Главная » Просмотр файлов » V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 3

Файл №1081393 V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 3 страницаV Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393) страница 32018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тем не менее сохраняются многие теоремы, известные в теории функций одного действительного переменного: связь между дифференцируемостью и непрерывностью, теорема Тейлора. Основные приемы исследования функций многих переменных на экстремум базируются, как и в случае функций одного действительного переменного, на свойствах дифференцируемых функций. На функции многих переменных переносятся необходимое и достаточное условия локального экстремума. Но в этом разделе теории функций появляется совершенно новая задача — исследование функций на условный экстремум.

В предлагаемой книге, как и в других выпусках серии, серьезное внимание уделено численным методам решения задач и практическим приложениям теории функций многих переменных. Численным методам функций многих переменных посвящена отдельная глава, а к приложениям теории в той или иной 19 мере можно отнести четыре из одиннадцати глав книги. Особенно много внимания уделено геометрическим приложениям, в частности теории поверхностей. Особо отметим последнюю главу книги, относящуюся к дифференциальной геометрии и посвященную одному из современных разделов этой области математики — теории многообразий. Эта теория теснейшим образом связана с дифференциальными свойствами функций многих переменных, что делает уместным ее появление в книге по функциям многих переменных. 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПБРБМБННЫХ КАК ОТОБРАЖ:БНИЯ Тематику этой главы можно назвать так: топология и-мерного линейного арифметического пространства..

Сюда относятся вопросы, связанные с близостью элементов К'": расстояние в К", окрестности, открытые и замкнутые множества,. Изложение этих вопросов дано достаточно кратко, а более подробное изложение в общем случае метрического простук~н; ства можно найти в ~11.

Понятие окрестности точки позволяет ввести понятие непрерывности функции многих переменных. 1.1. Открытые и замкнутые множества Множество упорядоченных наборов (х1, х2, ..., х„) 1корпмжей) из и действительных чисел х1, х~, ..., х„есть о-я декартова степень К" множества К действительных чисел. Такие наборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, которое также принято обозначать через К'".

В этой книге упорядоченные наборы действительных чисел будут активно использоваты я, но в несколько ином контексте. В рамках линейной алгебры ~171 элементы множества. К" часто называют арифметпичесхими векторами и используют в,апнейных операциях, Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций, но и оценивать степень их близости, характеризуя ее расстояиием в К".

В таком контексте элементы К" удобнее называть не векторами, а точками. Зто соответствует традиции, согласно которой числа., т.е. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементы линейного пространства К" мы в зависи- 22 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ Обозначим через а произвольную точку из К", и пусть е— положительное число. Определение 1.1. Множество 1!(и,е) тех точек из К", расстояние от которых до точки а Е К" меньше е, е > О, т.е.

множество 1.! (а,е) = (х Е К": р(х, и) ( е), называют е-окрестпностпью тпочки а, а множество Ща,е) = 1.!(и,е) ~ (а) = (х Е К": О < р(х, и) ( е) проколотпой е-окрестпностпью точки а. Проколотая я-окрестность точки а состоит из всех точек ее я-окрестности, кроме самой точки а.

В случае и = 1 е-окрестность Ща,е) точки а Е К представляет собой интервал (а — е, а+е) с серединой в точке а, имеющий длину 2е (рис. 1.1,а). Если и=2, то с-окрестность Ца,е) точки а Е К~ состоит из точек плоскости, которые лежат внутри окружности радиуса ~ с центром в точке а (рис.

1.1, б). Если же и = 3, то я-окрестность 1!(а,я) точки а состоит из точек, которые расположены внутри сферы радиуса е с центром в точке а (рис. 1.1, в). В общем случае множество точек х б К"+', для которых р(х,а) = я, называют и-мерной сферой радиуса е с центром в точке а, так что можно сказать так: е-окрестность точки а б К" — это отпкрытпый и-мерный шар радиуса, е с центром в точке а, т.е.

множество точек, лежащих внутри (и — 1)-мерной сферы радиуса е с центром в точке а. х, Рис. 1.1 1. 1. Открытые и замкнутые множества 23 Отметим свойство вложенности я-окрестностей одной и той же точки. Теорема 1.1. Для любой точки а б К" при е1 < е~ ее ~1 окрестность содержится в ее я2-окрестности. ~ф Пусть х — произвольная точка из ~~-окрестности Ца,е1) точки и. Согласно определению 1.1, расстояние между точками т.

и а удовлетворяет неравенству р(ж,а) < я~. Так как е1 < я2, то и р(ж,а) < с~. Значит, согласно определению е2-окрестности, точка ж принадлежит ея-окрестности Ца,с~) точки а. итак, доказано, что при я1 < я~ любая точка г1-окрестности точки а принадлежит ея-окрестности точки а: 0(а,я1) с 13(а,г2). ь Определение 1.2. Точку а множества А С К" называют внушремкей точнов этого мтожестпва, если существует е-окрестность 11(а,я) точки а, целиком содержащаяся в А: Ща,е) С А. Множество всех внутренних точек А называют внупьренностпьто множества А и обозначают ЫА.

