V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При т = 1 равенство (2.6) упрощается. В этом случа~ функция ~ скалярная, и в равенстве (2.6) матрица А является строкой длины и, т.е. А = (а1 а2 ... а„), а функция а(Ьх) это бесконечно малая при Ьх -+ О скалярная функция. Значит. при т = 1 соотношение (2.6) можно представить в виде ЬДх) = а~ Ьх~ + а~Ьх~+... + а„Ьх„+ о(Ьх) ~Ьх~. (2.7) 2.4. Необходимые условия диффереицируемости Следующая теорема сводит исследование дифференцируеости векторной функции к скалярному случаю.
'теорема 2.2. Векторная функция ~: Е" -+ И"' дифферен„„руема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке ифференцируемы все ее координатные функции. < Доказательство фактически состоит в переходе от матричнои формы записи условия (2.6) дифференцируемости векторной функции к его записи в координатной форме. Действительно, в равенстве (2.6) положим ~(х) = Ц(х) ...
~„,(х)), а(Ьх) = (а1(Ьх) ... а (х)) и А = (а;.). Тогда (2.6) можно записать следующим образом: Ь~1(х) а а 2 ~~У (х) ать ат2 а „Ах а! (х, Ьх) ~ЬХ~, О„,(х, Ьх) или в координатной записи ЬД(х) =а;1Ьх)+...+а;11Ьхд+О;(,Ьх)~Ьх~, 3 = 1, т, (2.8) где а;(Ьх) -+ О при Ьх -«О. Итак, соотношение (2.6) эквивалентно (2.8), но представление (2.6) по определению означает дифференцируемость векторной функции Дх), а представления (2.8) — дифференцируемость координатных функций Л(х), ~ = 1, т- Ф 2.4. Необходимые условия дифференцируемости Теорема 2.3. Если скааярная функция ~: Ж" -«И диФФ~- ренЧируема в точке х, то у этой функции в точке х существуют все частные производные Д (х), г = 1, и, причем коэффициен- 2.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ ты а; в представлении (2.7) равны значениям соответствующих частных производных в точке х: а;=Д(х), г=1,п. ~ Для дифференцируемой в точке х функции ~ представление (2.7) верно для любого приращения Ьх. В частности, зто представление верно, если приращение Ьх имеет вид Ьх = (О ... О Ьх; О ... О) , Ьх; ф- О, где номер г выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае ~Ьх~ = ~Ьх;~, соответствующее полное приращени» ЬДх) функции ~(х) сводится к ее ~-му частному приращению Ь;~(х), а равенство (2.7) принимает вид ЬУ(х) = Ь;Дх) = а;Ьх;+ а(Ьх) ~Ьх;~.
Разделив последнее равенство на Ьх; и перейдя к пределу при Ьх; -+ О, получим 1ип ' =а;+ 1нп а(Ьх) — =а;, АУ(х) ~Ьх;~ Ьх,-+о Ьх; ' Ьх;-+о Ьх; поскольку 4ункция а(Ьх) бесконечно малая при Ьх; -+ О, я отношение — '==Е1 ограничено, так что последний предел 1Ьх,1 Ьх, равен нулю (см. 1.3, свойство 9' предела функции многих переменных). Следовательно, производная Д (х) в точке т существует и равна а;. ~ Следствие 2.1. Если скалярная функция ~: Ж" -) Ж дифференцируема в точке х, то в этой точке ее полное приращение ЬДх) можно представить в виде Ь~(х) = Д, (х)Ьх1+... + Д„(х) Ьх„+ а(Ьх) ~Ьх~, (2.9) где а(Ьх) -+ О при Ьх -+ О.
2.4. Необходимые условия дифференцоруемости 79 ЬДХ) = ~'(х)ЬХ+ а(ЬХ) ~ЬХ~, (2.10) где а(ЬХ) -+ О при Ьх -+ О. .ф При т = 1 утверждение следствия вытекает из следствия 2.1. Поэтому остановимся на случае т > 1. Согласно теореме 2.2, из дифференцируемости функции Дх) = ®(х) .. ~,„(х)) в точке х следует дифференцируемость в этой точке всех ее координатных функций Д. При этом в представлении (2.8) коэффициенты а;; есть значения частных производных координатной функции Д в точке х по соответствующим переменным: ЬЛ( ) = ' Ьх,+...+ ' Ь „+;(~ )~а4.
(2.11) д~ь(х) дЯх) дх1 дх„ Значит, в представлении (2.6) матрица А есть матрица, составленная из значений частных производных координатных функций в точке х, т.е. матрица Якоби ~'(х), а векторная функция а(ЬХ) имеет своими координатными функциями функции й~(ЬХ). Так как все функции а;(Ьх) являются бесконечно малыми при Ьх -+ О, то и векторная функция а(ЬХ) является бесконечно малой при Ьх -+ О. 3~ Следствие 2.3.
