V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Составьте векторное уравнение этой плоскости и укажите ее нормальный вектор. [11Ц 29. Найдите угол между прямой в пространстве, заданной каноническими уравнениями х — 1 = у+ 1 = ~+2, н координатной плоскостью хОу прямоугольной системы координат Охух. «11Ц 30. Найдите координаты вершин и полуоси эллипса з~/4+ у~/9 = 1. [11Ц 31. Является ли поверхность т~+3у~+Зг~ — ж = 0 поверх::ностью вращения? [11Ц 32. Запишите канонические уравнения поверхностей второго порядка: а) сферы; б) эллипсоида; н) эллиптического и гиперболического параболоидов; г) эллиптического конуса; д) кругового, эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров. ~1то называют Направляющей и образующей цилиндрической поверхности? [11Ц !О 33.
Как определить координаты вектора и-мерного линейного арифметического пространства Ж" в стандартном базисе? [ !Ъ'1 34. Перечислите аксиомы скалярного умножения в евклидовом пространстве. Как вводится стандартное скалярное умножение в евклидовом арифметическом пространстве'? !1Ц 35. Запишите матрицу квадратичной формы трех переменных ту — =~ и найдите ранг этой квадратичной формы. !! Ч1 36. Является ли квадратичная форма;ьу — л~: а) вырожденной; б) положительно определенной; в) неотрицательно определенной; г) знакопеременной? На какие иэ этих вопросов ответ можно получить с помощью критерия Сильвестра' ? ~17 ~ ОСНОННЬПЕ ОБОЗНА'ЧЕНИЯ ° и ~ — начало и окончание доказательства „-ф — окончание примера, замечания, теоремы без доказательства Ч и 3 — квантор всеобщности (Чх — для любого х) и квантор существования (Зт, — существует х) 1-1.5 аМ6 — величины а и о приближенно равны 3.5 аб А.
А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1- А С В вЂ” множество А является подмножеством множества В (А включено в В) 1-1.2 А 0 В, А й В, А ~  — объединение, пересечение, разность множеств А и В 1-1.4 '2$ И 0 А; и О А; — объединение и пересечение множеств А~, ~М /=1 Аг °, А„1-1.4 О А; и П А; — объединение и пересечение произвольного се- ай/ /Е/ мейства м ножеств А;, определяемого м ножеством индексов 1 1.1 (ж Е А: Р(ж) ) — множество, состоящее из тех элементов х б А. которые удовлетворяют условию Р(х) 1-1.1 (а~, а~,..., а„) и (а) — конечное множество, состоящее из элементов а~, пъ ..., а„, и, в частности, одноэлементное множество с единственным элементом а 1-1.1 А х  — Декартово произведение множества А на множество В 1-2.5 — пустое м ножество 1-1.1 1-1.3 — множество натуральных чисел — множество целых чисел 1-1,3 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ К вЂ” множество действительных чисел 1-1.3 — оо, +оо — бесконечные точки расширенной числовой прямой 1-1.3 КЯ и' — единичный вектор (орт) 5.1 (х1, ..., х„) — координаты точки х Е К" 1.1 и ',) , 'а~ — сумма и слагаемых а1, ..., аь ..., а„1-2.6 1=1 Й = 1, и — число Й принимает последовательно все значения из множества Ы от 1 до и включительно 1-2.6 ш!и (а1, а2, ° ..
~ агь) и !Пах(а11 а2, . ° . ~ ан) — минимальное и максимальное из чисел а1, а~, ..., а„1,3 (а, 6), (а,6), [а, Ц вЂ” интервал, полуинтервал, отрезок числовой оси с концами а и 6 1-1.3 Рз — линейное пространство свободных векторов в пространстве Ш вЂ” линейное арифметическое пространство 1.1 ~х~ — абсолютная величина (модуль) числа х; длина вектора х в линейном арифметическом пространстве 1-1.3, 1У ~~х~~ — норма вектора х в евклидовом пространстве ГЧ о Ща,я) и 0(а,е) — окрестность и проколотая е-окрестность точки а б К" 1.1 1пФА — внутренность множества А С К" 1.1 дА, Рг А — граница множества А С К" 1.1 5" — и-мерная сфера 11.1 Ао — геометрический вектор с началом в точке А и концом в точке 8 Ш, 1.1 (а,, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь 3.1, П1 ахЬ вЂ” векторное произведение векторов а и д П1 аЬс — смешанное произведение векторов а, Ь и с Ш прка — проекция вектора а на направление вектора Ь П1 И ' (я,р и з,д,й) — ортонормированный базис в 1~~ (правый ортонормированный базис в Г2 и в Ьз) Ш Оху, Охуг — правая прямоугольная система координат на плоскости, в пространстве Ш вЂ” касательный вектор к многообразию 11.4 А~ — матрица, транспонированная к матрице А Ш федаи(а~, ..., а„) — диагональная матрица с диагональными элементами а1, ..., и„1П дел А — определитель матрицы А Ш ЙдА — ранг матрицы А Ш А 1 — матрица, обратная к матрице А Ш ~: А -+  — отображение множества А в множество В 1-2.1 1' А С К" — ~ К вЂ” функция многих переменных, заданная на множестве А С К" 1.2 У: К" + К™ — функция многих переменных, заданная на.
