V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В этой связи дифференциал ф(х) называют дифференциалом первого порддк(я функции ~. Из теоремы 2.3 следует, что для существования в точке х дифференциала второго порядка функции ~ необходимо существование всех частных производных второго порядка этой функции в точке х. Достаточным же условием существования дифференциала является условие, что укаэанные производные являются непрерывными функциями в точке х (см. теорему 2,5). 106 3, ПРОИЗВОДНЫЕ ВЪ|СШИХ ПОРЯДКОВ ренцируемой функцией по совокупности переменных х.
Повторяя последовательно процесс вычисления дифференциалов, приходим к дифференциалу функции й-ео порядка, который является дифференциалом первого порядка от дифференциала (Й-1)-го порядка функции ~: Достаточным условием существования дифференциала Й-го порядка в области Х является й-й порядок гладкости функции в этой области, т.е. условие ~ Е С~(Х). С помощью оператора д д — пх1+...+ —,Ыха дх1 '" дх„ дифференциал Й-го порядка функции ~ Е С" удобно записывать в виде и Ди)=( —,ил~+...+ — нл„) Дл). (З.Ц д д дх1 дх„ Здесь выражение в скобках возводится в степень Й по обычным алгебраическим правилам, причем полагают, что где использовано обозначение пх; = (пх;) Пример 3.4.
В случае функции двух независимых переменных г =,|(х,у) Е С™ имеем ~Ь = Д и'х + ~„' п'у, поэтому Н ~ — д(У Ых+~'„Иу)— = У'Их+ ~'„'Иу)',гх+ (",йх+ Д„йу)' йу = = ~'" дх + 2~"„Ихду+ ~'„"„ду~. 3.3. Дифференциалы высших порадков 107 Э о же выражение для дифференциала второго порядка функии двух переменных получается и по формуле (3.4): ° г ,)1Дх,у) = ( — их+ — иу) У(л,у) =Д' Их~+2~' иыу+~" ну2. уак, для функции х = х~у~ ее второй дифференциал имеет вид Мгх = 2уздхг+ 12хугюхбу+ бхгубуг Пример 3.5. Найдем второй дифференциал словесной функции я = е" + и, и = хг+ уг. Первый дифференциал этой функции можно найти, используя инвариантностпь формы записи дифференциала.
Имеем ~Ь= сне" +и) = (е" +1) Ыи, где ц г+ г) 2 ~ +2 Дальнейшее дифференцирование дает Фа = ~(е" + 1) ~и+ (е~ + 1) ~ги = е" (~и)г+ (е" + 1)ф,2х~х+ 2у~у) = = е "(2хйх+2уйу) + (е" + 1)(2йх~+2йуг) = =(4е" х +2е" +2) Йх +8е" хуйхйу+ (4е" у +2е" +2) йуг, где и по-прежнему обозначает функцию и(х, у) = хг+ уг. Вычислим, например, второй дифференциал функции в точ"е х = у = О. В этой точке имеем и(0,0) = О. Следовательно в выражение для дифференциала необходимо подставить *= у= и =О. В результате получаем и'гг(0 О) = 4сЬг+4фг 1от же ответ можно получить, вычислив производные втор~"о порядка функции г= е +" +хг+уг. Отметим, что дифРенциал второго порядка не обладает свойством инвариант- ~®и формы зависи даже в случае функций действительного 108 3.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДЕОВ 3.4. Формула Тейлора Напомним, что если у действительной функции действительного переменного у($) в интервале (О,Т) существует конечная производная (т+1)-го порядка, то при любом ~ б 10, 1') имеет место формула Тейлора (а точнее, формула Маклорена г остаточным членом в форме Лагранжа) ~11): ( ) ( ) д'(0)~ „ у"(0)~ „ у( 1(0)~ д1"'+'1(д~)~„, , 1! 2! т! (т + 1)! где д Е (О, 1) — некоторое число. В частности, при 1 = 1 (если Т > 1) имеем у'(0) д" (0) у1 1(0) у1 +'1(д) д(1) =д(0)+ — + — +...+ + .
