V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для поверхности из задачи 8.28 определите нормальную кривизну в точке (а+6, О, 0) в направлении 1 = (1, 2). 8.30. Пусть Π— средняя кривизна поверхности 5 в точке Р, Й(~р) — нормальная кривизна поверхности 5 в точке ~ в направлении, которое составляет угол ~р с фиксированным касательным вектором 1. Докажите формулы: а) Н = — lс(|р)Иу: 6) и = -(й(у)+Й(у+т/2)). 1 1 Ф 8.26. Первая квадратичная форма поверхности имеет внл ~Ь2 = Ыи2+ (1+ и~) ~Ь~.
Найдите: а) периметр криволинейного треугольника, образованного пересечением кривых и = о~/2, и = — о~/2, о = 1; б) углы этого криволинейного треугольника; в) площадь криволинейного треугольника, образованного пересечением кривых и = е, и = — о, е = 1. 9. 'ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ У'РАВНЕНИЙ Ца практике часто встречается задача решения системы из и нелинейных уравнений с и неизвестными (нелинейной аисяземы): Л(х1,хг, ° ° °,хи) =О, .6(х1~ хг1 1хя) = О1 (9.1) ~„(х1,хг,...,х„) = О. Эта система не всегда имеет точное аналитическое решение, а если и имеет, то это решение может выражаться слишком громоздкими формулами. В таких случаях ставят задачу приближенного решения системы с использованием одного из известных численных методов.
Функции Д в левых частях уравнений системы (9.1) удобно рассматривать как координатные функции вехторной функции т многих переменных Г(х) = (~1(х) ... ~„(х)) . Тогдазадачасводится к отысканию таких точек х Е Е", для которых Р'(х) = О. т е. нулей вектпорной фуюсцаю. В этой главе из соображений удобства мы будем элементы Е" обозначать полужирным "Урсивом и писать ж вместо х, а функции многих переменных мы будем называть отображениями, допуская тем самым такие словосочетания, как непрерывное отображение, дифференцируемое отображение и т.п.
Далее будем предполагать, что отображение,Р, определяющее систему нелинейных урав"ений, непрерывно в своей области определения. 248 9. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 9.1. Итерационные методы решения Многие численные методы решения нелинейных систе.,ц я ляются итерационными (ср. [1Ч~). Процесс вычисления решенн представляет собой построение некоторой итерационной и следовательности (х~), сходящейся к решению х. системы. ц качестве приближенного решения выбирают один из элементов этой последовательности, достаточно близкий к точному рецэп нию х.. Сходимость последовательности элементов линейного арифметического пространства рассматривают относительно какой-либо нормы, заданной в этом пространстве.
Далее буден предполагать, что в качестве такой нормы выбрана евклидова норма Применение Ь-шагового итерационного метода сводится к решению трех задач: 1) выбору Й мсчальмых твриближемий хо,, х" '; 2) построению последовательности, в которой каждый очередной элемент определяется исходя из Й предыдущих членов последовательности; 3) выбору критериев останова, по которым можно решить, является ли последний вычисленный элемент итерационной последовательности приемлемым приближением точного решения. Решение нелинейной системы — сложная задача.
Это и роявляется в том, что для ее численного решения нет универсального метода. Любой предложенный метод в некоторых ситуациях будет плохо работать (т.е. приведет к медленно сходящейся итерационной последовательности) или не будет работать вообще. Большое значение для конкретного метода имеет выбор начальных приближений. Одни методы дают сходяшую ся итерационную последовательность, если начальные приближения выбраны достаточно близко к неизвестному решению Такие методы называют локалъмо сходтцимисл метиода ми.
Другие методы дают сходящуюся итерационную последо- 9. 1. Итерационные методы решенив «ьность при произвольном выборе начальных приближений яэ7 по крайней мере, при их выборе в достаточно обширной и«и~ . асти вокруг неизвестного решения. Это глобально схообл д м~иеся меттводы. Применение локально сходяшихся методов вар „равдывает высокая скорость сходимости соответствующей рационной последовательности.
На практике приходится „омбинировать оба типа методов. Тот или иной глобально схо„яшийся метод используют для получения хороших начальных „риближений, а затем переходят к применению локально схояп1егося метода, чтобы ускорить сходимость итерационной последовательности.
Простейшие одношаговые методы можно представить в нанонпчесмой форме одношагового итперацианного меяго- да х~+' — х~ Ву+1 + Е(х~) = О, т~ч+ ~ (9.2) где'де$Вр~+1ф.О, У=О, 1, ... Если отображение Г(х) имеет вид Р(х) = Ах — Ь, где А — линейный оператор, Ь Е К", уравнение (9.2) совпадает с канонической формой одношагового итерационного метода для системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ~1Ч1. Конкретный метод определяется выбором матриц Вр~+1 и значений ты+1 итерационного параметра. Если итерационная последовательность (х~~ сходится к некоторому пределу х., то мы можем в уравнении (9.2) перейти к пределу. В результате получим, что г'(х.) = О, т.е.
предел итерационной последовательности является решением системы (9.1). Разрешая уравнение (9.2) относительно х'~+', находим х = х 7~к+1ВХ+1г (х ) ° %+1 Х вЂ” 1 ь~ ~та формула показывает, что построение итерационной последовательности связано с обращением матриц Вщ+~.
