V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1,А. при стремлении к нулю величин Ьи; и Ьи~. Так как векторы г„и г„являются непрерывными функциями, то их векторное произведение также является непрерывной функцией. А значит, такой предел, как предел интегральных сумм, существует и равен двойному интегралу по области У [ИЦ: 212 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ на самой поверхности (длины кривых, площади, углы). Однако она не определяет пространственной структуры поверхности взаимного расположения ее частей в пространстве.
Действ„ тельно, можно представить себе поверхность, сделанную н нерастяжимого материала. Тогда при деформировании зто,", поверхности (если она возможна) длины кривых, площади и т и не будут меняться, но поверхность при этом может изгибать~я Например, цилиндрическая поверхность может быть получена из плоскости в результате такого деформирования. Рассмотрим поверхность 5, заданную дважды непрерывщ, дифференцируемой функцией Ф(и,ю).
Пусть Р = Ф(ио,юо)- регулярная точка поверхности. В касательной плоскости я к поверхности 5, построенной в точке Р, выберем вектор м. Этот вектор является касательным вектором к некоторой кривой 7, лежащей на поверхности Я и проходящей через точг хг„ ку Р: если кривая ~ задана вектор-функцией г(1) и Р= ~'(1о), то ж = г'(~о). Рассмотрим функцию Ъ Ч(ж), которая вектору х ставит с;, в соответствие проекцию векто- ~ (~в) ра г"(~о) на направление вектора г„хг„, где г„= Ф'„(ио,ц~), г,, = = Ф'„(ио, ео) (рис. 8.8). Вектор ж касательной плоскости я может быть касательным вектором разных кривых, лежащих на поверхности 5 Покажем, что значение Я(ж) иа самом деле не зависит от выбора кривой 7 и функция Я определена корректно. Теорема 8.4.
Если ж = от„+,Ит„, то Я(ж) = Ьа2+2ЛХо,~+ + У~я, где ~'ыи ~'и ~'м М ~'ыиР'и~'и ~ ганг~'и~'и ( .ц ,/Е~ рг' Е, Р, С вЂ” коэффициенты первой квадратичной формы точке Р, з'~~ = Ф'„'„(ио, оо), з'„„= Ф'„'„(ио, ио), ~'~ = Ф"„(ио, ~'о). гв = Фи(иОь иО)~ 'ги = Фр(иоеиО)з Р = Ф(ио~иО)' 8.4. Вторая квадратичная форма поверхности гд ~ рассмотрим произвольную кривую ~ на поверхности 5, за- ДЭ анную уравнениями и = и(~), ю = о(~), ~ б (а, Ь), проходяшую врез точку Р б 5. Пусть точке Р соответствует значение пааметра ~о. Тогда векторное уравнение кривой в пространстве определяется вектор-функцией г(1) = Ф(и(~),о(1)), так что каательный вектор кривой равен т'(Фо) = Ф'„(ио ио)и'(~о) + Ф.(иоеио)и Ьо) = = 'г„й(~о) + з' и (~о) (8 14) Пусть и'(1о) = а, ю'(1о) =,В, т.е.
~'(8о) = ж. Вычислим проекцию вектора ~н(1о) на направление вектора я = гихл„, используя скалярное произведение: н(~о)я н(~ )( „х „) н(~о) „„ ~ж~ ~г„хз „~ ~г„хг„~ (8. ~5) Знаменатель полученной дроби, согласно теореме 8.3, равен ч/Й~ - е'е, а и числителе стоит смешанное нроизнеденне нек- тОрОВ Р"(1О), Ги И Г,. Так как э'(й) = Ф'„(и,ю)и'(й)+Ф'„(и,о)о'(й), то "Ио) = — (Ф'.(н,й иЯ+Ф'.(н,оМЯ~ = Ф'„',(ио, ио) (и'Ьо))'+ 2Ф'„',(ио, ио) и'(~о) и'(~о) + + Ф'„'„(ио, оо) (о'(й) ) + Ф'„(ио, оо) и" (йо) + Ф'„(ио, ио) ин(йо) = = внииа + 2ги„аД+ г„„,д~+ тиин(1о) + г„и" (~о). И 2 2 (~о)~'и~'и = т'ии~'и~'ие' + 2~'им~'иФ'иск + ~'ии~'и~'и~ Подставляя это представление смешанного произведенеия В (8 15), приходим к утверждению теоремы. ° Умножая полученное представление вектора ~п(Ео) скалярно на ВЕКтОр Г„ХГ„И уЧИтЫВая, ЧтО ГиÄÄ= Г„~„Г„= О, ПОЛУЧИМ 8.
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 214 Из доказанной теоремы вытекает, что значение функци„ Ч'(х) зависит лишь от внутренних координат вектора х, но н от выбора кривой, касательным вектором которой он являетс„ Кроме того, из теоремы следует, что функция Я(х) определя ется квадратичной формой с коэффициентами Ь, М, М: Я(х) — ~',ог + 2Моф+ фф. Как и в случае первой квадратичной формы, вторую квадратичную форму можно записать в дифференчиалах переменных координат и, ю: ~ ~„г+2М~„~ +~,~„г (8.16) Коэффициенты Ь, М, Ж второй квадратичной формы зависят от точки поверхности и представляют собой функции координат и, о на поверхности. При движениях пространства сохраняются расстояния и углы, а следовательно, не меняются скалярное, векторное и смешанное произведения векторон.
