V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Конус, разумеется, есть алгебран"ая поверхность второго порядка. 1 ,-сли, например, к верхней части конуса добавить его вер„ну, то эта часть по-прежнему будет поверхностью, так Фи "у' к будет являться графиком непрерывной функции Дх,у) = х2+у~, (х, у) Е Е . Но конус в целом поверхностью не явл вляется' иэ-за особенностей строения его в окрестности вер,бовы. Действительно, выберем произвольную е-окрестность точ„и (О, О, 0) и РассмотРим множество 5, С Из точек конУса, „Опадающих в выбранную е-окрестность. Предположим, что 5, „вляется поверхностью, т.е.
существует гомеоморфизм Ф: Г -+ ~Я„где множество У С Е~ открыто. Так как Я, — линей'- но связное. множество, а отображение Ф 1 непрерывно, то я множество Г, являющееся образом множества 5, при отображении Ф ', линейно связно (см. теорему 1.11). Множество 0 ~ (Ф '(0,0,0)) открыто и линейно связно, но его образ Я,~((0, О, 0)) при непрерывном отображении Ф не является линейно связным. Значит, предположение о существовании гомеоморфизма Ф неверно, множество 5, не является поверхностью, в.
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ соответствии с примером 8.1 поверхность. В рассматриваемо„ ' о~, случае говорят о поверхностпи, заданной неявно уравнен„ ем (8.2). ~ф В этой главе мы будем изучать только локальные свойств поверхности, т.е. свойства той части поверхности, которая л жит в достаточной близости от заданной точки. Это позволяе.
рассматривать поверхность по частям, представляя кажду, часть в виде образа своего гомеоморфизма. Пример 8.4. Рассмотрим прямой круговой цилиндр х'+ +у~ = В~ (рис. 8А). Этот цилиндр без прямой ж = В, у=0 можно задать параметрическими уравнениями х = Всояу, у= Вяп<р, ==~, ~р ~= (0,2т), ~ Е И. (й,.'~) Чтобы рассмотреть ту часть цилиндра, которая содержит прямую х = В, у = О, можно взять те же уравнения (8.3), изменив область изменения координат: у Е (-я', я), 1 6 Ж.
Рис. 8.4 Пример 8.5. Функция двух переменных ф: Е~-+ Вз вида т ф(и. и) = (и~ и~-и о), и, и Е Е, имеет следующие координат ные функции: х(и,и) = и, 197 8.1. Гладкая поверхность Рис. 8.5 Поверхность 5 будем называть гладкой, если она оп ределяется функцией Ф: Г С Е~ -+ Из, дважды непрерывно дифферен"ируемой на множестве Г. Например, если у(х,у) 6 С ™(Г) Г С С Ж, то уравнение г = Дх,у) определяет гладкую поверхность й4 поскольку соответствующая функция Ф(и,и) = (и, и, ~(и и)) дважды непрерывно дифференцируема в Г. данная функция не определяет поверхность в пространстве. так к как она не ЯвлЯетсЯ инъективной: пРЯмые и = 1 и „вЂ” 1 от ображаются в одну прямую х = 1, у = О в пространстве. О иако в аналитической геометрии образ этой функции рассм атривается как поверхность, а именно как цилиндрическая „верхность с направляющей х = и, у = и — и и образующими, 2 3 „араллельными оси Ок.
Исклйчая из уравнений направляющей параметр и, приходим к уравнению у = =~(~хз — ~/х). Это уравнение позволяет построить направляющую в плоскости хОу, а вместе с ней и саму поверхность (рис. 8.5). Сужая область определения функции Ф сперва на область и > — 1/2, а затем на область и < 1/2, получаем две новые функции, каждая из которых задает поверхность в пространстве, так как в указанных областях функция Ф(и,и) является инъективной, непрерывной.
