V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Затем во всех отобранных точках вы ч исются значения функции и выбираются точки с наименьшим и наибольшим значением. Реализация предложенной схемы опирается на „геометрическое представление компакта К". В самом общем случае такая схема часто оказывается очень сложной и трудной в применении. В таких случаях более выгодными могут оказаться численные методы конечномерной оптимизации ~ХИ~.
Вопросы и задачи 7.1. Определите условный локальный минимум функции ~(х,р) = х2+ ху+у2 при условии х+2у= 1. 7.2. Найдите все точки условного локального экстремума. функции ~(х,у) = х+2у при условии х~+ ху+уз = 1. 7.3. Найдите прямоугольник наибольшей площади, вписанный в полукруг радиуса й так, что одна из сторон прямоугольникалежит на диаметре, а две вершины противоположной стороны лежат на окружности. 7.4. Для цилиндрического бака заданного объема $' найдите диаметр Ы и высоту Ь так, чтобы он имел минимальную площадь поверхности.
7.5. Докажите, что центр симметрии (а, 6) произвольной лгебраической кривой второго порядка ~(х, у) = О удовлетворяет условиям 1'(а,6) = О, ~„'(а,6) = О. У к аз а н и е: докажите, что точка (а, 6) является стацио"арной точкой функции ~(х,у). 7. УСЛОВНЫИ Э!йСТРЕМУМ !90 7.В.
Докажите неравенство средних х! + х2+ ° - ° + хп ) ф~~~*~...~„, х; ) О, г = 1, п, п в котором равенство достигается только при х1 — —... — — х„— 0 У к а з а н и е: исследуйте функцию Дх!, х~,...,хл) = х1х2 ° ° ° хв на условный экстремум при условии х~+х2+...+х„= сп. 7.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функция дх, у) = (х — а)з — Зх+ у2 на множестве, заданном неравенствами 4х2+у~ < 16, у < 4, если: а) а=-2; б) а =0; в) а=7/3. 7.12. В условиях задачи 7.11 выясните, при каких значениях параметра а наибольшее (наименьшее) значение функция достигается: а) во внутренней точке множества; б) на границе множества; в) в угловой точке границы множества. 7.13. Решите следующие задачи на экстремум: х + у + 2г -+ ех~г, х2+у2 = 2х, х2+ у~+ г~ = 4; х+ 2у+ х -+ ех1г, б) 2+ 2 2 а) 7.7.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функция ~(х,у) = ху~ в круге х2+ у~ < 1. 7.8. Найдите экстремум функции ~(х, у, х) = х~ + у~ + „-~ при условии хя/а2+у~/62+ х2/ся = 1 в случае: а) а > 6 > с; б) а>6=с. 7.9. При каких значениях а, 6, с (ая+6 +гя ф. 0) функпня Дх, у, г) = ху+ г2 имеет точки условного локального минимума (максимума) при ограничении ах+6у+сх= 1? 7.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Дх,у) = х~+2ху — 2у2 — 4х+ 2у в прямоугольнике 0 < х < 2. 0<у<2.
8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕИ Одним из приложений теории функций двух переменных ляется геометрия поверхностей в пространстве. Каждую поверхность локально, в окрестностпи фиксированной тночки. можно рассматривать как график функции двух переменных, но такая интерпретация оказывается неудобной из-эа сложности и бессистемности получающихся формул. Более продуктивен групповой подход, впервые четко сформулированный ~.Ф. Клейном". Главную роль в этом подходе играют группы преобразований пространства, сохраняющие исследуемые свойства объектов. Если некоторое свойство объекта сохраняется при преобразованиях из данной группы преобразований, то это свойство называют инвариантпным, или инвариантпом.
Именно инвариантные свойства используют для описания исследуемых объектов. При этом стараются выделить такой минимальный набор инвариантных свойств. который определяет объект однозначно. В случае поверхностей в пространстве такую группу преобразований образуют движения простпранстпва, т.е. та; ко его преобразования, при которых сохраняются расстояния между точками.
Можно показать, что любое движение пространства — это либо поворот, либо преобразование симметРии относительно плоскости, либо параллельный перенос, либо "омпозиция указанных преобразований". Таким образом, мы "е Различаем поверхность 5 и поверхность 51, полученную из 8 поворотом, симметрией или параллельным переносом. для описания свойств поверхности вводят две квадратичные формы 1 и Ч, инвариантные относительно движений про- ~ Ф. Клейн (1849-1925) — выдающийся немецкий ученый, внесший артельный вклад в развитие современной математики.
° ~ См„например: Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 192 8.1. Гладкая поверхность Термин „поверхность" широко используют в математик< я технических науках и при этом ему придают различное толкование. Из курса аналитической геометрии [111~ известны алгебраические иоверхностпи, в частности, такие поверхности второго порядка, как эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды цилиндры второго порядка. К поверхностям часто относят плоскости, а также графики функций двух переменных.
В некоторых случаях слово „поверхность" используют в ином смысле, почти как синоним слова „множество" (например, в рамках термина поверхность уровня функции). Эти расхожде ния в трактовке термина „поверхность" отражают, с одно» стороны, сложившиеся традиции в математике, а с другой гто роны, особенности методов исследования в различных разделах математики, В дифференциальной геометрии термину ..и'" верхность" дают свое толкование.