ка; ком-либо подмножестве в К" 1.2 В(~) и В(~) — область определения и область значений функции ~ 1-2.1, 1.2 Г(~) — график функции многих переменных ~ 1.2 Р(А,К"') — множество всех функций вида ~: А С К" — ~ К"' 1.2 ~ 1(с) — прообраз элемента с б В при отображении ~: А -+ В, т.е. множество (х Е А: Дх) = с) 1.2 щах~(х) и пип Дх) — максимальное и минимальное значения хЕХ жЕХ функции ~(х) на множестве Х 10.2 Ь = 1ип Дх), ~(х) -+ Ь при х-+а — предел функции Х(х) в точх~~а А ке а по множеству А 1.3 Ь=1ип Дх), Х(х) -+ Ь при х-+ а — предел функции Дх) вточке и 1.3 Ход — композиция отображений (функций) ~ и д 1-2.4 основнык овознл чяния ~~~, Д (а) — частная производная функции Дх) в точке а по переменному х; 2.1 Ь; Г(а., Ьх;), ЬЯа), Ь,Х(п) — частное приращение функции многих переменных Дх) по переменному х;, соответствующее приращению Ьх; этого переменного 2.1 ~'(х) — производная функции Дх) одного действительного переменного в точке х; матрица Якоби функции Дх) многих переменных в точке х П, 2 1 ф'(а) — дифференциал функции многих переменных ~(х) в точке а 2.7 д~Дх) ц — частная производная скалярнои функции мнодх~дх, ' гих переменных ~(х) второго порядка по переменным х.; и х„' 3.1 С~'(Х) (С~(Х, К™) ) — множество всех скалярных (векторных) функций, у которых все частные производные до порядка Й включительно непрерывны на.
Х С И" Зе2 С'"(Х) (С (Х,И"")) — множество всех скалярных (векторных) функций, у которых существуют частные любого порядка.. непрерывные на множестве Х С К"; множество гладких функций на многообразии Х 3.2, 11.3 ~~~Дх) — дифференциал скалярной функции многих переменных ~(х) Й-го порядка. 3,3 — — производная скалярной функции многих переменд~(а) д~ ных Дх) по направлению вектора а 5.1 угас) ~(х) — градиент скалярной функции многих переменных ~(х) в точке х 5,2 Я~) — производная функции )', заданной на многообразии, по направлению касательного вектора.
~ 11.4 у(х) -~ ех1г — задача исследования скалярной функции Дх) на экстремум 6.4 б ~Дх)Иж — определенный интеграл функции Дж) по отрезку в 1а ~~ У1 у~,М вЂ” касательное пространство к многообразию М в точке Р 11.5 УМ вЂ” касательное расслоение многообразия М 11Л ~~Я вЂ” дифференциал гладкого отображения многообразий в точке Р 11.6 р(М) — множество гладких векторных полей на многообразии М 11.8 [Х, Ц вЂ” коммутатор векторных полей Х и У 11.9 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи"). Буквы греческого алфавита Наряду с укаэанным произношением также говорят „лямб- ВВЕДЕНИЕ В первом и втором выпусках серии „Математика в техническом университете" основное внимание было уделено изучению действительных функций одного действительного переменного, которые можно рассматривать как отображения К-+ К.
'Области определения и значений этих функций являются мно,жеством действительных чисел или его подмножествами. Однако этих функций недостаточно для описания многих величин и явлений. Простейшим примером является формула для вычисления площади 5 треугольника 5 = 0,5абяп у, где ~р -- угол между его сторонами а и 6. Можно считать, что площадь 5 зависит от трех переменных а, 6 и д, которые независимо друг от друга принимают различные значения (с учетом очевидных ограничений а > О, 6 > О, О < д < я, поскольку речь идет о. треугольнике).
Следовательно, площадь треугольника можно рассматривать как функцию трех указанных независимых перемен н ых. Описание многих процессов нельзя представить с помощью только одной функции, даже если она является функцией нескольких переменных. Например, общепринятыми характеристиками погоды являются температура, атмосферное давление, влажность, т.е. несколько величин. На их значения влияют многие факторы. В этом случае есть несколько функций, зависящих от нескольких переменных, которые естественно изучать не раздельно, а вместе, как единый объект.
Именно функции и их наборы, имеющие более одного независимого переменного, и изучаются далее. Функцию ~ нескольких переменных ж1, хг, ..., ж„записывают в виде Дх|,х2,..., х„). Значение такой функции определяется значениями всей совокупности переменных, которые в этом случае удобно рассматривать как упорядоченную совокупность и. чисел. Упорядоченные наборы чисел уже рассматривались как элементы линейного арифметического пространства К"'. Таким образом, функцию Дх1,хя,...,х„) можно интерпретировать как отображение из некоторого множества в и-мерном линейном арифметическом пространстве К" в числовую ось К. Именно такой подход к понятию функции многих переменных и взят за основу в этой книге. Изложение теории функций многих переменных проводится примерно так же, как и в случае функций одного действительного переменного.
Сперва вводится понятие непрерывной функции многих переменных и анализируются соответствующие свойства, которые во многом аналогичны свойствам непрерывных функций одного действительного переменного. Затем обсуждается важнейшее понятие дифферен цируемости фун кций многих переменных. В случае нескольки.. переменных появляются заметные отличия. Например, нарушается привычная связка между дифференцируемостью и существованием производной. Сам термин „производная" заметно меняет свой смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