Если векторная функция дифференцируема в некоторой о6ласти, то во всех точках этой области существуют частные производные ее координатных функций и следовательно, в области существует ее матрица Якоби. 1~ак и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифФеренцируемости функции многих переменных, связанное с ее н'прерывностью. Следствие 2.2.
Если функция У: Е" -+ К дифференцируеа в точке х, то в этой точке существуют частные производные этой функции по всем переменным, определена ее матрица а о6и ~'(х) и в охрестности этой точки полное приращение дух) можно представить в виде 80 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Теорема 2.4. Если функция многих переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. < Пусть функция У(х) = (Д(х) ... ~„,(х)) дифференцируема в точке а. Тогда по теореме 2.3 все ее координатные функции Д(х) дифференцируемы в точке а, а их полные приращения в точке а можно записать в виде ЬЯа) ы~ ' Ах~+а;(ЬжИЬх~, дЯа) дх~ где а;(Ьх) -+ О при Ьх -+ О. Из этого представления следует, что существует предел 1~т ЬД(а)=~ ' 1~т Ьл~+ 1!т (щ(Ьх))Ь4) =О, " дЛ(а) ьж-+О дх~, ьх-+О Ьх-+О 1=1 Следствие 2.4. Если функция многих переменных дифференцируема в некоторой области, то она непрерывна в этой области.
Следующие два примера показывают, что необходимые условия дифференцируемости, о которых говорится в теоремах 2.3 и 2.4, не являются достаточными условиями дифференцируемости, т.е. обращения соответствующих теорем неверны. Пример 2.3. Функция двух переменных О, х =у=О, ~(х,у) = означающий, что функции Ях), г = 1, т, непрерывны в точке а. Действительно, полагая Ьх = х — а, заключаем, что Ях) = = Яа)+Ь4(а).
При х-+ а имеем Ьх-+ О и, следовательно, ЬЯа) -+ О. По теореме 1.5 имеем Д(х) -+ Яа) при х -~ а, что и означает непрерывность координатной функции Ях) в точке а. Так как все координатные функции Д(х) непрерывны в точке а, то по теореме 1.8 и векторная функция ~(х) непрерывна в точке а.
3» 2.4. Необходимые условии дифференцируемости Пример 2.4. Функция двух переменных ~(х,у) = !х!+ !у! непрерывна в точке (О, 0), но в этой точке не существуют ее частные производные Д(0,0) и,~„'(0,0). Поэтому данная функция не может быть дифференцируемой в точке (О, 0). ~ф Два необходимых условия (непрерывность в точке и существование частных производных) также не гарантируют дифференцируемость функции в точке. Пример 2.5. Функция двух переменных У(~ у)= О, х =у=О, непрерывна при х~+ у~ ф 0 как отношение двух непрерывных функций. Эта функция непрерывна и в точке (О, 0), поскольку из двойного неравенства х~ч !х!!у! !Р !' 2 0< "свойства 8' предела функции многих переменных (см.
1.3) следует существование предела Ив, ', =О=ДО,О) ( Р) „(О О) Х2+ У2 Сл~довательно, функция дх,у) непрерывна в И~. вн „ачале координат имеет частные производные. При этом ~р(0,0) = О, ©0,0) = О, так как Дх,О) = — 0 и ДО,у) = О. Если б, эта функция была дифференцируемой в точке (О, 0), то по ореме 2.4 она была бы непрерывной в этой точке (О, 0). Однакоэто не так (см. пример 1.19). Следовательно, функция ~(х, у) „е дифференцируема.
в точке (О, 0), хотя и имеет частные производные в этой точке. г. диФтюнцигтмык функции 82 Рассматриваемая функция имеет частные производные вск~- ду в Вг. Действительно, при хг+ уг ф 0 хг(хг — уг) ~„(х,у) = 3 ( г1 „г)г В точке (О, 0) частные производные тоже существуют, причем Д(0,0) = О, ~„'(0,0) = 0 (см. пример 2.3). Отметим, что частные производные не являются непрерывными в точке (О, О), так как, например, Д(х,у) — ~ 1/2 у' О при (х, у) -+ (О, 0) по множеству у=х. Докажем, что функция Дх,у) не дифференцируема в точке (О, О).
Полное приращение функции Дх,у) в точке (О, 0), соответствующее приращениям Ьх и Ьу переменных, имеет вид ЬДО,О) = ~(0+ Ах, О+Ьу) — У(0,0) = (Ьх)гну Ьхг+ Ьрг Если бы функция была дифференцируемой в точке (О, О), то. учитывая значение частных производных, мы имели бы равен- ство вида (2.9): — а(Ьх, Ьр) (Ьх)гьу ~хг.1 ~~г 1 -Ьх = ~/2~Ьх~а(Ьх, Ьх), 2 откуда при Ьх ф 0 имеем ~о(Ьх,Ьх)~ = ~~2/4, а это проти- воречит тому, что о(Ьх,Ьу) является бесконечно малой прп (Ьх, Ьу) -+(О, 0). где а(Ьх,Ьу) -+ 0 при (Ьх, Ьу) — ) (О, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
