V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 8
Текст из файла (страница 8)
что зти формулировки включанэт В себя и глучай изолированной точки множегтва А. Функцию ~: А С К" -~ К"', непрерывную во всех то*гках множества А, называют непрерывной но этом множестиве. 11епосредственным гледствием теоремы 1.4 являетгя гледуюгцее утвержден ие. Теорема 1.8. Для непрерывпогти «гнгггорноя' фуннцгггг.икогмя ггеремгнныт. в некоторой точке необходимо н достаточно. чтобы все ее ноордггггпгггэггяг фуннцнгг были непрерывны « .этой Точке. ~ ПУСТЬ фуНКцИя ~: А С К" — ~ К'", ~(Х) = (~г(Х) ... ~эн(.Г)), непрерывна в некоторой точке а ~ А, являкэгцейгя предельной ДЛЯ А.
По определению, 1.12 непрерывногти эчо означает„что гуц1ествует предел !пп ~(х) = Да). Ио теореме !.4 поглед- Х -+ й нее равенство:эквивалентно тому, что гугцегтвуют п1эедел,! ,г~(Г2 = гг(П), г = 1, 222. НО ЭТО, В ГВОЮ ОЧРРРДЬ, ОЗНанаР'!' НРП ЭР ,р -1эыВг!Огть В тО'гкР и кОО1)Динатных функцпй ~,('Г), г = 1, гн (см Определение 1.12). Обратное утверждение доказываетгя аналогично. Если все функ! г. ° 'ции Д(х), 2 = 1, ггг, непрерывны В точке а, то В этой точке 54 1. ш'нкции многих пктмкнных клк отоюлжкнин существуют пределы !ип Д(а) = Д(а), г = 1, п~.. В этом случа„ Х-Фя по теореме 1.4 существует предел 1ип Дх) = ~(а), означающий Д'лба что векторная функция Дх) непрерывна в точке а.
~ Следующие так называемые локальные свойства непрерыв ных функций многих переменных вытекают из свойств 2' 6' предела. функции многих переменных (см. 1.3). !'. Если функции Д: А С Е" -+ Е"', ~ = 1,Й, непрерывны в некоторой точке а Е А, то любая их линейная комбинация непрерывна в этой точке. 2'.
Если скалярные функции ~, д: Л С В" -+ Е непрерывны в некоторой точке а б Л, то их произведение ~д, а при д(а) ф 0 и частное ~/д непрерывны в этой точке. 3'. Если функция ~: А С В" -+ И"' непрерывна в точке а (= Л, то она ограничена в пересечении множества Л с некоторои окрестностью точки а. 4'. Если скалярная функция ~". А С Е" -+ Е непрерывна и точке а и Да) > 0 (Да) < 0), то существует окрестность точки а, в которой функция ~ в точках множества Л положительна (отрицательна). 5'. Если скалярные функции ~, д: А С Е" -~ И непрерывны в точке а Е А и Да) < д(а), то существует окрестность этой точки, в которой в точках множества Л выполнено неравенство Лх) < д(х).
Отметим, что и сформулированных свойствах упоминание о множестве А можно опустить, если точка а является вндпгрсмнсй точкой мможсствп Л. Отметим также, что укаэанные свойства переносятся на мптричиые Функции, так как на матричные функции распространяются соответствующие свойства предела функции многих переменных. ~,4. НепреРывность функции многих переменных Если матричные функции М;: А С К -+ М„(К), ю = 1, Й, ывны в точке а Е А, то любая их линейная комбинация непрер е-ывиа в этой точке. непрев Если матричные Функции М~.
А С К" — ~ Мр (К) и „. А С К" -+ М „(К) непрерывны в точке а Е А, то и их 1ИЯ' изведение М~ М~. А С К" — ~ Мр„(К) непрерывно в точке а. у'. Если матричная функция М: А С К" -+ Мр (К) непревна в точке а 6 А, то для любой нормы й й в Мрд(К) скалярная ф,нкция ~~М(х)~~ непрерывна в точке а. .~ .
Если матричная Функция М: А С К" — ~ Мр(К) непрерывна в точке а б А, матрица М(а) невырожденная, то матрица ,ц(х) невырождена в некоторой окрегтности точки а, причем матричная функция (М(х)) ' непрерывна в точке а. 5". Если матричная функция М: А С К" — ~ М„(К) непрерывна. в точке а Е А, матрица М(х) симметиричегка» в некоторой окрестности точки а и матрица М(а) положительно (отрица.— тельно) определена, то матрица М(х) положительно (отрицательно) определена в некоторой окрестности точки а. Замечание 1.8.
Свойгтва 1' и 2" матричных функций повторяют аналогичные свойства для функций многих переменных. Свойство 3' также не связано го спецификой матричных функций. Поясним, откуда вытекают свойгтва 4 и 5 . Определитель матричной функции может быть предгтавлен и виде некоторого многочлена от элементов матричной функ- " и. так как определитель числовой матрицы есть многочлен ции т от ее элементов [!!1~. 11озтому, если матричная функция М(х) неп е Рерывна в точке а Е А, то, гоглагно гвоигтвам 1' и 2 мат и Ричных функций, скалярная функция 4есМ(а) также не- Р рывна в точке а и сохраняет знак в некоторой окрестности этой то точки. Следовательно, существует такая окрестность Г ГОЧКИ и а, ~то матрица М(х) при х Е Г невырождена.
