V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Докажите, что для любой точки а = (а1, ..., а„) отКрытого множества У С И" существует такое число 8 > О, что множество точек (х1, ..., 2)„) (= И", удовлетворяющих соотноШениям ~ж; — а;~ < о, г = 1, д, целиком попадает в множество Г. 1 14. Найдите область определения векторной функции т ~(ж,у) = (~(л — у — ~к(ху — 1)) 115. З ° ° Запишите объем $' прямого кругового конуса как функцию Чию площади 5ь его боковой поверхности и площади 5 ния. Наидите область определения этой функции. 1 16 Найдите Д1, -3), если ~(х, у) = Т вЂ” У 66 !. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИц 1.17. Приведите примеры из механики, физики, химии, и люстрирующие понятия скалярной функции многих переме„ ных, векторной функции многих переменных, графика функ ции многих переменных, координатных функций, поверхност „.
и линий уровня функции многих переменных. 1.18. Приведите геометрическое описание и нарисуйте по верхности уровня функции ~: Жз -+ Е~, где: а) У(х ~ х) (х2+~2 х х) б) Дх,у,г) = (х +г х +у ) 1.19. Определяется ли функция многих переменных полно. стью структурой своих поверхностей уровня или нет? Приведи те примеры из различных областей знаний, в которых функция была бы задана или описана своими поверхностями или линиями уровня (например, в злектростатике, картографии). 1.20. Могут ли разные поверхности уровня одной и той же функции многих переменных пересекаться в какой-нибудь точке? 1.21 ° Найдите уравнение поверхности (линии) уровня функции, проходящей через указанную точку Р: а) г(х, у) = х~ + 2ху+ у~ — х+ у, Р(1; 2); б) г(х)у) = хи — уг+2х 4~, Р(2; 1); в) и(х, у, х) = х~ — у~+ г, Р(3; 2; 1); г) и(х, р, х) = х~+ у~+ г~ — 2г, Р(1; 2; -1).
1.22. Можно ли сферу ((х, у, г) Е й~: х~+ у + х~ = г~), г > О, рассматривать как график некоторой функции многих переменных? 1.23. Докажите, что поверхности уровня любой функции многих переменных разбивают область определения зтой функции на непересекающиеся подмножества. Выясните, когда зто разбиение на подмножества для функции ~: В" -+ В совпадает с аналогичным разбиением для функции: а) ~~; б) ~з; в) Й~ Вопросы и задачи ~ ~.~. Ь, 6 Е Е; д) -~; е) у~, где у: Е" -+ И вЂ” заданная у~; г) функция. 24, Найдите предел Функции У(х,у) при (х, У)-+(О, 0), если „г ,4 ((х, у): ху > -4, ху36 0), ~(х,у) = 2 — хуг+4 ~.25, Покажите, что Функция х(х, у) = — не имеет преде- л+у л при (х, у) -+ (О, 0). Для любого числа Ь ~Е 0 найдите такую функцию у = а(х), а(0) = О, непрерывную при х б ~-1, Ц, что функция одного переменного и(х) = х(х,а(х)) будет иметь предел при х-+ О, равный 6. 1.26.
Докажите, что функция х + О ~(х,у) = х~+уг' О, х=у=О, непрерывна по переменному х, непрерывна по переменному у, но не является непрерывной в точке х = О, у = О. 1.27. Исследуйте на непрерывность следующие функции: *) У( у) — +я +2 б) ~(х,у)— я$п(х+ у) ' 1 ) у( Ю +Д вЂ” Л 1 81пз — 1 ~ 28. Докажите, что если существуют пределы 1пп У(х) = с ю~~в ~~® У(х) = с, то существует предел 1ип ~(х), который тоже равен с. ~ив 68 ~. т нкции многих тюмкнных клк отоиглжкни~~ 1.2В.