причем обратная функция тоже непрерывна. Две эти поверхности имеют линию пересечения (при и =+1 и прп и = — 1) и общую часть -1/2 < и < 1/2. Образ Ф(У) при отображении Ф, показанный на рнс. 8.,"1, относят к поверхностпхм с самопересечением. 4~ 8. ГЕОМЕ7'РИЯ ПОВЕРХНОС7'ЕИ 198 Точку (хо, уо, го) гладкой поверхности 5 называют ре лярной тпочной этой поверхности, если в точке (ио, о ) = Ф ~(хо,уо,го) ранг матрицы Якоби Ф'(ио,оо) функции ф задающей эту поверхность, равен двум. В этом случае вектор, частных производных х„(ио, оо) у„,(ио, оо) -"„(ио, ио) (ио оо) у«(ио) «О) 1 г«(ио1 «О) =„'(ио, ио) т'«(ио, ио) = совпадающие со значениями частных производных Ф'„(ио, го) я Ф'„(ио,оо) функции Ф(и,о) в точке (ио, юо) и соответствующие двум столбцам матрицы Якоби Ф'(и,о) этой функции в точке (ио, ио), линейно независимы.
Регулярной поверхностью будем называть гладкую поверхность, у которой все точки регулярные. У поверхности. не являющейся регулярной, точки, в которых нарушено условие регулярности, составляют, как правило, незначительную часть. Удаляя их, мы получаем регулярную поверхность. Пример 8.6. Рассмотрим какую-либо пространственную кривую ~, заданную дважды дифференцируемой векторной функцией действительного переменного и: Ди) = (х(и) у(и) г(и)) . Найдем векторную функцию поверхности, составленной из касательных к этой кривой.
Векторное уравнение касательной к кривой г = Ди) в точке со. значением параметра ио имеет ви,л г = У(ио) + ~У (ио) где ~ — - параметр касательной. Таким образом, функция Ф(и,о) = Ди)+ о~'(и) при фиксированном и задает прямую, касательную к кривой 7 о точке ~(и). Эта функция определяет поверхность, содержащую 8.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 199 такие касательные, если, конечно, она является инъективяс „- а обратная к неи функция непрерывна. Так как ее частные яои «ро ризводн ые рави ы Фи(и,гг) = Яи) + гг~"(и), Ф'„(и, гг) = У'(и), очках гг = О, т.е. на самой кривой ~, векторы Ф'„и Ф'„коллинены. Следовательно, точки кривой являются нерегулярными для поверхности.
Если векторы ~'(и) и ~"(и) не коллинеарны, о точки поверхности при и;6 О будут регулярными. Удалив кривую г, мы получим регулярную поверхность т = Ф(и, гг) = Ди) + гг ~'(и), гг ~ О. Замечание 8.1. Одна и та же поверхность Ь может быть задана двумя гомеоморфизмами Ф: à — ~ 5 и Фг. Рг -+ Я. Отображение Н = Ф ' оф1, как композиция двух гомеоморфизмов, является гомеоморфизмом открытого множества Гг С В~ в открытое множество У С Е~. Мы имеем представление Ф1 — — Ф о Н, которое можно интерпретировать как замену исходных параметров и, о в параметрическом представлении поверхности $ или переход от одной системы координат на поверхности 5 к другой. Если функции Ф(и,гг) и Фг(и,ю) дважды непрерывно дифференцируемы, то гомеоморфизм Н = Ф ' о Фг также является дважды непрерывно дифференцируемой функцией.
В зтом случае мы будем говорить о алодкой замене коордииат. 8.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Напомним, что касательная плоскость к гаоверхносггги 5 в точке Р Е я — зто плоскость, проходящая через точку Р, "оторая содержит все касательные к кривым, проходящим 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 200 через точку Р и лежащим на поверхности Я. Нор,цал 1С поверхности Я в точке Р б 5 — это прямая, проходящая н,„, врез Р и перпендикулярная касательной плоскости.
Под кривой ~ на поверхности 5 мы понимаем т. „ подмножество 5, которое описывается уравнениями вида. х=х(1), у=у(1), г= х(1) 1Е [11 1~1 т.е. представляет собой параметрически заданную кривую. Т . как любая точка на поверхности 5 однозначно определен своими координатами и и о, кривую на поверхности можно задать уравнениями и=и(1), о=о(1), 1Е [11,1г1 (Я.4) т В этом случае ветпор-функция Д1) = (х(1) у(1) г(1)) предста вляет собой композицию двух функций: 1 = Фор, где р(1) = = (и(1) и(1)), а функция Ф задает поверхность Я. Пусть функция Ф(и,о), задающая поверхность Я, нгпрсрывно дифференцируема в точке (ио, ио), точка Р = Ф(ио,1о) является регулярной' пьочкои поверхности, а функция р(1) непрерывно дифференцируема в точке 1о, где ио —— р(1о), ио —— р(1о).