(З. ) 1. 2 " т.' (т+1)'. Следующая теорема обобщает формулу Тейлора на случая скалярной функции многих переменных. Теорема 3.2 (тпеорема Тейлора). Пусть скалярная функция многих переменных 1 определена в некоторой окресп1нос н~» У точки а б В", причем У б Г'~+'(0).
Если отрезок, соединяя~ щий точки а= (а1, ..., а„) и а+Ьх= (а1+Ьх~, ..., а„+Ьх ~ содержится в О, то для функции ~(х) имеет место формула Тейлора Й~Яа) Й""+'~(а+ дух) И (т+ 1)! (3.6) переменного. Если бы это свойство имело место, мы могли бы записать а~« = «„",Ии~ = е аи~. Но, сравнивая с предыдущими вычислениями, легко увидеть, что мы при этом теряем слагаемое Д а-и, которое в нашем случае равно (е" + 1)(2сЬ+ 2Ыу) и не обращается в нуль.
109 ЗА. Формула Тейлора УР) = Да+~~~), (3.7) определенную на отрезке 10, 1). Эта функция т+1 раз непрерывно дифференцируема на отрезке 10, 1], и потому для нее справедливо равенство (3.5). Покажем, что это равенство для функции вида (3.7) можно преобразовать в равенство (3.6). Действительно, у(1) = Да+ 1 ° ~ж) = ~(д+ ~~), у(0) = Дп) — (~о~(ц). Для вычисления производных функции у(1) рассмотрим ее как сложную функцию д(1) = ~(ж), м = а+ 1Ьх. Согласно свойству инвариантности формы записи дифференциала первого порядка, Ф(~) = (П*) = ( — ь~+" + — ь ) У(~) = д д дх1 "' дж.
д = ( — ьх,й$+...+ — ьх„й)Ях) = д дй1 д~п =( — ьй,+...+ — дх„)пх)а, д д дй1 дй„ так как при фиксированных а и Ьж имеем Иж; = сна;+ 1Ьх;) = = 4ж;Й, ~ =1, и. Повторяя процесс дифференцирования, нахо- дим '( аИ) =и(НДАЛ)) = ( — ь*, +...+ — ьж„) Д*)й', д дх1 дю„ ° * ~ У(1) = Й(й '~(и)) = ( — ьх~ +... + — ьл„) 7(ж)й, д~)1 ' д~„ де д б (О, 1) — некоторое число, а И9(а) = Да) по определению. 4 Рассмотрим действительную функцию действительного пе- ременного 110 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Из найденных дифференциалов функции д(Ф) при 8 = 0 (что равносильно х = а) получаем д~ ~(0) = ~ —,Ьх1+...+ — Ьх„~ Да) =о Да), 1=1,т, дх1 хл и при Й = т+ 1 и ~ = д Е (О, 1) д д +1 д~ +11(д) = — Ьх~ +...
+ — Ьх„Да+ дух) = дх1 дх„ =в' + Да+дух). Заменяя в (3.5) производные функции д(1) согласно полученным формулам, приходим к равенству (3.6). > Как и в случае функций одного переменного, при а = 0 формулу Тейлора (3.6) часто называют формулоб Мамаоренв. Число т, определяющее количество слагаемых в формуле Тейлора, называют иорлдком формулы Тейлора. Последнее слагаемое в формуле Тейлора (3.6) называют остюаточным членом в форме Лагран!иса. Остаточный член можно также записать в виде о(~Ьх~~) (3.8) (читается: „о малое от ~Ьх~™"), и тогда его называют остаточным членом в форме Пеано.
Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид (3.9) Пример 3.6. Запишем формулу (3.6) для функции двух переменных ~(х,у) в случае ~п = 2: Дх + Ьх, у+ Ьу) = ~(х, у) + Д(х, у) Ьх + фх, у) Ьу+ + — (ф(х,у)(ьх) + 2Д'„(х,у!лхасу+ ~„"~(х,у!!ьу)~) + + —,Ы ~(х+дЬх,у+дЬу).
