V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Но последнее равен- ство при Ьу = Ьх принимает вид 2.$. Достаточное условие дифференцируемости 2.5. Достаточное условие дифференцируемости В случае действительных функций одного действительно„о переменного дифференцируемость функции в точке эквилентна существованию в этой точке конечной производной функции ~1Ц. Однако уже для функций двух переменных суп~ествование частных производных в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке (см. пример 2.3). Су,цествование частных производных является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости.
Чтобы при наличии частных производных гарантировать дифференцируемость функции многих переменных, нужны дополнительные условия. Теорема 2.б. Если скалярная функция ~: $Г -+ Е в некоторой окрестности точки а определена и имеет частные производные по всем переменным, причем все производные непрерывны в самой точке а, то функция ~ дифференцируема в точке а. ~ Упрощая выкладки, докажем утверждение теоремы для частного случая функции двух независимых переменных, т.е.
при и= 2. В общем случае доказательство аналогично. Пустьзаданаточкаа=(х, у) ЕЕ~. Согласноусловиютеоремы, можно выбрать такое число Б > О, что функция ~(х, у) будет иметь частные производные в любой точке (х+Ьх, у+Ьу) при ~Ьх~ < 6 и ~Ьу~ < 8. Лолное приращение функции Дх,у) удобно представить как сумму двух слагаемых: ЬУ(х,у) = Дх+ Ьх, у+ Ьу) — ~(х,у) = = (~(х+ Ьх,у+ Ьу) — Дх,у+ Ьу)) + + (~(х, у+ Ьу) — ~(х, у) ) = Ь |(х, у+ Ьу) + Ь„Дх, у). ~аждое из этих слагаемых есть частное приращение функции, кото оторое можно интерпретировать как приращение функции од- 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ ного переменного.
Например, Ь ~(х,у+ Ьу) есть приращение функции м(~) = У(~,у+ ~е) в точке 1 = х, соответствующее приращению Ьх независимог~> переменного 1, так как Ь ~(х, у+ Ьу) = ~(х+ Ьх, у+ Ьу) — Дх, у+ Ьу) = = <р(х+ Ьх) — у(х). Функция д(1) на интервале (х — о, х+о) непрерывна и дифф~- ренцируема, поскольку при 1 Е (х — о, х+ о) точка (1, у+ Ьу) удовлетворяет условиям ~1 — х~ ( о, ~Ьу~ ( о и существует производная ~р'(1) = Д(1,у+ Ьу). На отрезке 1х,х+ Ьх) (или 1х+ Ьх, х) в случае Ьх ( О! функция ф1) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа 1! !~.
Следовательно, существует такое число д1 Е (О, 1), что у(х+ Ьх) — фх) = д'(х+ д1Ьх)Ьх, или с учетом конкретного вида функции д(1) Ь,.Дх,у+ Ьу) = ~р'(х+ д~Ьх)Ьх = Д(х+ д1Лх,у+ Ьу)Ьх. Аналогично (с помощью функции Ф(8) = ~(х,~)) можно пока- зать, что существует такое число д~ Е (О, 1), для которого Ь„Дх,у) = ~'„'(х,у+ дяЬу)Ьу. Значит, Ь|(х,у) = У (х+ д1Лх у+ Ьу)Ьх+ У (х,у+ д2Ьу)Ьу. Применяя в окрестности точки а к функциям Д и ~„' теорию 1.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, а такл ~' учитывая, что частные производные являются неарерывныл~~~ функциями в точке а, заключаем, что Ях+д1 Ьх,у+ Ьу) = Д(х,у)+ А ~„'(х, у+д~й у) = ~'„'(х,у)+- 2.5. Достаточное условие дифференцируемости Х5 ,,де ф = Ф(Ьх, Ьу) и у = у(Ьу) — бесконечно иаяые Функции „и (Ьх, Ьу) -+ (О, 0). Следовательно, 5~(х,у) = (Д(х,у) +!3))йх+ (~„'(х,у)+ у)Ьу = = Д(х,у)Ьх+ ~„'(х,у)Ьу+ ~3Ьх+ уеду.
(2.12) Обозначим !(Ьх, Ьу)! = через р. Тогда МЬ +~~у! !~х! !М <И вЂ” +Ь! — <И+И- О Р Р Р ЬДх, у) = ~'(х,у)Ьх+ ~„'(х,у)Ьу+ ор, где а-+ О при р — э О. Поэтому, согласно определению 2.2, функция ~ дифференцируема в точке (х, у). я Следствие 2.5. Если вектворная функция ~ имеет.матрицу Яко6и всюду в некоторой окрестности точки а, причем нсе элементы матрицы Якоби непрерывны и самой точке а, то эта, Функция дифференцируема в точке а. 4 Из условий следствия заключаем, что каждая координитнпя функция Д векторной функции ~ имеет в окрестности точки и все частные производные, непрерывные в точке а.:.Значит, нл Функции Д дифференцируемы в точке а. Согласно теореме 2.2, векторная функция ~ дифференцируема в точке а. ф Лля произвольной области Х С В" через С'(Х) обозначают "ножество всех скалярных функций ~." Х вЂ” э й, имекицих н Х непрерывные частные производные по всем переменным.
Ана,- логичное множество векторных функций 1": Х -+ Е"', имекнцих и у непрерывные частные производные по всем переменным, обозначают С'(Х,Е™). Для дифференцируемости скалярной ч'ункции ~ в области Х достаточно, чтобы она принадлежала при р-~ О, так как !Ьх!/р ~ (1, !Ьу!/р < 1, а /М, 'у -+ 0 при р -+ О. Следовательно, ~дух+ уЬу=ар, где а-+0 при р-+О. Итак, 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ множеству функций С'(Х). Аналогично для дифференцируемости векторной функции в области Х достаточно, чтобы У Е Г~(Х,И"').
Функции из множеств С'(Х) и С'~(Х,И'") называют непрерывно дифференцируемъиви в области Х. 2.6. Дифференцируемость сложной функции Теорема 2.6. Если функция многих переменных ~: И" — ~ -+ И"' дифференцируема в точке а, а функция многих переменных д: И'" -~ И" дифференцируема в точке 6 = ~(а) ~ И'", то сложная функция до ~: И" — ~ И"' дифференцируема в точке а и выполнено равенство (д ' й'(а) = д'(6) Р'(а) (2.13) 4 Пусть функция д определена в окрестности 1>(6,о) точки 6. Так как функция ~ дифференцируема в точке а, она определена в некоторой окрестности этой точки и является непрерывной функцией в точке а. Значит, согласно определению непрерывности, существует такая окрестность 11(а,о) из области определения функции ~, для которой Д0(а,Ю)) С 10(6,о) В окрестности ~Г(а,о) определена сложная функция до~.
Пусть х — произвольная точка в 1)(а,о) и у = Дх), г = д(у)- Обозначим Ьх = х — а, Ьу=у — 6, Ьг = х — с, где с=д(6). Н силу дифференцируемости функции ~ в точке а имеем пред- ставление Ьу = ~'(а) Ьх + о(Ьх) ~Ьх~, (2.14) На функции многих переменных можно распространить правило дифференцирования сложной функции, установленное для функций одного действительного переменного 11Ц.
Но при этом в формуле дифференцирования производные функций одного действительного переменного, образующих сложную функцию, следует заменить матрицами Якоби функций многих переменных. 3.6. Дифференцируемость сложной функции 87 ,де а(Ьх) -+ О при Ьх -~ О. В силу дифференцируемости д в чке Ь имеем аналогичное представление Ьх = д (Ь)йу+ ЩйуЯЬу~, (2.15) ,, ~е ф(Ьу) -+ 0 при Ьу -+ О. Подставив (2.14) в (2.15), получим Д,(д о ~) (а) = Ь3 = = д'(Ь) (~'(а) Ьх+ а(Ьх) [Ьх ~) +,д(Ьу) ~ Ьу~ = = д'(Ь) ~'(а) Ьх+ у(Ьх) ~Ьх~, (2.16) где у(Ьх) = д'(Ь) а(Ьх) + /У(Ь~(а)) ~~'(а) и(Ьх) + а(Ьх) 1 Ьх и р(Ьх) = —. ~Ьх~ Функция 4(Ьу) бесконечно малая при Ьу-> О, причем на представление (2.15) не влияет значение этой функции при Ьу=О.
Поэтому можно считать, что,8(0) =0 и что функция 4(Ьу) непрерывна при Ьу = О. Но тогда функция Д(ЬДа)) непрерывна при Ьх =0 как композиция непрерывных функций и, следовательно, является бесконечно малой при Ьх + О. Функция р(Ьх) является ограниченной: ~и(Ьх)~ = 1. Следовательно, Функция ~3(ЬДа) ) ~~'(а) и(Ьх) + а(Ьх) ~ является бесконечно малой, так как представляет собой произведение бесконечно малой функции Д(Ь|(а)) на ограниченную Функцию ~~'(а)и(Ьх) + а(Ьх) ~.
В результате заключаем, что 'у(~х) -+ 0 при Ьх -~ О. Согласно определению 2.2, представление (2.16) означает, что функция до дифференцируема в точке а. При этом произведение д'(Ь) ~'(а) двух матриц Яко~и является, согласно (2.16), матрицей Якоби сложной функции Уо У, т.е. имеет место равенство (2.13). ° Композицию (до ~)(х) = д(Дх)) двух функций ~: Ж" -+ И'" " У: В"' -~ Ж~ часто задают в виде г = д(у), у = Дх), вводя 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ дополнительный набор переменных у Е п"'. Переменные в наборе у Е В"' называют промежутпочными переменными, подчеркивая роль, которую они играют при задании сложнон функции. Указанная роль проявляется и при вычислении частных производных сложной функции.
Используя координатные функции ~1, ~г, ..., ~ и д1, д~, ..., д~ функций многих переменных ~ и д, равенство (2.13) матриц Якоби можно записать в координатной форме дх; ~ дд; д,~, дд; д~~ дх, ~ду, дх, ду1 дх, дд; д~„, ду„, дх, ' г = 1, Й, ~ = 1, и. (2.17) Получены формулы для вычисления частных производных координатных функций сложной функции. Отметим, что частные производные в (2.17) вычисляются в соответствующих точках, а именно: — и — — в точке а, а — — в точке 6 = ~(а). дг, д~, дд, дх «дх~ дд« В равенствах (2.17) следует обратить внимание на то, как в них входят промежуточные и остальные переменные.."Запись частных производных сложной функции в виде (2.17) называют правилом дифференцирования сяожной функции или.
иногда, цепным правияом. Рассмотрим некоторые частные случаи дифференцироп»- ния сложных функций при различных значениях и, пь и Й. Будем предполагать, не оговаривая этого специально, что условия теоремы 2.6 выполнены для зтих функций в соответствующих точках. Если и = 1 (или т = 1), то у функции ~ (соответственн< д) будет всего лишь один аргумент и частная производная будет фактически обыкновенной производной. Это должн~ быть отражено в обозначениях производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