Как и в е~учае СЛАУ, различают явные итерационные методы, 9. !. Итерационные методы решения 251 м, что отображение 5 переводит множество У(а,г) в ,1окаж 1 действительно, для любого х б У(а, г) себя ~5(®) — аЙ = ~ф(х) — 5(а) + 5(а) — ай < < ~~5(х) — 5(а) Й+ ~~5(а) — а~~ < < д~~х — а~~+ (1 — д)г < дт+ (1 — д)г= г, е вектор 5(х) попадает в множество Г(а,г). Согласно прин„.„пу сжимающих отображений [1-Д.8.2], отображение 5 имеет в ц(а,г) единственную неподвижную точку, а из доказательства принципа сжимающих отображений вытекает, что итерационная последовательность при любом начальном приближении х~ б Г(а,г) сходится к этой неподвижной точке.
Ь Дифференцируемая функция многих переменных 5: Е" -+ Е" будет сжимающим отображением, если для матрицы Якоби У(х) в некоторой окрестности точки х будет выполняться неравенство Ц5'(х) Ц < д < 1 относительно нормы матриц, согласованной с нормой линейного арифметического пространства. Это можно показать, используя следующее утверждение. Лемма 9.1. Пусть отображение 5: Е" -+ Е" дифферен цируемо в области Р С Е" и отрезок, соединяющий точки а, Ь Е Р, целиком содержится в Р. Тогда на указанном отрезке существует такая точка ~, что ~~5(Ь) — 5(а) ~~ < ~~5'(() ~~ ~~Ь вЂ” а~~, где 1ф'®)~~ — норма матрицы Якоби 5'(4), согласованная с евклидовой нормой в Е". ~ При 5(Ь) = 5(а) доказываемое неравенство очевидно. Поэтому далее будем предполагать, что 5(Ь) -,Е 5(а).
Отрезок. соединяющий точки а и Ь, можно задать параметрическим уравнением х = а+ 1(Ь вЂ” а), 1 б 10, 1~. Выберем произвольный 252 9. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ вектор у б И.". Функция у($) = (Я(а+1(Ь-а)),у), где (..) стандартное скалярное произведение в В", представляет соб . еа действительную функцию одного действительного перемен го, которая, как композиция дифференцируемых отображен„„.
является дифференцируемой на отрезке ~0, Ц. Согласно фо»,„' ле конечных приращений, р(1) — р(о) = р'(д), д е (о,1). Вычислим производную функции у(~) как производную сто,,),. ной функции: ср'(й) = (Я'(а+ й(Ь вЂ” а)) (Ь - а), у) . Подставляя найденное выражение производной в формулу ко.
печных приращений и используя неравенство Коши — Буна. ковского, находим Поэтому ~ [Я(ь) — Я(а), у) / ( /)Я'(~ф)/! ))ь — а)) цу)). Наконец, учтем, что вектор у был выбран произвольно. Пола- гая у = 5(Ь) — 5(а), получаем Щь) — Б(а)))~ ( )(Я'(ф))) ))ь — а)) Щь) — Я~а))), откуда, сократив на положительный сомножитель |~5(Ь) — 5(а)! !' приходим к утверждению леммы.
6 )<я(ь) — я(а),и)( = ~р(ц — р(о)) = =Из'(~)(ь- ) ~)~<~ф'®(ь- Цщ! Ф где ( = а+ д(Ь вЂ” а) — точка на отрезке, соединяющем точки а и Ь. Так как норма матриц согласована с евклидовой нормой в В", то !/5'(ф)(ь — аЦ ( /!Я'Я))! ))ь — а)). 253 9.1. Итерационные методы Решения ~; «и отображение Я(х) непрерывно дифференцируемо в тности неподвижной точки х. и ~~Я'(х )~~ = до < 1, то, выоФРе произвольное число д Е (до, 1), заключаем, что в некоторой ,нутой окрестности 13(х,е) верно неравенство Щхф < за"" < < 1. Согласно лемме 9.1, в Щх„е) отображение Я(х) являся акимающим: ~~Ях') — Я(х")~~ < ~~5 (~)~~ ~~х' — х' ~~ < д~~х' — х"~~.
1~роме того, при а = х. верно неравенство (9.4), так как Я(х,) = х,. Следовательно, если начальное приближение х~ взято из амкнутой окрестности Щх.,е), то итерационная последовательность х~+' = Я(х~), согласно теореме 9.1, будет сходиться и точке х . Другими словами, условие Р'(х,Н < 1 является достаточным для сходимости соответствующего локального метода. Рассмотрим некоторые из одношаговых итерационных методов. Метод релаксации. Если в уравнении (9.2) Ву+1 —— Е, тщ1 — — т, мы получим метод релаксации.
Для этого метода Я(х) = х — 7Г(х). Метод дает сходящуюся итерационную последовательность при начальном приближении, близком к Ре3пению х„если норма матрицы У(х.) = Е- тР(х.) меньше единицы. Метод Ньютона. В уравнении (9.2) положим Врц.1 —— = Р(х~), 7м+1 — 1. Тогда это уравнение принимает вид Е"(х~)(х~+' — х )+Г(х ) =О и приводит к методу Ньютона.
Левая часть этого урав"ения представляет собой значение в точке х~+' линейного "Рибмиженил функиии Е(х) в точке хм, а в качестве следуППЧего элемента итерационной последовательности выбирается Пуль линейного приближения. 255 Я,1, Итерационные методы решения .~ь один из вариантов определения матрицы Вр~+1, удовле- ляФ я1оЩЕй соотпнОшЕНию сЕкущиХ ~вор В~1+1 Ьж = Ьу М Ж Строго говоря, метод Бройдена, как и другие методы секу„х является двухшаговым, так как очередное значение ж~+' числяется с использованием двух предшествующих значений Ф Ф и ю1~ '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