3.4. Формула Тейлора Замечание 3.1. Формула Тейлора (3.9) с остаточным чле„ом в форме Пеано справедлива при более слабых предположе„иях о функции ~, чем формула Тейлора (3.6) с остаточным чле„и в форме Лагранжа: она справедлива, если функция ~ имеет непрерывные частные производные до порядка т включительно в окрестности точки х и частные производные порядка т+1 в окрестности точки х, непрерывные в самой точке х.
Замечание 3.2. Формула Тейлора (3.6) с остаточным членом в форме Лагранжа не распространяется на случай веют ~веркой функции. Например, для функции у(1) = (сова в1п ~ ~) (см, пример 1.4), имеющей непрерывные производные любого порядка, формула Тейлора нулевого порядка (т = 0 в формуле (3.6) ) на отрезке [О, 2к] (а = О, Ьх = 2к) должна иметь вид ~р(2к) =~р(0)+Йр(О 2я). Но у(2л') — у(0) = (О 0 2я'), в то врет мя как Йр($) = (-81п1 со8$ 1) Й. Легко понять, что в любой точке $ б [О, 2к] хотя бы одна из первых двух координат дифференциала Йр(1) не обращается в нуль. Поэтому ни в одной точке Ф Е [О, 2я'] значение с6р(й) не может быть равно ср(2я') — ~р(0).
Замечание 3.3. При т = 1 формула Тейлора (3.9) с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки а б В" имеет вид У(а+ Ьх) = Да) + ф(а) + о($Ьх~) = Да) + Яа) сйх + о(! Ьх~). Отбрасывая в этой формуле остаточный член, получаем приближенное представление 1у функции ~ в окрестности точки а. 1'го обычно записывают в виде 1У(х) = ~(а) + ~'(а)(х — а) или Юу(х) = ~(а) + ЯаЯ, (3.10) ~де(= х — а, и называют ликейкым (или первым) прибли~еением фумкцаа ~ в точке а. Линейные приближения (3.10) функций широко используют ри изУчении локальных свойств (т.е. в окрестности заданной 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 112 Да+ Ьа) = ~(а) + ~'(а+ Вйа)Ьа, 0 < д < 1, или Да+ Ьа) — ~(а) = ~'(а+ Вйа) Ьа, 0 < д < 1, и известна как формула яояечкых приращений.
3.5. Дифференциалы в приближенных вычислениях Дифференциалы функций многих переменных и формула Тейлора для функций многих переменных могут использоваться в приближенных вычислениях примерно так же, как и в случае действительных функций одного действительного переменного. Применение аппарата функций многих переменных предпочтительнее, когда в вычисляемом выражении есть несколько величин, которые могут меняться независимо друг от друга. Покажем это на нескольких примерах. Пример 3.7.
Вычислим приближенное значение Это выражение можно рассматривать как значение функннв Дх,у) = Ч/хе+ух в точке с координатами х = 12,01, у = =4,98. Полагаем а= 12, Ь=5, Ьх=0,01, Ьу= -0,02. Тогда Ях,у) = Да+ Ьх, Ь+ Ьу) и У(а,Ь) + фа,Ь)Ьх+ Х,'Яа,Ь)Ьу. точки) математических моделей объектов, которые описываются сложными функциональными зависимостями. Наиболее широкое применение линейные приближения нашли в теории дифференциальных уравнений [Ч1Щ, приближенных методах решения задач математической физики 1ХП), [Х11!), методах оптимизации 1Х1Ч), теории случайных процессов 1ХЧ1Щ и др, Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка т = О имеет вид 3.5. Дифференциалы в приближенных вычислениях В точке (12, Ь) значение функции равно ~/!2з+%Чз = 13, Вычиляем частные производные функции: У.'(~,у) = (чй'+ у') = ~х(х,у) = (Ч/из+ уз) В результате получаем 12!+ бе+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
