V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 17
Текст из файла (страница 17)
н точке х = 1 неявно заданная функция !! = фх) может име'< ) ° экстремум. Поэтому продолжим исследование поведения зт >)) 4.!. (.'лучай уравнения г двумя нензвеетнимн функции в окрестности точки х = 1. Найдем вторую произ„одную неявной функции у = у(х), дифференцируя ее первую производную как сложную функцию: — е" +1 +еву' — 1+— где у = 'Р(х) у = д'(х). В точке х = 1 находим <рн(1) = 0,5 > О. (",ледовательпо, неявно заданная функция у = у(х) в точке х = 1 имеет минимум, а ее график в окрестности точки (1, 0) является выпуклым вниз (рис.
4.3). Рис. 4.3 Итак, не имея явного выражения для функции у(х), мы смогли ее исследовать в окрестности точки х = 1. Отметим. что функция ~(х,д) = е" + у — х+1пх при фиксированном х монотонно возрастает как функция переменного у на всей числовой оси. При этом Дх,у) -++ос при у -++со и ~(х,у) -+ — оо при у -+ — оо. Значит, уравнение Дх,р) при любом х > 0 относительно у имеет решение, и притом единственное. Таким образом, рассматриваемое уравнение неявно задает переменно~ У как функцию переменного х при х > 0 и в данном конкретЮом случае н качестве прямоугольника Р можно взять любой "Рямоугольник в правой полуплоскости х > 0 со сторонами.
параллельными осям координат, нижние вершины которого Расположены в нижней полуплоскоети, а в верхних вершинах Функция ~ имеет положительные значения. Из найденного ныРаЖения для производной определяем, что неявная функция убывает при О с х < 1 и возрастает при х > !. 124 4. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 4.2.
Общий случай Теорему 4.1 несложно обобщить на глучай одного уравнения г и+ 1 неизвегтными. Теорема 4.2. Пусть в оь7эгггпн»эгтн У пючки (п, Ь), и Е Е", Ь Е В, задана функция ~(х,у) от и+ 1 переменных (х Е И'. у Е Е), удовлетворяющая условиям: а) 7(п,Ь) =О; б) фянецнл,7 (х,»7) Р»гэцэ67эыВно дчиффе7эгнци7э»7гмп в !'; в) /'„'(а,Ь) уЕ О. Тогда точка (а, Ь) имеет окрестность вида ((х 77) ЕК~+: х ЕГ(п 6~) ~77 — Ц < 6~~, где Г(п,о ) — о -окрестногть точки л Е Й", в которой у1эанн»- ние Дх,у) = О разрешимо относительно у, т.е. в Г(а,»э,.) опр»- делена скалярная функция <р(х), удовлетворяющая т»эждегтм 7(х,у(х)) = О.
При этом функция д(х) непрерывно дифферепцируема в !.Цп,о ), а ее мптунцп Якоби может быть вычигл» и» по формуле (4.2), в которой под Д(х, у) следует понимать матрицу Якоби функции 7" (х,у) эво части иеременмых х, т.». матрицу Якоби этой функции при фиксированном переменном у, рассматриваемой как функция векторного аргумента х. 4 Доказательство сформулированпогсэ утверждения повторяет доказательства теоремы 4.1 г единггвенпым уточнением: «место частной производной по переменному х и теореме 4.! и»- пользуется матрица, Якоби функции 7 по части переменных х. При этом в доказательстве вгтречаетгя деление ма г1эицы Як»- би на ненулевое дейгтвительное чигло (чагтнукэ произнодпук но переменному у), под которым следует понимать умпоженп< матрицы на обратное число. ~ Опираясь на этот более общий вариант теоремы 4.1, можн доказать теорему о неявной функции для сигтсмы уранн» нпй, игпользуя метод математической индукции.
4.2. ОГьигий случай Д(хг,...,х„,рг,...,р„,) =О, ,г н1 (х 1 1 ° ° ° ~ хг1 уг ~ ° ° ° ~ рю ) — О. Поставим вопрос: при каких условиях зта система разрешима относительно переменных уг, ..., у„, в окрестности данной точки (а, гэ) Е К"+'"'? В формулировке и доказательстве через д1'(х,у) г сЩх,у) Р(х,у) =, 'У и Г(х,у) = . '" будем обозначатьсоответственно матрицы Якоби функции Г по части переменных х и по части переменных у, т.е. дЬ(»,у) дЛ(»,у) дЬ(». У) дх~ дЬ(х,у) дх2 Н2(»1У) дх„ дЬ(», у) 1'. (х,у) = дхг дх2 д»п дЬ (",у) д1 (х.у) дхг дх2 Юп~(»; У) д»„ дЬ (х, у) д~г (х, у) дД (х, у) ду1 дЬ(х,у) ду2 дЬ(х, у) дуэи дЬ(х у) ~„'(х.у) = ду, дУ (»,у) дУ.