Если каждая точка множества А является его внутренней точкой, то само множество А называют открытым мможестввом. Замечание 1.1. Пустое множество по определению считают.открытым. На рис. 1.2 множество А на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подразумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству А, а штриховой — нет.

Точка Рис. 1.2 Р является внутренней точкой множества А, а точки лежащие на сплошной линии, например точка С, — нет. Это значит, что множество А не является открытым, так как содержит точки, не являющиеся для А внутренними. Пример 1.1. Простейшими открытыми множествами в К" являются е-окрестности точек ~1-5.2]. Действительно, рассмотрим произвольную точку и б К" и ее я-окрестность ~1(а,е).

Если ж Е 13(а,е), то по определению 1.1 имеем р(х, а) < е. Выберем 24 1. ФУНЕЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1(А1~ ОТОБРАЖЕНИЯ положительное число ~~ — — р(х,а). Если точка у принадлежит.~-окрестности 1.1(х,~1) точки х, то р(у,х) < 1. Согласно неравенству треугольника, РЬ, а) < РЬ, х) + Р(х, и) < е~ + Р(х,а) = ~. Значит, точка у принадлежит я-окрестности ~1(а,е) точки сс.

Поскольку точка у б Цх,я1) может быть выбрана произвольно. заключаем< что !У(х<е1) С 11(О<'). Итак, любая точка х Е 1.1(а,е) имеет е1-окрестность !1(х,е1), целиком х попадающую в 1Ца,я). Это означает, < что точка х внутренняя для множее ства Ща,е), которое, следовательно, 1 является открытым (именно поэтому е-окрестности точек в К" называ.ют Ъ открытыми л.-мерными шарами). !1а рис. !.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при и = 2.

\ 1'~ < Ъ Ъ', < < < < < г < < Ф е г Пример 1.2. Интервал (х1,х2) числовой прямой можно рассматривать как е-окрестность точки и = (х1+ х~)~2 б К, являющейся серединой этого интервала, при этом = (хя — х1)/2. В соответствии с примером !.! интервал -- открытое множество. 4~ Свойство множеств быть открытыми может сохраняться при их обьединении и пересечении ~1-5.2~. Теорема 1.2. !1ересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

Объединение любого числа. открытых множеств — открытое множество. < Докажем первое утверждение. Пусть множества Г;, с. =1, п, открыты и 1.1, Открытые и замкнутые множества Если множество Г пустое, то оно открыто по определению. дяя непустого множества Г рассмотрим произвольную точку а ~ Г. Согласно определению пересечения множеств, она.

принадлежит каждому из множеств Г;, г =1,п. Так как эти множества, открыты, то по определению 1.2 для каждого множества Р; существует такое число е; > О, что е;-окрестность точки а содержится в Г;, Положим е = аи~(е1,...,е„). Тогда при всех ~ = 1, и выполнены неравенства я < е;.

Согласно свойству вложенности е-окрестностей (см. теорему 1.1), имеем 1!(и,к) С Ща,~;) С Г;, ~ = 1, и. Поэтому е-окрестность ~И(ад) содержится и в пересечении всех множеств Г;, т.е. в множестве Г, а это по определению 1,2 означает, что а — - внутренняя точка для множества Г. Поскольку в качестве точки а может быть выбрана любая точка множества Г, это множество открытое. Для доказательства второго утверждения рассмотрим множество где множества К С К", г'. б 1, открытые, а! — некоторое множество индексов. В случае пустого множества Р утверждение очевидно, и мы будем считать, что у' не пусто. Если точка а принадлежит множеству 1~, то по определению операции объединения множеств точка и принадлежит множеству К хотя бы для одного значения индексы = Й.

Так как 1:~ -- открытое множество, то существует е-окрестность Ща,я) точки а. содержащаяся в ~~.. Следовательно, эта окрестность содержится и в 1'. Но это значит, что а — внутренняя точка $~, а. так как она может быть выбрана в 1~ произвольно, множество Г открытое. Ь Определение 1.3. Окрестпностпью тпочки а Е К" называют любое открытое множество Г в К", включающее в себя зту точку.

При этом множество Г ~ (а) (т.е. окрестность точки, из которой удалена сама. точка) называют прокояотпой Оттрестпностпью точки а. 1.1. Открытые и замкнутые множества является множество (т Е К": р(ж,а) = ~), т.е. (и — 1)-мерная сфера. Определение 1.5. Множество А С К" называют оеранаявнным множеством, если существует такое положительное число г, что г-окрестность точки 0 = (О, ..., 0) содержит множество А. Поскольку г-окрестность точки О Е К" описывается неравенством р(ж,О) = ~х~ < г, условие ограниченности множества А равносильно выполнению неравенства ~ж~ < г, которое при некотором г > 0 верно для всех ж б А.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,36 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее