V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При таком подходе реальное положение поверхностьь " пространстве не является существенным. Рассмотрим гладкую кривую у на регулярной поверхнгн"'~ 5, заданную во внутренних координатах уравнениями (ь'' ' Предположим, что поверхность 5 определена гомеоморФьсьмо~ 203 8.3. Первая квадратичная форма поверхности ~(и 1)), (и, и) Е Г. Тогда положение кривой у в пространве характеризуется уравнением т' = ~(8), 8 Е [11, 82~, где ДР) = ф(и(й),о(8)) — композиция двух функций многих переменах, Известно [Щ, что дифференциал Из длины дуги кривой ~ в данном случае можно записать в виде 8(~) = У'И)~Й.
Согласно представлению (8.6), получаем ~в~ = ~ ~'(й) ~ ~ Й~ = ]т'„и'(8) + т',е'(й) $~ Й2 = = ()г„)~ )и(~)) +2г„г„и(1) о(~) + )г„) (е(Ц) ) Й, ~Ь~ = Ейи +2Рйидю+СйР, (8.9) где Е=т~, Е=т„т„, 0=т~. Определение 8.1. Квадратичную форму (8.9), представлякицую квадрат дифференциала длины дуги кривой на регуляр"ой поверхности Я как функцию дифференциалов внутренних координат поверхности, называют пеРвой кввдратпичной ФОРмой поверхности 5.
Коэффициенты Е, г, б при 0и~, дило и сЬ2 в формуле (8.9) (ттОЖ4ициентиы первой квадратпичной формы) зависят олько от точки поверхности, в которой рассматривается дифРенциал длины дуги, и никак не связаны с какой-либо криВОй лежащей на поверхности. Мы на самом деле имеем не ива вадРатичную форму, а семейство квадратичных форм, опре~еляе м '®е по ""емое двумя деиствительными параметрами: в каждои точ"оверхности своя квадратичная форма. где т „= ф'„(и(1),о(1)), т',, = Ф'„(и(1),о(1)).
Используя дифференциалы аи = и'(1) Й и ао = е'(1) Й функций и(т) и и(1) и свойство инвариантности формы записи дифференциала, приходим к представлению квадрата дифференциала длины дуги в виде квадратичной формы 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 204 ссх 0у = (Ф'„Ф'„) = т „йи+ т„й~.
Их Следовательно, равенства сЬ = ссу = сЬ = О означают, что т „с!и+ т„Но = О. А так как векторы т'„и т„в силу регулярности поверхности не коллинеарны, то сси = сго = О. Второе свойство верно в силу того, что длина любой кривой при движениях пространства не изменяется, следовательно, не изменяется и дифферен циал дл и н ы дуги. Пусть поверхность 5 задана гомеоморфизмом Ф: à — ~ И.'. а гомеоморфизм Н: Г1 — + Г, Г~ С В~, определяет замену координат и, и поверхности координатами иг, о~. Выясним, как изменяется первая квадратичная форма при переходе от ксн1Р- динат и, о к координатам гс1, и1.
В рассуждениях используем матричную форму записи первой квадратичной формы: ИР= (0и Нг~) где Е= т'~~, Г= т„т„, С= т'~~. Теорема 8.2. Пусть регулярная поверхность 5 задав'" т гомеоморфизмом Ф(и,и) и (гс и) = Н(и~,ог) — замена, ко<1Р динат поверхности, заданная дифференцгсруемой' фунгсцгсей П. Замечание 8.3. Из определения первой квадратичной фо мы следуют ее простейшие свойства: а) в каждой регу.тяго,0„" пгочке тговерхностпи первая квадратичная форма положитс лип определена; б) первая квадратичная форма является иивсши,ги тон относительно движений пространства.
Действительно, для доказательства первого из сформулир„ ванных свойств достаточно заметить, что квадрат диффереи. циала длины дуги кривой неотрицателен и равен нулю тольк„ тогда, когда ссх = сгу = сЬ = О. Дифференциалы переменных сня заны соотношением 205 8.3. Первая квадратичная форма поверхности ,1огда коэффициенты Е, г', С' пеРвой квадРатичной фоРмы и коо >рдинатах и, о связаны с коэффициентами Ег, Р~, Сг этой „вадратичной формы в координатах иг, ог соотношением < = (И (иг,о1)) „,, Н'(иг,ог), '1 1 (8.10) ~ В силу инвариантности формы записи дифференциала функ- ции многих переменных имеем = И'(иг, г11) Поэтому Н (иг,о1) Н (иг,ог) (Н (иг, ог)) Н'(иг, о1) = (Ыиг дггг) откуда получаем соотношение (8.10). $» Формула (8.10) преобразования матрицы первой квадра— тичной формы похожа на формулу преобразования матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису в линейном "Ространстве 117~.
Но если в формуле для линейного пространства используется матрица ггерехода, то в формуле для первой "вадратичной формы фигурирует матрица Якоби функции И. задагощей замену координат. Схожесть формул преобразования имеет более глубокий смысл, чем могло показаться на первый взгляд. Действительно, рассмотрим произвольный век- ~ОР ~ в касательной гглоскости к гговерхкостн 5 в точке У'. „де Н'(иг,ог) — мапгрица Якоби функции Н, вычисленная в точке с внутренними координатами иг, ог. 8.
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 206 Пусть в базисе г„, т, координаты вектора а равны сг и ~3. К~„ тор а можно рассматривать как касагпельный вектор в точ „ Р к некоторой кривой ~, лежашей на поверхности 5 и задан»»„„ уравнениями (8.4), т.е. можно считать, что а = и'(8с»), Ц = г>'1>»,) где и(1) и г>(~) — координатные функции кривой на поверхн„ сти 5, а ~о — значение параметра 1, соответствующее то»к Р. Переход к новым координатам и», г>1 вызывает замену ба зиса г„, г, на касательной плоскости новым базисом г„,, г„ где г„» = (ФоН)'„(и»,г>1), т„» = (ФоН)'„(иг,г>1).
В силу >гров»». ла дифференцирования сложной функции многих переменных имеем г„, = Ф (и, и) Н„, (и», г>1 ) = = Ф'„(и,г>) и'„+ф'„(и,и)о'„, = 1»а„,1„+ и'„г„. ги = ф'(и,г>)Н„',(и1,»>1) = где > l Н'„,(иг,г>1) = Н,ц (и1, г>1) = Видно, что матрицей перехода от базиса г„, г„в касательной плоскости к базису г„», г„» является матрица Якоби функции Н, вычисленная в точке (и1, г>1) г= Уг, которой на поверхности соответствует точка Р.
Проведенные рассуждения с учетом теоремы 8.2 показывают, что первую квадратичную форму в данной точке Р можно рассматривать как квадратичную форму в линейном пространстве векторов касательной плоскости к поверхности, построенной в точке Р. Нетрудно увидеть, что зта интерпретация первой квадратичной формы имеет простой геометрически1» смысл: значение квадратичной формы на векторе касательно" плоскости есть не что иное, как квадрат длины этого вектор~. 207 8,3. Перваа квадратичная форма поверхности уеорема 8.3. Если точка Р поверхности 8 является регуиой, то справедливо равенство ляр 1Г„хг„! = ~~~ — Р2, „е Я, Р, С вЂ” коэффициенты первой квадратичной формы. 4 Согласно свойствам векторного и скалярного произведений, ля любых двух векторов х и у в пространстве имеем (эху) = )х) )у)8)пу = )а/ (у) ~/1 — сов~у = где ~р — угол между векторами х и у.
Учитывая, что Е = г~, Р= т'„г„, С = г„, получаем утверждение теоремы. )» Введение первой квадратичной формы позволяет решить три задачи, сформулированные в начале параграфа. Дл и на кривой. Если кусочно гладкая кривая у, лежащая на поверхности Я, задана уравнениями (8.4), то ее длина 1., может быть вычислена по формуле (8.1 1) где Коэффициенты первой квадратичной формы Е, Р', С вычисляются в точке (и(1), о(1)) и рассматриваются как функции переменного 1. Действительно, длина 1 кусочно гладкой кривой ~, задан"ий параметрически функциями х(1), у(1), г(1), 1 б ~11, 1р~, равна щ Ь 209 8,3.
Перваа квадратичнаи форма поверкности езультате получаем формулу 1 г ,! ! совФ= 1„~И„~~ = Е"1 "г+ ~("Рг+ "г111) + ~ "Рг и которой коэффициенты первой квадратичной формы Е, Р, 6 вычисляются в точке пересечения кривых, а производные и',, 11~~ и а~г, юг — при значениях параметров кривых, соответствуя1щих точке пересечения.
Площадь поверхности. Площадь е регулярной поверхности Я, заданной отображением с областью определения Д С Жг, может быть вычислена по формуле Действительно, разобьем область 0 на части прямыми линиями и = и;, е= о~ (рис. 8.7). тогда линии г(и;,о) и ю*(и,111,) разобьют на части поверхность 5. Выделим в области У произвольный прямоугольник Ц~. На поверхности Я ему отвечает криволинейный четырехугольник Я;~, который мало отличаетея от параллелограмма я';~ со сторонами, определяемыми векто- РаМИ Г'„(и;,О~)Ьи; И Г',(и;,О~)ЬО1,.
ЭтОт ПаРаЛЛЕЛОГРаММ ЛежИт Рис. В.7 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 210 в касательной плоскости я поверхности 5 в точке (и;,о~.). Е, площадь равна ~М~Ьи~ хгрЬО/~ ~ ~Ф ц х г~р ~Ьи~ Ьий Возьмем за приближенное значение площади криволинен ного четырехугольника 5;~ площадь о;~ параллелограмма, я.„ Тогда сумма ~си = ~~~ )г„'(и;,щ)хт'„(и,,и~)(ьиьии ~ г'„х т'„~ аий~. Используя теорему 8.3, получаем отсюда нужную формулу, Итак, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности, не обращаясь к уравнению поверхности. Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, изучают в рамках внЧ- тренней геометрии поверхности (см. ниже).
Поверхности, у которых при некотором выборе систем координат первые квадратичные формы совпадают, называют изометпричными. Пример 8.7. Плоскость является частным случаем поверхности. Действительно, выберем систему координат х, Р даст нам приближенное значение площади поверхности 5. Определим площадь о поверхности 5 как предел сумм 'Г'о,~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
