V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 21
Текст из файла (страница 21)
5А. Еасатсльная и нормаль кривой на ало<ногти Пример 5.7. Найдем уравнения касательной и нормали к ллипсу х2/3+у~/6 = 1 в точке М(1;2). Легко убедиться, что в данной задаче при выборе функции ~(х, у) = хЯ/3+ у~/6 — 1 достаточные условия 1' — 4' существования касательной и нормали выполнены. Для построения уравнений касательной и нормали вычислим частные производные первого порядка функции ~(х,у): Д(х,у) =2х/3, ~„'(х,у) = у/3. Их значения в точке М(1; 2) равны ~'„'(1,2) = —.
2 3* 3айисываем уравнение касательной 2 2 -(х — 1)+-(у-2) =О, 3 3 х+у-3=0, и нормали х — 1 у — 2 2/3 2/3 ' х — у+1=0. .Пример 5.8. Найдем точки, в которых касательная к кРиаой уз — Зху+ хз = 3 параллельна оси Оу. Нормальным вектором касательной рассматриваемой кривой в произвольной точке (х, у) является вектор (д, ~„') = = (-Зу+ Зх~, Зуя — Зх). !касательная кривой параллельна оси у если ее нормальный вектор параллелен оси Ох, т.е.
коллииеа т еарен вектору (1 О) . Записывая условие коллинеарности двух ве"торов на плоскости, получаем уравнение — 3 +Зл 1 0 156 б. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ которое равносильно уравнению Зу~ — Зх = О. Таким образом координаты точки кривой, в которой касательная параллельн;, оси Оу, подчиняются уравнению х — у~ =О. Так как координн ты точек кривой удовлетворяют также уравнению этой кривой получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: х — у =О, г у — Зху+х' =3. з з Не составляет труда найти два решения этой системы: х1 — 1 ус — — — 1 и х~ — — ч9, у2 — — уЗ.
Так как в этих точках градиент функции не обращается в нуль, обе точки -- искомые. Вопросы и задачи 5.1. Докажите, что формула (5.2) неверна в точке (О; 0) для функции х +у фО У(х у)— О, х =у=О. 5.2. Существуют ли касательная плоскость и нормаль к конусу х2+ у~ = г~: а) в начале системы координат; б) в точкс (3;4;5); в) в точке (1;2;1)? 5.3. Найти уравнение той касательной плоскости к эллинтнческому параболоиду г = х~/2+ у~, которая перпендикулярн~ радиус-вектору точки (1; 1; — 3). 5.4.
Найти точки, в которых градиенты функций двух нс'- ременных г = х2+ у~ и г = ху коллинеарны (перпендикулярны). Что можно сказать об относительном расположении линий уровня этих функций в найденных точках? 5.5. Выясните, дифференцируема ли в точке М = (О. 01 задан ная фун к ция: а) Ях, у) = '+ д' ' +у —, х+у ~0, О, х=у=О; Вопросы и задачи 6) ~(х,У) = ~/х~+д2; в) Йх,у)= 'Я+У. До каждому ли направлению существует производная заданной функции В точке М? Если существует производная функции в точке М по направлению вектора М~, где Х = — (1, 1), найдите ее. 5.6. По каждому ли направлению существует производная ~функции и(х,у,г) = хз+ Зхг+ уз — гз в точке М = (О, 1, 2)'? Если да, найдите ее наибольшее значение в указанной точке.
5.7. Для функции и(х,у, з) = агсф —" в точке М = (О, 1, — 1) У найдите производную по направлению, образующему с осями координат равные тупые углы. 5.8. Найдите наибольшую скорость убывания и направление наибольшего убывания функции и(х,у,г) =ж~г+2ху — Зу2яя в точке (1, О, — 1). 5.9. Найдите точки поверхности ху — лх+ гу — у =О, в котоя рых касательная плоскость поверхности параллельна плоскости хОк, и составьте уравнения таких касательных плоскостей. 5.10. Найдите углы, которые нормаль поверхности г = хЯ в точке (1, -1, 1) образует с осями координат.
.5.11. Покажите что эллипс 4х~ + (у — 2) я + т' = 5 и гиперболоид хя — уз+ гя = 3 в точке (О, 1, 2) касаются друг друга, те. обе поверхности проходят через зту точку и имеют в ней Общую касательную плоскость. 6. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 6.1. Необходимое условие экстремума Определение 6.1. Говорят, что скалярная функция,иногт. переменных ~: Е" -~ Е, определенная в некоторой окрестноспт тпочки а Е И", имеет в этой точке локальный максимум (минимум), если существует такая проколотпая окрестносгиь о о Г(а,е) точки а, что для любой точки х Е Ца,~) выполнено неравенство Дх) < Да), (~(х) > ~(а)). Понятия локального минимума и локального максимума функции объединяют пол общим названием экстпремум функции. Если неравенства в определении 6.1 являются строгими, то говорят о строгом экстпремуме функции.
