V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(1.2) Функции многих переменных Д, г = 1, ю, называют координатными функциями векторной функции ~. Для представления векторной функции наряду с матричной формой записи (1.2) используют координатную форму записи 1.2. Функции многих переменных Прфмер 1 .5. Пусть в просч рансч ве расположено некоч орое Плотность р этого тела зависит, вообще говоря, от поло- тело. ревени „„я очки.
Выберем в пространстве прямоугольную систс му коорд инат Охук. Тогда. плотность тела можно рассматривать функцию трех переменных х, у и «, а именно р = р(а:, у, «), у, «) — точка рассматриваемого тела. Обозначив мнотво точек, п ри н адлежащи х телу, через Ь', можем зап исать Р: . ~ С Кз-+ К. Аналогично температура Т этого же тела есть функция точки (х, у, я), или функция Т(т, у, «) трех переменных, которую мы можем записать в виде Т: Р С Кз -+ К. Пару функций р и Т можно рассматривать как векторную функцию трех переменных ~: Р С Кз -+ К2, которая в матричной форме имеет вид У(:~~У~ ) = (р(~,у, «) Т(:т, У, «)) .. (У, У, =) Е ~~.
Ее координатными функциями являются р(х,у, г) и Т(х, у, =). Функции многих переменных могут использоваться как элементы матрицы. Пусть С*'(х) = (д;„(х)) — матрица типа х: х ~, элементами которой являются с.калярные функции многих переменных д, '. А С К" — ~ К. Такую матрицу называют функциональной матрицей. Функциональная матрица с.'(т) определяет отображение вида С: К" -+ Мц(К) из и-мерного линейного арифметического пространства в линейное пространство матриц типа й х 1, которое называют матричным отображением или матричной функцией.
Так как множество матриц типа Й х 1 есть линейное пространство размерности т = И, которое естественно отождествить с тп-мерным линейным арифметическим пространством. то любое отображение С: К'" — ~ Мц(К) можно рассматривать как в ак векторную функцию многих переменных вида С: К" -+ К™. Наоб аоборот, координатные функции векторной функции ~: К" + ~ Щт при и. = И можно записать в матрицу типа Й х 1 и тем самым мым превратить векторную функцию в матричную.
В частности ти векторную функцию ~: К" -+ К"' можно рассматривать З4 Ю, ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ~(х) = ®(х) ~2(х) ... ~,„(х)), д(х) = (д1(х) д2(х) ... д„,(х)) , мы можем представить введенные операции следующим обра- зом: Л( )+д1( ) Лл(х) Дх) + д(х) = ЛУ(х) = ~,„(х) + д,„(х) Л~„,(х) Относительно введенных операций множество Р(А,К"') является линейным пространством. Пример 1.6.
Пусть заданы функции двух переменных т 2 2 ~1(х,у) =(х 2у) и ~2(х,у) = (у2 Зх2) . Умножая первую функцию на число 2 и складывая результат со второй функцией. получим линейную комбинацию ~ = 2~1 + ~г двух функций: Дх,у) =2~1(х,у)+Ях,у) = (2х+уя 4у+Зх2) .;ф как матричную типа т. х 1, т.е. отображение, которое каждом,. х Е К" ставит в соответствие матрицу-столбец высоты ж. На множестве Г(А,К'") всех функций вида ~: А С К" -~ — ~ К"' можно ввести операции сложения функций и умнож~ ния функций на действительные числа. Суммой функций мноеих переменных ~, д Е Г(А,К"') называют такую функцию ~+д Е Г(А,К"'), что для любого х Е А верно равенство (~+ д)(х) = Дх) + д(х), в праной части которого стоит сумма значений векторных функций, являющихся элементами линей ного пространства К"'.
Аналогично произведением фунниии многих переменных ~ б Р'(А,К'") на дейстпвительное число Л называют такую функцию (Л~) е Г(А,К"'), что для любого х Е А верно равенство (Л~)(х) = ЛДх), в правой части которого стоит произведение вектора Дх) Е К"' на действительное число Л.
Записав функции ~, д б Г(А,К"') в матричной форме 1.2. Функиии многих переменных калярном случае, т.е. при ти = 1, можно также определить опера ции умножения и деления функций. Произведением - нк,~и4 многих переменных ~, д Е Г(А,К), А С К", назыфункч вают „, функцию ~д, значение которой в точке х б А вычисляется „„формуле (Й)(х) = Лх)д(х). Аналогично частпным функ- ~ многих переменных ~, д Е Р(А,К) называют функцию рд, для которой выполнено равенство ®д)(х) = Дх)/д(х), х ~ А.
Областью опРеделениЯ пРоизведениЯ ~д ЯвлЯетсЯ мно;кество А, а областью определения частного ~/д — множество А за вычетом всех точек х, в которых д(х) = О, т.е. О®д) = = А~(х б А: д(х) = 0). Пример 1.7. Функция ! п(ху+ у) + уя г- есть частное двух функций ~д(х,у) =!п(ху+у)+у2 и у (х у)— = ~Д. Отметим, что область определения частного двух функций есть пересечение областей определения делимого и делителя, из которого удалены точки, в которых делитель обращается в нуль. В данном случае область определения функции Д описывается неравенством ху+ у > О, область определения функции Л вЂ” неравенством х > О, пересечение областей есть множество ((х, у) Е К2: х > О, у > О), а область определения частного — множество ((х, у) Е К~: х > О, у > 0).
Определение 1.8. Графиком функции многих переменных ~: К" — ~ К™ называют подмножество Г(~) в К"+ Х К, которое задается следуюшим образом: Г(~) = ((х, у) б К"+: х ~ .О(Д), у = ~(х) ) . Это определение есть частный случай определения график" произвольного отображения ~: Х -+ У ~1-2.5). В случае и=1 т= 1 оно приводит к понятию графика действительной ф функции деиствительного переменного, имеющего наглядное ге геометрическое представление в виде некоторой кривой 36 1. ФУНЕЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАЖЕНИЯ на. плоскости [1-3.1~.
Столь же наглядно можно представить график функции при п+ т = 3. Например, графиком функции 1(х,у) =хя+у2 (и=2,т=1) является по 1 верхность, которая описывается уравне 1 нием г = х~+ у~. Указанная поверхность представляет собой параболоид вращеыы (рис. 1.6).
У График функции 1' К -+ К2, которая о х задана соотношениями х(1) = соМ, у(1) = = 81п1, 1 1= ( — оо, +ос), представляет собой Рис. 1.6 винтовую линию, рассмотренную в примере 1.4. Действительно, графиком этой векторной функции является множество Г(1) = ((х, у, =.) б Кэ: х = 1, у = соИ, х = яп 1 ~, что после переобозначения осей координат приводит к образу отображения со из примера 1,4 (см. рис. 1.5). Для графического представления функций многих переменных в случае небольших размерностей области определения и области значений могут использоваться и другие приемы. Рассмотрим некоторые из н их. Определение 1.9. Пусть задана функция многих персменных ~: К" + К"'. Множество (х б К": Дх) =с), где с Е К'" фиксированное, называют поверхностпью уровня, соответству ющей зн ачен и ю с.
Поверхность уровня функции многих переменных 1 — эт« множество всех точек из области определения функции, н которых она принимает данное значение с, т.е. прообраз ~ '(с) элемента с ~ К'" при отображении ~. Замечание 1.5. Слово „поверхность"' здесь лучше было бы заменить словом „множество".
Во-первых, прообраз элемента при произвольном отображении может и не быть поверхностью ЗХ !. ФУНЕИИН МНО! НХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАю!чИН!> у, не имеет реш! ний. 1'еометрически это означает, что при с плоскость - = с ие пересекается с графиком функции У. 13 )!с(0 слу чае с = 0 имеем равенство юя+ у! = О.
которому удовлетворя„, координаты единственной точки (О, 0). Следовательно. пр„ Е с = 0 линия уровня. являю!цая~ я пе. ресечением плоскости г = О с параб О, лоидом вращения г = ю~+ у~. соде дер. жит единственную точку (О. 0). 1'с ли с ) О, то линия уровня опис!!пает. ся уравнением г~+у~ = с= г~ и пред. % ставляет собой окружность радиуса ! г с центром в начале координат..)та Т окружность есть проекция ни кнор. У динатную плоскость хОу пересдаче х ния плоскости г = г~ с параболоид<щ Рис. 1.7 вращения г =;с~+ д~ (рис.
1.7). 4 При и! > 1 поверхность уровня векторной функции многих переменных ~: Е" -+ И"'. соответствующая значению с = = (с! ~ ° ° °, с1д) 6 Й, сОстОит нз тех точек, коорди!гиты которых удовлетворяют векторному уравнению Дю) = с, гл.
являются решением системы уравнений Д(т) = с;, ! = 1, ти, где ~,- координатные функции векторной функции ~. Поэтому поверхность уровня векторной функции многих переменных яв1яетс~ пересечением соответствующих поверхностей уровня ее кооР динатных функций. 1.3. Предел функции многих переменных Рассмотрим множество А С В". Точку а ~ И" называк!т предельной тпочкой множестпва А, если в любой ее !!Р~"~ !ото!! окрестности есть точки из множества А. Предельна" точка множества может либо принадлежать этому множест"" либо не принадлежать ему.
Отметим, что если точка а !!!'~ 1 3, Предел функшш многих иеременних ) У( ) ( ) (1~) ЗТОМ с чучаР ) "лучаР записывают Ь = 1пп Д.с), или Д;г) -+ Ь при х-+ц л ~;~а читаю За л ают так: „а стремится к а по множеству А"). амечание 1.6.. "4атри ° 6 УсловиР, что точка и ~ Й", в которой расИпаРТся и рРдРл фУикции по множеству А С Й", является я множРства А, то в любой окреслнносеаи 11(а,с) атой ,.„,ная дл ... Рржится бРскоиечно мнОГО тичРк множРстна А. ИИ>ЧЛи а ОДР Кой 1очку ~ .4, если а которая лкФая т изолированной т~ ц "'"""~111 ..
ВГР вн„„ иио.ж Ф лд " ПРРдР~Ь зтого множРства. б. Множество на плоскости. заданное соотношениями х — у = 1, 2 2 -1,' О 1 .г ~~ — 1, НМРРТ изолиРованнУю тОчкУ (-1, О). ИГР ОстальныР тОчки зтОГО множества, лежашиР на правой ветви ГипербОлы, являются РГО прРДР1ьными точками (рис. 1.8). 4 Рис. 1.В Оп е пределение 1.10.
Пусть заданы функция многих переменных ~: В" -+ й"', множРство А С 0(~), включенное в область ОпределРния функции ~, и предельная точка а множества А. Точк~ Ь~ ю'" Е В называют иредеаом функции ~ в точке а по мкомсеспвв у А. Рсли для любой е-окрРстности !1(Ь,е) точки Ь суШРГТВуРТ т о такая проколотая 8-ОкрРстность ('(а.Б) точки и. У(с) ~ 1~(ЬР) при ю ~ (1(а,ц) й А, т.Р. "' (Ь =) С К™ =1 1'(,,Ю) С ~ о ~у~ (!(ц о ПА' Г ~ 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
