V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тем не менее сохраняются многие теоремы, известные в теории функций одного действительного переменного: связь между дифференцируемостью и непрерывностью, теорема Тейлора. Основные приемы исследования функций многих переменных на экстремум базируются, как и в случае функций одного действительного переменного, на свойствах дифференцируемых функций. На функции многих переменных переносятся необходимое и достаточное условия локального экстремума. Но в этом разделе теории функций появляется совершенно новая задача — исследование функций на условный экстремум.
В предлагаемой книге, как и в других выпусках серии, серьезное внимание уделено численным методам решения задач и практическим приложениям теории функций многих переменных. Численным методам функций многих переменных посвящена отдельная глава, а к приложениям теории в той или иной 19 мере можно отнести четыре из одиннадцати глав книги. Особенно много внимания уделено геометрическим приложениям, в частности теории поверхностей. Особо отметим последнюю главу книги, относящуюся к дифференциальной геометрии и посвященную одному из современных разделов этой области математики — теории многообразий. Эта теория теснейшим образом связана с дифференциальными свойствами функций многих переменных, что делает уместным ее появление в книге по функциям многих переменных. 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПБРБМБННЫХ КАК ОТОБРАЖ:БНИЯ Тематику этой главы можно назвать так: топология и-мерного линейного арифметического пространства..
Сюда относятся вопросы, связанные с близостью элементов К'": расстояние в К", окрестности, открытые и замкнутые множества,. Изложение этих вопросов дано достаточно кратко, а более подробное изложение в общем случае метрического простук~н; ства можно найти в ~11.
Понятие окрестности точки позволяет ввести понятие непрерывности функции многих переменных. 1.1. Открытые и замкнутые множества Множество упорядоченных наборов (х1, х2, ..., х„) 1корпмжей) из и действительных чисел х1, х~, ..., х„есть о-я декартова степень К" множества К действительных чисел. Такие наборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, которое также принято обозначать через К'".
В этой книге упорядоченные наборы действительных чисел будут активно использоваты я, но в несколько ином контексте. В рамках линейной алгебры ~171 элементы множества. К" часто называют арифметпичесхими векторами и используют в,апнейных операциях, Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций, но и оценивать степень их близости, характеризуя ее расстояиием в К".
В таком контексте элементы К" удобнее называть не векторами, а точками. Зто соответствует традиции, согласно которой числа., т.е. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементы линейного пространства К" мы в зависи- 22 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ Обозначим через а произвольную точку из К", и пусть е— положительное число. Определение 1.1. Множество 1!(и,е) тех точек из К", расстояние от которых до точки а Е К" меньше е, е > О, т.е.
множество 1.! (а,е) = (х Е К": р(х, и) ( е), называют е-окрестпностпью тпочки а, а множество Ща,е) = 1.!(и,е) ~ (а) = (х Е К": О < р(х, и) ( е) проколотпой е-окрестпностпью точки а. Проколотая я-окрестность точки а состоит из всех точек ее я-окрестности, кроме самой точки а.
В случае и = 1 е-окрестность Ща,е) точки а Е К представляет собой интервал (а — е, а+е) с серединой в точке а, имеющий длину 2е (рис. 1.1,а). Если и=2, то с-окрестность Ца,е) точки а Е К~ состоит из точек плоскости, которые лежат внутри окружности радиуса ~ с центром в точке а (рис.
1.1, б). Если же и = 3, то я-окрестность 1!(а,я) точки а состоит из точек, которые расположены внутри сферы радиуса е с центром в точке а (рис. 1.1, в). В общем случае множество точек х б К"+', для которых р(х,а) = я, называют и-мерной сферой радиуса е с центром в точке а, так что можно сказать так: е-окрестность точки а б К" — это отпкрытпый и-мерный шар радиуса, е с центром в точке а, т.е.
множество точек, лежащих внутри (и — 1)-мерной сферы радиуса е с центром в точке а. х, Рис. 1.1 1. 1. Открытые и замкнутые множества 23 Отметим свойство вложенности я-окрестностей одной и той же точки. Теорема 1.1. Для любой точки а б К" при е1 < е~ ее ~1 окрестность содержится в ее я2-окрестности. ~ф Пусть х — произвольная точка из ~~-окрестности Ца,е1) точки и. Согласно определению 1.1, расстояние между точками т.
и а удовлетворяет неравенству р(ж,а) < я~. Так как е1 < я2, то и р(ж,а) < с~. Значит, согласно определению е2-окрестности, точка ж принадлежит ея-окрестности Ца,с~) точки а. итак, доказано, что при я1 < я~ любая точка г1-окрестности точки а принадлежит ея-окрестности точки а: 0(а,я1) с 13(а,г2). ь Определение 1.2. Точку а множества А С К" называют внушремкей точнов этого мтожестпва, если существует е-окрестность 11(а,я) точки а, целиком содержащаяся в А: Ща,е) С А. Множество всех внутренних точек А называют внупьренностпьто множества А и обозначают ЫА.