Тогда функция ~(1) дифференцируема в точке 1о, а каса~и.п.- ный вектор ~'(1о) к кривой ~ в точке Р = 1(1о), согласно правилу дифференцирования сложной функции, может быть найден по формуле П1о) = Ф'(ио оо) р'(1о), (8.')) где Ф'(ио,ио) — ма~ирица Якоби функции Ф(и,п), вычисл. нная в точке (ио, ио). Касательный вектор к кривой является напр ~- вляющим вектором касательной в этой же точке. Матричное равенство (8.5) может быть записано следуюшпм образом: (я,6) П1о) = ~г.(ио~оо)+Р1 ~(ио,оо), где а = и'(1о) 1Ф = о~(1о), г„(ио оо) = Ф'„(ио оо), г„(ио ио) = = Ф'„(ио, оо).
Мы видим, что любой касательный вектор в точи' 8.2. касательная плоскость и нормаль и поверхности 20! кривой, лежащей на поверхности .5, является линейной бинацией двух векторов т'„(ио, оо) и т„(ио, ио). Отметим. что ° р при любых а и,д вектор ат „(ио, ио) + дт«„(ио, юо) является тельным вектором в точке Р к некоторой кривой, лежащей иа поверхности Я, а именно к кривой, которая описывается „а,виения ми и=иО+О~' Ю=ОО+М 'Теорема 8.1. Касательная плоскость к поверхности 5 и ее регулярной точке Р существует.
Уравнение этой плоскости имеет вид (т' — т'о)ти(ио оо) трио ио) = 0 (8.7) где аул — смешанное произведение векторов х, у, л; т радиус-вектор произвольной точки; то — радиус-вектор точки Р; ио, оо — координаты точки Р. а~ Согласно представлению (8.6), любой касательный вектор ~'(1о) в точке Р к кривой, лежащей на поверхности Ь', ортогонален вектору п = т„хт'„. Поэтому плоскость с нормальным вектором и, проходящая через точку Р, содержит все возможные касательные, проведенные в точке Р к кривым, лежащим иа поверхности Ь'.
Векторное уравнение такой плоскости имеет вид (т — то)п = 0 и эквивалентно уравнению (8.7). ° Вектор и = т и(ио, юо) хт и(ио«ОО) называют нормальным вектором к поверхностпи в точк~ Ф(ио,ио). Замечание 8.2. Из теоремы 8.1 следует, что в регулярной точке Р векторы т„и т „образуют базис в линейном пространстве векторов, параллельных касательной плоскости к поверх- "ости Я в точке Р.
Числа а и Ц мы будем называть внутрен®а4$а координвтпами касвтпельного вектпора ат'„+ ~3г„. 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Существование нормали к поверхности 5 в данной то к,, Р б 5 напрямую связано с существованием касательной пл®,. кости в этой точке. Поэтому мы можем сказать, что дл„ поверхности 5 в любой ее регулярной точке существует нор маль. Направляющим вектором нормали является нормальный вектор касательной плоскости, т.е. вектор ьь = т„хт„. Вектор ное уравнение нормали может быть записано в виде г = ~'О+ ь(~'и хам), где гв — радиус-вектор точки Р; г — радиус-вектор произ вольной точки в пространстве. 8.3.
Первая квадратичная форма поверхности Задание ььоверхноепьи 5 с помощью го,меоморфизмп Ф: !' -ь -+ Ез, Р С Е~, и введение в связи с этим координпт пьочки на поверхности 5 позволяют описывать и решать задачи без использования пространственных координат. Ьривая на поверхности 5 может быть описана двумя уравнениями (8А) при помощи двух функций и(ь) и ьь(ь). Точка Р поверхности 5 определяется своими координатами и, ю. Рассмотрим следующие три задачи: а) вычисление длины кривой на поверхности; б) вычисление угла между двумя пересекающимися кривыми на поверхности; в) вычисление плошади некоторой обяпспьи на поверхности. Эти задачи можно решать, используя описание кривых иля области во внутренних координптах и, ьь, а также опред~леьь ную характеристику самой поверхности, заданную в каждой е" точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