Существуют ли пределы !ип !ип Дх,р) у-+О ю-+О )ип Дх, р), (~, р)-+(о, о) !'ип )ип Дх,у), -+о р-+о для функций: 3 уз б) Йх,у) = ? х+у ,3 рз а) Дх,у) = 1.30. Вычислите пределы: япх — япу а) !ип (х, у)-~(л, л) х — у /х2+ Чх 1 б) !ип (х, у)-+(1, о) 1 — сов(х + 2р) — 2ху в) !ип (х, у)-+(о, о) х2+ 4у~ 1.31. Проверьте, являются ли непрерывными в Е~ функции 1п (1 + (х+ у) ) х+уф О; У+у О, х+у=О; х +у б) Дх,у) = е (~ У), х ф.у; О, х=у. 70 г. ДИФФЕЮНЦИРУКМЫЕ ФУНКЦИИ переменного, когда все переменные функции1 кроме одного 1 „замораживаются ". Пример 2.1.
Функция двух переменных Дх,у) = х2~ + бхр — уз имеет две частные производные: Д(х,у) = 2х+ б, Я(х,у) = бх — Зу~. Аналогично для функции д(х,у) = х", х > 0 находим д'(х,,у) = ух" ', д„'(х,у) = х~1пх. Пусть функция ~: И" -+ Ж~ определена в 8-окрестности Ца,о) точки а Е И". Обозначим через Ьх; такое приращение независимого переменного х; в точке а, при котором точка 0,- = (ад, ..., а; 1, а;+Ьх;, а;+д, ..., а„) принадлежит Ща,Ю). Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство ~Ьх;~ < 8. Тогда определена разность значений функции ~, соответствующая приращению Ьх;: АУ(п~ ~~~х~) — .1(п11 ° Ж-$ ~ Ж + ~М ~%+1 ° ° ° пп) У(в1~ ° ° ° Пл) Ь;~(а) ью,-+о Ьх; (2.1) отношения частного приращения функции по переменному х; к приращению Ьх; этого же переменного при Ьх; — ~0.
СУ- ществование этого предела означает существование частной производной, т.е. он приводит ко второй формулировке определения частной производной. Эта формулировка удобна тем. что без проблем переносится на общий случай функции многих переменных. Эту разность называют частвкым ириращением фуккции мкооиа веремемкыа ~ в точке а по независимому переменному х;. Частное приращение обозначают также через Ь;~(а) или Ь,,Да). В соответствии с определением частная производная скалярной функции ~ в точке а по переменному х; есть предел 3.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 72 Используя теорему 1.4, получаем (ип Д Л(а) Ьх,— ~О Ьх д~'~ (а) дх, дДа) дУ (а) Ь,Ут(а) Ьх,-+О Ьх, дх, что и требовалось доказать. ° При доказательстве теоремы установлена формула, соглас но которой частная производная векторной функции ~(х) рая. на векторной функции, координатными функциями которой являются соответствующие частные производные координат.
ных функций для Дх). следовательно, вычисление част11ьц~ производных векторной функции сводится к вычислению соответствующих частных производных ее координатных функций, которые являются функциями скалярными. Если функция ~: И" — ~ И'" в точке х Е В" имеет частные производные по всем независимым переменным ж1, ..., х„, то из этих производных (а точнее, из частных производных координатных функций ~1(ж), ..., ~„,(ж)) можно составить матрицу (дфоп)/дх ) типа т х и, где г соответствует номеру строки матрицы, а 1 — номеру столбца.
Эту матрицу называют матрицей Якоби' функции ~ и обозначают д~1 (х) дЬ(х) дх (~.3) д~' (х) д~„,(х) дх~ дх~ Часто используют запись матрицы Якоби в виде блочноЙ матрицы-строки 'К. Якоби (1804-1851) — немецкий математик, сделавший нема.1а открытий в теории чисел, дифференциальных уравнений, алгебре, интегральном исчислении и других разделах математики. гг. е р ометрическая интерпретация частнмх производнык ~ о ной матрицы-столбца и блочно ЭЯх) У'( )= (2.5) д~, (х) дх леднем случае каждый блок представляет собой матрицу я„би соответствувшей координатной функции. Пример 2.2.
Для векторной функции 1(х,у) = (хе- хзуз у)' двух переменных х и р найдем все частные производные и запишем матрицу Якоби. Данная функциЯ имеет три координатные функции и(, У) = ы ' (~ФУ/ У ~(х р) = У. ВычислЯем частные произ -э 1 гз водные этих функций: и',.(х,у) и'„(х,р) е " — хе я У'(х, у) = о' (х, р) о„'(х, у) = 2хуз 3хгуг ш' (х, р) иг„'(х, у) О 1 2.2. Геометрическая интерпретация частных производных Пусть У ть функция двух переменных ~(х,у) определена в некоторой о Фрикчии Рои окрестности точки а = (а1, аз) Е И .