(х,у) ду1 дур д ~~в(х у) Отметим, что матрица Р'„'(х,у) является квадратной порядка гп а матрица Якоби Г(х,у) по всей совокупног ти переменная ~оэкет быть записана. как блочная матрица (У" (х,р) Г„'(х,у)). пусть /': К™+м -+ К"' — векторггая фунчсг(ия т.+и перемени„,к Запишем зту функцикэ в виде Р'(х,у), где х г= К" обозна; „„.т группу из и переменных (х = (хг, ..., х„)), а у Е К"' бэппу из оставшихся т неразменных (у= (гуг, ..., у„,)). Тогда гр. т ~я функции Г(х,у) = (~г(х,у) ...
~„,(х,у)) векторное уравнение Р'(х,у) = О равносильно системе уравнений. г Оби,ю„у а нулевой элемент. Не теряя общности, можем считать, что это последнии элемент строки, т.е. — (а,6) ф О. Тогда уравнение м д~т у„,(х,у„у ) = О, где у. = (у~, ..., у„, ~), в некоторой окрестности Г.(а,Ь) точки (а, 6) вида Ща,Ь) = ((х,у, у ) 6 Е + !х 4 с ~1~ !уа Ь~! ~ ~2 ~угп Ьтв! С ~3~ Ь=(Ь.з Ьчп) =(бааз ° ° ° ~ Ьпъ-1з Ьп)з согласно теореме 4.2, разрешимо относительно переменного у„, и может быть представлено в виде у„, = ~(х,у,), где функция ф(х, у,) непрерывно дифференцируема в окрестности Г,(а, Ь.) точки (а,Ь,).
С помощью этой функции можно исключить из системы г'(х,у) =О неизвестное у„, и перейти к эквивалентной системе Е. (х, у.) = О, где функция Г. (х,у.) имеет координатные функции (~.);(х, у ) = Цх, у., ~~(х, у,)), ~ = 1, т — 1. Эти функции являются непрерывно дифференцируемыми н окрестности точки (а, 6,) Е Е"+'" ', и для системы уравнений ~' (х,у ) = О выполняются условия теоремы. С'огласно предподожению математической индукции, система К(х,у,) = О Разрешима относительно переменных у. в окрестности точки (и, 6 ) и может быть представлена в виде у. = Ф (х).
Но тогда система ~"вивалентна системе Г(х,у) = О. Другими словами, система п~ уравнений Г(х,у) = О разрешима относительно переменных у " в некоторой окрестности точки (а, Ь) может быть представлена в виде у = р(х), где функция р(х) = (4~.(х) 6(х,4.(х))) иеп е"Рерывно дифференцируема в окрестности точки а 6 Е". 1. НЕНИ11 ЫЕ ФЛ11~1111И Так как функция р(х) дифференцируема в окрестности точки а, функция Е(х,у) дифференцируема в окрестности точки (а, Ь), то сложная функция О(х) = 1'(х, р(х)) дифференцируем;1 в некоторой окрестности точки а.
С'огласно правилу дифференцирования сложной функции, С~(х) = (г'(х,11) + Г, (х, у) р'(х)) ю=:~(~) Но в то же время в силу выбора функции д(х) имеем 0(х) = О в некоторой окрестности точки а. Значит, в;этой окрестности точки а. Отметим, что матрица Якоби Р",,(а,Ь) невырожденная. По:этому матрица Р'„'(х,у) являет< я невырожденной в некоторой окрестности Г(а,Ь) = ((х, у): ~х — а~ < ~, ~у — Ь~ < я) точки (а, Ь). 1исло .1 можно взять настолько малым, что при 1.т — а~ < е~ будет выполняться соотношение ~д(х) — Ь~ <:- .
В этом случае матрица Г„'(.г,р(х)) при ~х — а~ < ~ являет~и невырожденной, и мы приходим к формуле ~'(х) = — (~'„'(х,Фх))Г 1",(х,д(х)), равносильной (4А). ~ Теоремы 4.1-4.3 содержат три условия, которые являют~ я достаточными для локального существования неявной функции и ее дифференцируемости. В случае нарушения хотя бы одпо— го из этих условий применение указанных теорем невозможно и следует искать другие подходы к выявлению разрешимости системы нелинейных уравнений. Покажем на примерах, что при нарушении условий теоремы о неявной функции ее утверждение в одних случаях верно, а в других нет.