Об Ратная матрица может быть записана г помощью присоедииеии "иои матрицью, Из такой записи вытекает, что элементы 56 1. ФУ111~Ш1И МНОГ11Л Ц1.'1 ЕМЕНН1 1Х ЕЛЕ ОТОБРЛЖЕН1гц матричной функции (М(х)) можно представить как мн гочлен от элементов матричной функции М(х), деленный на скалярную функцию де1, М(х). Следовательно, если матричная функция М(х) непрерывна в точке а Е А, то матричная функ ция (М(х)) также непрерывна н этой точке. Свойство 5 можно доказать аналогично. Условие, что сим метрическая матрица М(х) положительно определена при х = а можно выразить в соответствии с критерием Сильвестра со вокупностью неравенств Ь1(а) > О, ..., Ь„(а) > О, где Ь;(х) угловой минор матрицы М(х) порядка г.
Миноры непрерывной матричной функции, как и ее определитель, являются непрерывными скалярными функциями. Следовательно, они сохраняют эпак в некоторой окрестности точки а Е А. Соглахно критерию Сильвестра, матрица М(х) является положительно определенной для всех х из некоторой окрестности точки а. Если симметрическая матрица М(х) отрицательно определена при х = а, то матрица — М(х) положительно определена в точке а.
Поэтому свойство 5* верно и для такой матричной функции. Для функций многих переменных, как и для функций одного переменного, верна следующая теорема о непрерывносч и сложной функции ~1-5.7~. Теорема 1.9. Если функция 1: А С К" — ~ К"' непрерывна в точке а Е А, 1(А) С В и функция д: В С К'" — ~ К~ непрерывна н точке 6 = 1(а), то сложная функция (д о 1)(х) = д(1 (х)), х Е Л, непрерывна в точке а. 4 Обозначим точку д(6) через с и фиксируем любую е-окрестность И(с,.~) С К~ этой точки. Из непрерывности функции д и точке 6 следует. ~то существует такая о1-окрестность (~(6, д1 ) ~: С К'" точки 6, что д(х) Е Г(с, ) при х Е ВП Г(6,61), или, дру гимн словами, д(Вй !1(6,51)) С ~И(с,г).
~,4, Непрерывность функции многих переменных ично из непрерывности функции ~ в точке а следует, Анзлогич р стности существу 'товдейт „ атак к (' Й)с 8~~, Следовательно, (д' У)(АП щ Итак, для любой е-окрестности Г(с,е.) точки с найдена такая 6-окрестность Ща,о) точки а, что (до~)(АПГ(а,о)) С Г(с,с). Согласно определению 1.12, зто означает, что сложная функция до~ непрерывна в точке а. На рис, 1,9 приведена геометрическая иллюстрация доказательства теоремы. ~ Рис. 1.9 П 2 2 в ж' ример 1.17. Функция ~(х,у) = е "! определена всюду Роме точек прямой г, = О, В своей области оиреде- Декил зта зта функция непрерывна как комиозииил непрерывных ФРнкии,1 Чии е и 1 = р~/у~ (см.
теорему 1.9), Функция ~ = у2/у~ является ся непрерывной в области х ф О как частное двух непре- рывных ы х функции (см. свойство 2' непрерывных функций). 58 У, ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕН!щ В точках прямой х = 0 функция Дх,у) не определена, но, м, жет быть, ее можно доопределить в этих точках так, что он будет непрерывной в Е~? Чтобы ответить на вопрос, возмо . но ли такое доопределение, надо рассмотреть предел функци„ в точках прямой х = 0 по множеству А = ((х, у) Е Е~: х ф О~ Существование предела функции в некоторой точке (хо, уо) н~. обходимо, чтобы в этой точке было возможно доопределени функции по непрерывности, т.е.
такое доопределение, при котором функция будет непрерывной в точке (хо, уо). Если уо ~ О, то функция у~!х2 является бесконечно больцюй в точке (О, уо), а функция е ~ ' имеет предел в этой точке по множеству А, равный нулю. Но в точке (О, 0) предел этой функции по множеству А не существует. Действительно. рассмотрим множества А~ = ((х, у): у = йх, х ф 0~. Нетрудно увидеть, что у~/х2 = Р при (х, у) ~= А~.
Следовательно, !пп ~(х,у) = е ~ . (х, р1~~10, 01 Предел функции ~(х,у) в точке (О, 0) по множеству А~ зависит от выбора множества А~. Значит, в силу следствия 1.1 функция Дх,у) не имеет предела в точке (О, 0) (см. также пример 1.И), Итак, функцию Дх„у) нельзя доопределить так, чтобы она было непрерывной в точке (О, 0). Но подобное доопределени~ возможно в отношении других точек прямой х = О, поскольку функция Дх,у) = е ~1' хфО; определена в Й2 и непрерывна всюду в И~, кроме точки (О„О). 1.5. Линии и поверхности разрыва Точки, в которых 4унхция многих переменных ~: А С й" -~ -+ Й"" определена, но не является непрерывной, называют тонкама разрыва этой функции.
Напомним, что точки, в которых функция исследуется на непрерывность, относятся к 1.5. Линии и поверкногти разрыва „одределения этой функции. Точка разрыва. функции 6лве~пи у:АС ~ И должна быть точкой множества А, являющейся А предельной, так как в изолированных точках множества для „кция ~ непрерывна всегда (см. 1.4). К точкам разрыва фун нкции ~ часто ОтиоСЯТ И ТОЧкй, коТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ Предедьным ыми точками А, но самомУ множествУ не ПРинадлежат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