Графиком этой ~Ч и в пространстве является поверхность, которая в пряМоу гол ьнои системе координат Охух описывается уравнением и' (х, у) — е-у и~~(х у) — 2х 3 и'х(х У) = О, Составляем из вычисленных Якоби: и'„(х,р) =-хе ~, о„'(х, р) = Зх~у~, и~'у(х,у) = 1. частных производных матрицу 2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ х = Дх,у). Обозначим линию пересечения этой поверхности с плоскостью у = аг через ~. Выберем на этой кривой точки Р(а1, аг, Да1,аг)) и Я(а1+ Ьх, аг, Да1+Ьх,аг)), а затем через эти точки проведем прямую Ь. Пусть при стремлении точки Ч' по кривой ~ к точке Р прямая займет некоторое предельное положение.
Соответствующую этому положению прямую называют касательной к кривой у в точке Р (рис. 2.1). Рис. 2.1 Докажем, что касательная к кривой ~ в точке Р существует, если функция ~ имеет в точке (а1, аг) частную производную по переменному х, причем угол а между касательной и положительным направлением оси Ох определяется формулой ф~а = ~'(а1,аг)..
Действительно, угол у, который прямая Ь, проходящая через точки Р и Ч, образует с положительным направлением оси Ох, вычисляется по формуле Если существует частная производная функции ~ в точке (а1, аг) по переменному х, то существует предел Ь~Да1, аг) д~(а1, аг) 1ип ~~~р= 1ип ь~-+О ьж-+О Ьж дх 2.3. Дифференцируемоеть Функций многих переменных 75 1оскольку функция агсСдх непрерывна в области определения, о существует и предел в= !!т у= !!т асс!д(ф~р) = агсщ~ !!т !~у). ьх-+о ьх-+о ~ь -+о Следовательно, прямая Ь имеет предельное положение при ,~я > О, причем тангенс соответствующего угла а равен частной производной ~'(а1 пг).
Замечавие 2.1. Можно также показать, что если определена касательная к кривой 'у в точке Р, причем а ф.:Ьг/2, то в точке (а1, а2) существует частная производная функции ~ по переменному ж. Если же а = 3=я'/2, т.е. касательная имеет вертикальное положение, то величина $д!р стремится к оо при Ья -+ О. Это соответствует бесконечной частной производной: 1х(в1~пя)— Аналогично, если существует частная производная фа1, а2), то в точке Р существует касательная к линии пересечения поверхности г = ~(ж,у) с плоскостью х = а1, причем значение частной производной ~„'(а1,а~) равно тангенсу угла, который зта касательная образует с положительным направлением оси Оу.
Приведенная геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных аналогична соответствующей интерпретации производной действительной функции одного действительного переменного [П]. 2.3. Дифференцируемость функций многих переменных Пусть функция ~: Ж" -+ И определена в некоторой ожрест- нос~М точки ж Е Е" и Ьх = (Ьж1 ...
Ьж„) — такой вектор Приращений независимых переменных, что точка х+Ьж то'«е принадлежит этой окрестности. В этом случае определено 76 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ полное приращение функции ~ ЬДх) = Дх+ Ьх) — ~(х), соответствующее приращению Ьх переменных в точке х. Полное приращение функции Дх) = ф(х) ... ~„(х)) в точке х можно выразить через полные приращения координатных функций ~1(х), ..., Ях): ~1 (х+ Ьх) Л(х) ЬДх) = Дх+ Ьх) — Дх) = Х~(х) ~ (х+ Ьх) ~1(х+ Ьх) — ~~(х) ~Л(х) У (х+~~) — У (х) ~У (х) Кроме того, напомним, что ~Ьх~ = Определение 2.2. Функцию ~: И" -+ И, определенную в некоторой окрестности точки х, называют дифферезщируемой в точне х, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде ЬДх) = АЬх+ а(Ьх) ~Ьх~, (2.6) где А — матрица типа т х и, элементы которой не зависят от Ьх, а функция а(Ьх) является бесконечно малой при Ьх -+ О. Функцию ~ называют дифференцируемой в областпи Х С В", если она дифференцируема в каждой точке этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