4.2. Общий случай Пример 4.7. а. Рассмотрим уравнение у21з — х = О. Оно азрешимо относительно переменного х и определяет функцию — у2~з (рис. 4.4)..Ясно, что в окрегтно- У сти точки (О, 0) рассматриваемое уравн ние не разрешимо отногительно переменного у, так как любому значению х ) 0 соответствуют два противоположных по знаку О х значения у, в то время как при х < 0 уравнение вообще не имеет решений. Такая ситуация указывает на нарушение условий теоремы 4.!. Действительно, в точке (О, 0) выполнено первое условие теоремы, но на- Рис. 4.4 рушены второе и третье условия, так как в точке (О, 0) не определена частная производная функции ~(х,у) =у2~з — х по переменному у. б.
Уравнение уя — хз = О, как нетрудно увидеть, эквивалентноо предыдущему уравнению у2/з — х = О, но ему соответствует функция Г(х,у) = хз — у2, непрерывно дифференцируемая на осей плоскогти. Новое уравнение по-прежнему не разрешимо в окрестности точки (О, 0) относительно переменного у (так как оно эквивалентно прежнему). Теорема 4.! не применима. и единственной причиной этого в данном случае являетгя нарушение третьего условия теоремы.
Отметим, что в других точках в В2, удовлетворяющих уравнению у2~з — х = 0 (или 2 Э у — х~ = 0), условия теоремы 4.! выполнены, а уравнение н области х > 0 задает неявную функцию у = хз12 для точек ныпн оси абсцисс и у = — хз12 для точек ниже оги абгцигс. Пример 4.8. Уравнению (у — х)2 = 0 соответствует функ""я Е'(х,у) = (у — х)2, непрерывно дифференцируемая вгюду и ®2 и о точке (О, 0) выполнены первое и второе условия теоремы 4.1 '! однако третье условие нарушено, так как Р (х, у) = 2(у — х) «р~( у ~я(0 0) = О. Тем не менее уравнение разрешимо отногитель«о и переменного у и задает функцию у = х, определенную и «еп "Рерывно дифференцируемую всюду в К.
В данном случае 4. 11ЕЯВНЫЕ ФУ11Е11ИИ утверждение теоремы (в части существования неявной функ- ции) верно, хотя применение зтой теоремы невозможно из-за нарушения ее условий. Пример 4.9. Рассмотрим систему уравнений »»~-2хи+у~ =1, и — 2ри+х =0 (4.5) в окрестности точки (.г. у, и, и) = (О, !. О. 0). Векторная функ- ция и — 2х«+ 9 — 1 г .. г 1 (х,р,и,«) = и~ — 2уи+ х~ является дифференцируемой в И" и удовлетворяет условиь т Ц0,1,0,0) = (О 0) .
Вычислим ее матрицу Якоби: -2«2у 2и -2х »' (х,у, и,и) = 2ю -2и — 2у 2г. В точке (О, 1, О, 0) значение матрицы Якоби равно Г'(0,,0,0) = 0 0 -2 0 Видно, что матрица Якоби Р(0,1,0,0) имеет единственный и»- нулевой минор второго порядка, соответствующий переменным уии: 2 0 ~(я ц)(011,010) = Следовательно, согласно теореме 4.3, в окрестности рассматриваемой точки систему уравнений (4Л) можно разрешить относительно переменных у и и, т.е. система определяет в окре»'тности точки х = О, и = 0 функции у = у(х, и), и = и(х„о), для 4.2. Общий случай т которых Г(х,у(х,о),и(х,о),о) = (О 0) .
Эти функции, согласно теореме 4Л, дифференцируемы, но можно показать, что на с~мом деле они дважды непрерывно дифференцируемы. Найдем первый и второй дифференциалы функций у(х,о) и и(х,о) в точке (О, 0). Дифференцируя уравнения системы, после сокращения на 2 находим иНи — хй~ — ойх+ уйу = О, ойдо — уЫи — ийу+ тих = О. (4.6) Полученная система двух уравнений является линейной относительно дифференциалов переменных х, у, и, о. В точке (О, 1, О, 0) она приобретает особенно простой вид Ну=О, Ни=О. Таким образом, функции у(х,о) и и(х,о) имеют нулевой дифференциал при х = о = О.
Еще раз дифференцируем систему (4.6), учитывая, что дх и до — это дифференциалы независимых переменных, а Ыу и Ни — это дифференциалы неявно заданных функций. В Результате получаем с~и2+ и ди — Йхс1о — ~ойх + Оу2+ у Й2у = О, 2 2 2 2 (4 7) й,' — дуй~ — уЫ и — о',ио',у — ий у+ с1х = О. В точке (О, 1, О, 0) имеем ди = ду = О. Поэтому система (4.7) в этой точке принимает вид — 2ЫхИо+ И~у = О, Й~ — Н и+дх =О. результате получаем вторые дифференциалы функций у(х, о) " и(х,о) в точке (О, 0): Уу= Мха, О~и = йх~+ йР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