странства. Эти формы однозначно определяют поверхност, т.е. две поверхности, имеющие одинаковые формы 1 и Я, п~,„ образуются одна в другую движением пространства. Квадратичные формы 1 и ц меняются при переходе от точ ки к точке. Для их записи, так же как и других объектов на поверхности вводят координаты.
Под координатами н„. поверхности понимают любое правило, которое каждой точ ке поверхности ставит в соответствие пару чисел, называемых координатами этой точки. Квадратичные формы ! и ц' име. ют по три коэффициента и, следовательно, в совокупности определяются шестью функциями указанных координат..')то позволяет для изучения поверхности использовать свойства функций двух переменных. Математическая дисциплина, в ко торой геометрические объекты изучают с помощью методов дифференциального исчисления, названа дифференциальной геометрией. Геометрия поверхностей — это один из разделов дифференциальной геометрии.
8.1. Гладкая поверхность фиксируем в пространстве прямоугольную систему координат т махух с ортонормированным базисом г, у, Й и прямоугольиу~ „„, систему координат Опч на некоторой плоскости. Выбран„,е системы координат позволяют сопоставить каждой точке е координаты и интерпретировать пространство как Жз, а плоскость — как И'.
2 Если функция многих переменных ~: А С К'" — ~ И"' являетя иньекцией, то на множестве В = ~(А) определено обратное ,тображение ~ ~:  — ~ А, представляющее собой функцию многих переменных. Если обе функции ~ и ~ 1 непрерывны в своих областях определения (т.е. на множествах А и В соответственно), то функцию ~ называют еомеоморфмзмом. Пусть Р С Ж~ — открытое множество на плоскости, Ф: Г -+ ьКз — некоторый гомеоморфизм. Будем говорить, что этот гомеоморфиэм задает в пространстве поверхность 5 = Ф(Г) (рис. 8.1). Рис.
8.1 Каждая точка Р Е 5 является образом только одной точки Мр б О. Координаты и, о точки Мр = Ф '(Р) в системе "оординат Опч будем называть координатпами тпочки Р на поверхностпи 5 или внутпренними координатпами тпочки Р,Е ° Если х, у, я — координаты точки Р, то х = х(и,и), у = у(и,и), х = г(и,и), (и, и) ~= Г, (8.1) "де х(и,и), у(и,и), я(и,и) являются координатными функциями 'Ьикции Ф: à — ~ Е~. Уравнения (8.1) называют параметри~~скими уравнениями поверхностпи 5. Поверхность 5 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 194 можно также задать вектпорным уравненнем г = Ф(и, ц) е„ ли значение функции Ф в точке (и, о) интерпретировать к „ радиус-вектор точки Р(х; у; з). х=и, у=и, х=Ди,о), (и, о)б0.
Пример 8.2. Конус х~+ у~ = х~ (рис. 8.3) без своей вершины (О, О, 0) распадается на верхнюю (х > О) и нижнюю (х < 0) части. Верхняя часть описывается параметрическими уравнениями х = и, р = о, л = ~/и2 + о2, (и, 'о) Е Е~ ~ ((О, О)), а нижняя — параметрическими уравнения ми Рис. 8.3 П ример 8.1. Каждой непрерывной функции двух пере менных Дх,у), область определения которой есть откры1о„ множество О, соответствует векторная функция трех перемеа. ных Ф(х,у) = (х у ~(х,у)), определенная в О.
Эта функца„ непрерывна, так как непрерывны ее координатные функции Образ этого отображения есть поверхность Е 5 (рис. 8.2), являющаяся графихо.и функцаа 8 . " ~(х,у). Действительно, в данном случае ю множество Г совпадает с областью опреде. ления В функции Ф, а обратное отображе ние Ф ': 5-+,0 есть ортогональная проекция графика функции на плоскость а =0 я Рис. 8.2 поэтому тоже непрерывно.
При этом координатами на 5 являются две координаты х и у из трех пространственных координат. Параметрические уравнения поверхности 5 в данном случае имеют вид 8.1. Гладкая поверхность Пример 8.3. Предположим, что С С Вз — обласи~ь, а скалярная функция многих переменных Н: С -+ Ж непрерывно дифФаренцируема, причем Н(хО,УО,хО) =О. Если игадН(хО,УО,гО) ф- ЮО, то по крайней мере одна из частных производных Н', ОФ р ф) Н, 'в точке (хО, уО, ло) отлична от нуля.
Пусть, например, И! "х(хо Уо хо) ~ О. Тогда уравнение И(х,у,г) =О, (8.2) Огласно теоРеме 4.'2, в окРестности точки (хо, Уо, хо) РазРешиМо. О относительно переменного г, т.е. эквивалентно уравнению ф-и Лх1у). Множество решений этого уравнения в окрестности о Уо хО) представляет собой график функции Дх,у), или в Э рамк ~Не раз напомним о специальной трактовке термина „поверхность" в х дифференциальной геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