Если каждая точка множества А является его внутренней точкой, то само множество А называют открытым мможестввом. Замечание 1.1. Пустое множество по определению считают.открытым. На рис. 1.2 множество А на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подразумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству А, а штриховой — нет.
Точка Рис. 1.2 Р является внутренней точкой множества А, а точки лежащие на сплошной линии, например точка С, — нет. Это значит, что множество А не является открытым, так как содержит точки, не являющиеся для А внутренними. Пример 1.1. Простейшими открытыми множествами в К" являются е-окрестности точек ~1-5.2]. Действительно, рассмотрим произвольную точку и б К" и ее я-окрестность ~1(а,е).
Если ж Е 13(а,е), то по определению 1.1 имеем р(х, а) < е. Выберем 24 1. ФУНЕЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1(А1~ ОТОБРАЖЕНИЯ положительное число ~~ — — р(х,а). Если точка у принадлежит.~-окрестности 1.1(х,~1) точки х, то р(у,х) < 1. Согласно неравенству треугольника, РЬ, а) < РЬ, х) + Р(х, и) < е~ + Р(х,а) = ~. Значит, точка у принадлежит я-окрестности ~1(а,е) точки сс.
Поскольку точка у б Цх,я1) может быть выбрана произвольно. заключаем< что !У(х<е1) С 11(О<'). Итак, любая точка х Е 1.1(а,е) имеет е1-окрестность !1(х,е1), целиком х попадающую в 1Ца,я). Это означает, < что точка х внутренняя для множее ства Ща,е), которое, следовательно, 1 является открытым (именно поэтому е-окрестности точек в К" называ.ют Ъ открытыми л.-мерными шарами). !1а рис. !.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при и = 2.
\ 1'~ < Ъ Ъ', < < < < < г < < Ф е г Пример 1.2. Интервал (х1,х2) числовой прямой можно рассматривать как е-окрестность точки и = (х1+ х~)~2 б К, являющейся серединой этого интервала, при этом = (хя — х1)/2. В соответствии с примером !.! интервал -- открытое множество. 4~ Свойство множеств быть открытыми может сохраняться при их обьединении и пересечении ~1-5.2~. Теорема 1.2. !1ересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.
Объединение любого числа. открытых множеств — открытое множество. < Докажем первое утверждение. Пусть множества Г;, с. =1, п, открыты и 1.1, Открытые и замкнутые множества Если множество Г пустое, то оно открыто по определению. дяя непустого множества Г рассмотрим произвольную точку а ~ Г. Согласно определению пересечения множеств, она.
принадлежит каждому из множеств Г;, г =1,п. Так как эти множества, открыты, то по определению 1.2 для каждого множества Р; существует такое число е; > О, что е;-окрестность точки а содержится в Г;, Положим е = аи~(е1,...,е„). Тогда при всех ~ = 1, и выполнены неравенства я < е;.
Согласно свойству вложенности е-окрестностей (см. теорему 1.1), имеем 1!(и,к) С Ща,~;) С Г;, ~ = 1, и. Поэтому е-окрестность ~И(ад) содержится и в пересечении всех множеств Г;, т.е. в множестве Г, а это по определению 1,2 означает, что а — - внутренняя точка для множества Г. Поскольку в качестве точки а может быть выбрана любая точка множества Г, это множество открытое. Для доказательства второго утверждения рассмотрим множество где множества К С К", г'. б 1, открытые, а! — некоторое множество индексов. В случае пустого множества Р утверждение очевидно, и мы будем считать, что у' не пусто. Если точка а принадлежит множеству 1~, то по определению операции объединения множеств точка и принадлежит множеству К хотя бы для одного значения индексы = Й.
Так как 1:~ -- открытое множество, то существует е-окрестность Ща,я) точки а. содержащаяся в ~~.. Следовательно, эта окрестность содержится и в 1'. Но это значит, что а — внутренняя точка $~, а. так как она может быть выбрана в 1~ произвольно, множество Г открытое. Ь Определение 1.3. Окрестпностпью тпочки а Е К" называют любое открытое множество Г в К", включающее в себя зту точку.
При этом множество Г ~ (а) (т.е. окрестность точки, из которой удалена сама. точка) называют прокояотпой Оттрестпностпью точки а. 1.1. Открытые и замкнутые множества является множество (т Е К": р(ж,а) = ~), т.е. (и — 1)-мерная сфера. Определение 1.5. Множество А С К" называют оеранаявнным множеством, если существует такое положительное число г, что г-окрестность точки 0 = (О, ..., 0) содержит множество А. Поскольку г-окрестность точки О Е К" описывается неравенством р(ж,О) = ~х~ < г, условие ограниченности множества А равносильно выполнению неравенства ~ж~ < г, которое при некотором г > 0 верно для всех ж б А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