Поэтому движения пространства не изменяют вторую квадратичную форму поверхности, или, другими словами, квадратичная форма поверхности не зависит от положения поверхности в пространстве. Замечание 8.4. Формулы (8.13) можно переписать в виде о о Ь=г,,„п, М=т„„п, где о тихтю и'= !г~хг4 единичный нормальный вектиор к поверхностпи. (8.17) Определение 8.2. Функцию Я(х), которая определена н линейном пространстве векторов касательной плоскости, по строенной в данной точке Р, называют втпорой квадратпич ной формой поверхности 5.
Величины Ь, М, У, вычисленные по формулам (8.13), называют коэффит4иентпами втпорой кв адратпич ной формы. 215 8.5. Классификация точек поверхности Пример 8.9. Вторая квадратичная форма плоскости равнулю. Действительно, это очевидно для плоскости я = 0 (см. ример 8.7). Но любую плоскость в пространстве можно совестить с плоскостью я = 0 движением, а при движениях вторая ®яадратичная форма не меняется. Позтвму для любой плоскости Ю =0 Пример 8.10. В случае цилиндра 18.3) имеем — Юсова — Вя'и ~р 0 0 7и = О 0 О т'„,ц — — О О Следовательно, © = -Й~йр~. Значит, вторая квадратичная форма цилиндра не обращается в нуль ни в одной точке, и г помощью замены координат на поверхности ее нельзя свести ко второй квадратичной форме плоскости, которая равна нулю во всех точках.
4 Отметим, что если первая квадратичная форма в каждой точке поверхности положительно определена, то вторая квадратичная форма может иметь значения произвольного знака. Она, например, может быть вырожденной, как в примере 8.10, тождественно равной нулю, как в примере 8.9, или знакоперемен ной. 8.5. Классификация точек поверхности При изучении поверхностпи Я в охрестпностпи ее регулярной твори Р удобно в качестве прямоугольной системы координат Охук использовать ту, начало координат О которой совмещено с точкой Р, а координатная плоскость хОу — с тсасатпельной плостсостьто. Такую систему координат мы будем называть св*занной с касатпе,яьной тиьоскостью поверхности 5 в точке Р. 8.
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 21б Теорема 8.5. Пусть Р— регулярная точка гладкой повер, ности Ь", а Охух — система координат, связанная с касатель. ной плоскостью поверхности 5 в точке Р. Тогда в некоторои окрестности точки Р поверхность Я совпадает с графиком не которой функции Дх,у). При этом ДО,О) = О, ф(0,0) = О. а дифференциал второго порядка функции ~ в точке (О, О) совца дает со второй квадратичной формой поверхности 5 в точке Р, т.е. коэффициенты Ь, и, У второй квадратичной формы в точке Р можно вычислить по формулам д2~(0, 0) д~~(0, 0) д~~(0, 0) дх2 ' дхду ' ду2 х (ио, ио) у (ио, ио) х'„(ио,ио) у'( О, о) фО, т.е. матрица Якоби функции Н оФ в точке (и0, ю0) невырождгна.
По теореме об обратной функции существуют окрестност~ 00 точки (ио, ио) б У, окрестность Цв точки Р на плоскости хОУ < Пусть поверхность 5 задана гомеоморфиэмом Ф(и, ю), (и, 1') ~ Е Г С Е2, а х = х(и, и), у = у(и, ю), г = г(и, и) — соответствующие параметрические уравнения поверхности в системе координат Охух, связанной с касательной плоскостью в точке Р, имеющей координаты ио, ив. Обозначим через Н ортогональную проекцию на координатную плоскость хОу, т.е. функция~ Н(х,у,г) = (х, у), отображающую пространство в касательную плоскость. Композиция Н 0 Ф вЂ” это непрерывная функция, отображающая множество 0 в касательную плоскость хОу поверхности 5 в точке Р.
Так как Р— регулярная точка, то векторы г„= Ф'„(и0,ю0) и ~„= Ф',(и0,о0) не коллинеарны.:Значит, г„хг„ф О. Но в выбранной системе координат Охуг векторы г„и г„параллельны координатной плоскости хОу. 1! оэтому их векторное произведение г„хг„коллинеарно оси Ох. ~ условие г„хг„ф- 0 равносильно условию 8.5, Елассификвция точек поверхности (Феч)(х,у) = у ~(х, у) где Дх,у) — некоторая непрерывная функция двух переменных.
Из этого представления вытекает, что часть поверхности Я, которая определена гомеоморфизмом Фо Ф, есть график функции Дх,у). Так как функции Ф и Ф дважды непрерывно дифференцируемые, то и функция ~ является дважды непрерывно дифференцируемой. Учитывая, что точка Р на поверхности 5 имеет координаты (О, О, 0), заключаем, что ДО,О) = О. Итак, поверхность 5 в окрестности точки Р представляет собой график некоторой функции Дх,у) и может быть задана гомеоморфизмом Ф(х,у) = (х у Дх,у)), (х, у) Е ~о.
Найдем вторую квадратичную форму поверхности. В данном случае 0 гв — — Ф„(х,у) = ! 4(х у) 1 0 Х.'(х у) ~'я — — Ф'(х,у) = г,„= Ф" (0,0) г „=Ф" (0,0) г„„=Ф" (0,0) = у.".(О,о)й, = у."„(о,о)й, = у„"„(о,о) й. (8.19) и не непрерывная функция ч' Цо -+ Уо, обратная к функции И о Ф. О метим, что в силу гладкости поверхности фунниия О о Ф д~кды непрерывно дифференцируема. Поэтому и обратная ~,ункция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой крестности точки Р. Функция Фо 1 является гомеоморфизмом как композиция вух гомеоморфизмов. Она задает в пространстве поверхность, представляющую собой часть поверхности 5, попавшую в некоторую окрестность точки Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
