д 11 1 — Дх, у) ~ + +и(1 — и)Ц;,'-1-У(х у)3+(1 — и)о!Л-1,,— У(х у)3+ +ии~~ — ~(х,у)~ < ((1 — и)(1 — о)+ + и(1 — о) + (1 — и) о+ ию) м;Я) = м; (~), где ы;Я) — колебание функции Дх, у) на множестве ф~' иц Я = п1ах ~~(х1,у1) — Дх~,ур)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