Теорема 6.1 (необходимое условие экстиремума функции). Пусть скалярная функция ~: Е"-+В имеет в точке а Е В" экстремум. Если функция Дх) (х = (х~, ..., х„)) имеет в точке а частную производную первого порядка по переменному;т,. 1< г < и, то эта частная производная равна нулю: Д (а) = О. ~ Пусть а = (а1, ..., а„). Рассмотрим действительную функцию д(1) = Да1,...,а; 1,1,а;+1,...,а„) одного действительного переменного 1, которая получается если у функции /(х) зафиксированы все переменные, кроме г-го. равного 1. Функция д(й) в точке й = а, имеет лона.нный экстпреиум. В самом деле, пусть, например, ~(х) имее'г в точке а локальный максимум. Тогда существует такая проо колотая окрестность 11(а,е) = (х Е В": О < ~х — а~ < е) точки а.
о что ~(х) < Да) при х Е (.1(а,е). Но в таком случае д(т) < д(а 1 6.1. Необходимое условие экстремума при О ( ~~ — а;~ < е, что соответствует определению локального максимума функции одного переменного [11]. функция д(1) дифференцируема в точке 1 = а,, так как функция ~(х) имеет в точке а частную производную по переменному ~;. При этом д'(а;) = Д (а). Согласно необходимому условию локального экстремума для функции действительного переменного 11!], выполнено равенство д'(а;) = О. Следовательно, Д.(а) =О.
Эв Следствие 6.1. Пусть скалярная функция ~: Е" -~ Е имеет в точке а Е Ж" экстремум. Тогда: — если в точке а определен градиенпь функции ~(х), то он равен нулю: угад~(а) = О; — если функция дифференцируема в точке а, то 4'(а) = О. ~ Утверждения следствия сводятся к следующему: если в точке а экстремума функция ~(х) имеет все частные производные, то зти частные производные равны нулю. Действительно, градиент — зто вектор, координатами которого являются значения частных производных функции первого порядка в данной точке, а коэффициентами дифференциала первого порядка являются те же значения частных производных. ~ Из теоремы 6.1 вытекает, что точки экстремума скалярной функции Дх) надо искать либо среди точек, в которых ФМУ(х) = О (т.е.
среди стационарных точек функции). либо среди точек, в которых градиент не определен (не существует одна или несколько частных производных). Все точки в которых градиент функции равен нулю или не определен, называют точками, подозрительными на экстремум, или крин~ическими тпочками функции. Пример 6.1.
Функция двух переменных ~(х,у) = е + Ь+ 2) — 1 дифференци руема на всей плоскости. Значит, н сост 'ответствии с необходимым условием экстремума (см. также сяе с дствие 6.1) точки экстремума этой функции надо искать сРеяи 4и ее стационарных точек. Найдем частные производные 160 б. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ функции и приравняем их нулю: Д =2хе' =О, ~'„'=2(у+2) =О.
Мы получили систему двух уравнений относительно неиз вестных х и у. Единственным решением этой системы уран нений является х = О, у = -2. Поэтому функция Дх,у) может иметь экстремум только в точке (О, — 2). Необходимое условие экстремума функции не позволяет определить, действительно ли в точке (О, — 2) функция Дх,р) имеет экстремум. Оно лишь выделяет относительно небольшо~ количество точек, в которых экстремум может быть.
Дальнеи шее исследование на экстремум предполагает анализ каждой критической точки. В данном случае нетрудно увидеть, что в точке (О, — 2) функция Дх,у) имеет локальный минимум, так .2 как слагаемое е* имеет наименьшее значение при х = О, а слагаемое (у+2)~ — при у= -2. Пример 6.2. Покажем, что у функции д(х,у) = х~ — у~ нет экстремумов (в этом, кстати, можно убедиться, изобразив в прямоугольной системе координат в пространстве график этой функции). Функция д(х,у) дифференцируема на всей плоскости. Поэтому ее точки экстремума могут быть лишь среди стационарных точек. Вычислим частные производные функции и запишем систему уравнений, приравняв частные производные нулю: д' =2х=О, д„'=-2у=О. Эта система имеет единственное решение х = О, у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
