V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поскольку функция многих переменных Дх) дифференцируема в точке а = (а~, ..., а„), то сложна» функция у(в) = ~(х(в)), где х(в) = а+ ви~, дифференцируем» в точке «=0 и 5.3. !'рвднс ит удовлетво!эяющий условию !!гэ!! = 1 и направлс нный нод углом ~/4 к оси абсцисс, получим с';Д(О О), 1, 1 ! — У.'(1,О) — + У„'( 1, О) — = —. 5.2. Градиент Определение 5.2. Пусть скиаярнаа 4ункция мнсэгих псрс.— даеяных ~: Е" -+ Е в точке х имеет все чпстныс процзводньи первого порядка. Вектор Кг ~У(х) = (У„'. (х), ..., У' (х)), составленный из частных производных первого порядка функции Дх) в точке х, называют градиентпом фрикции ~ и точке х.
Понятие градиента позволяет упростить запись формулы (5.2) для вычисления производной по направлению вектора и диффереицируемсэй в точке х функции. Используя стандартное скалярное умножение в Ж", формулу (5.2) можно записать и виде д~(х) ди = (игас! Дх), и,'). ("эЛ) Пример 5.2. Найдем производную скалярной функции и= х~ — 2уз+совх= трех переменных х, у и = и точке М(2; 1; О) по направленикэ в~ктора. и = ( — 1, 2, 2). Функция «(х, у, =) дифференцируема в любой точке и К'. Наидем ее частньн производные первого порядка в произвольной точке (х, у, г): и„.
= 2х — =инх=, и„= — бу, « = — л янх=. ( °,, ° „ / ° 2 / Гэ ! адиент с1эункции и(х,у, ) существует в любой точкс' и нмс'ет вид ! гас!и(х,у,=) = (2х — =япх=, — 6у, — хянх=). 1.1г 5. ! 'ЕОМЕТРИЧЕСЕИЕ ПРИЛОЖЕI И1Я Подставляя в:это выражение координаты точки Л4(2;1:()), находим дгас$и(2.!.0) = (4, -6, 0).
Для заданного вектора и вычисляем гдннпчныт' »эеюпор я' ». тем же направлением. Так как ~я) = 3. то и' = (-! /3, '2/3, 2/3). Воспользовавши» ь формулой (5.3)» окончательно получаем Оц(2,1,0), г 1~ г 2 В =(агади(2,1,0),п') =4 ~--,~+( — 6) —,+Π—,= — —. дя ' .'$3 3 3 Замечание 5.1. Непосредственно из определения вытекает, что при изменении направления вектора а на противоположное, т.е. при замене вектора а вектором -я. производная по направлению дифференцируемой функции меняет знак. д~(х) . ~(х1....,х., ~,х, +,с,х;+~,...,х„) — ~(х) д~(х) — = !ин дИ з-++И Я дт, * Таким образом. производная по направлению базисного вект»>- ра совпадает с соответствующей частной производной.
Однако обратим внимани~ на то. что производная по направлению определяется односторонним пределом, а частная производная — двусторонним. Поэтому возможна ситуация, ког,и производная по базисному направлению существует, а соответствующая частная производная -- нет.
Учитывая изложенно»' можно сказать, что производная по направлению в~ктораобоб щает понятие частной производной первого порядка, раснр» страняя это понятие на»лучай произвольного направления н заданной точке. Замечание 5.2. Пусть вектор я задает направление. совпадающее с направл»чцн м одного из векторов пиакдарюно, о ба.иса в И" (в Вз или В~ такое направление совпадает « направлением соответствующей координатной оси). Например.
п, = (О, ..., 1, ..., 0), где единица стоит на ю-м месте. Тогда и соответствии с определением 5.1 производной по направлению вектора получаем 5.2. Градиент 3эмечание 5.3. Производная по направлению имеет про- тую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим, например, функцию двух переменных ~(х, у) в окрестности точки (и, Ь) и некоторый вектор е = (Р, д). Единичный вектор и' в этом случае имеет координаты (сова, 81п а), где а — угол между вектором и осью абсцисс, а производная по направлению вектора 1н, в точке (а, Ь) равна д~ . Ца+ 1соаа, Ь+ Мпо) — = 1пп дя ~-++о т.е.
совпадает с правосторонней производной функции у(1) = — ~(а+йсова, Ь+Еаша) в точке й = О. График функции у(й) можно представить как сечение поверхности х = Дх,у) вертикальной плоскостью, пересекающей координатную плоскость хОу по прямой Ь, заданной параметрическими уравнениями х = а+ 1сова, у= а+1япа, г=О (рис. 5.1). А тогда односторонняя производная функции ~р(~) представляет собой тангенс угла наклона У' односторонней касательной в точке Р к сечению графика функции х = Дх, у) указанной плоскостью.
Поскольку производную действительной Функции одного действительного переменного в точке интер- !44 5. ГЕОМЕТРИЧЕСЕИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ претируют как скорость роста функции, производную функ- ции ~(х,у) по направлению вектора п можно трактовать как скорость роста этой функции в направлении этого вектора. Замечание 5.4. Для векторной функции многих «ере.игнт ньт ~: Ж" -+ В'", ~(х) = (~~(х) ... ~„,(х)), строки мптриць~ Якоби ~'(х) в точке х представляют собой градиенты координагиных функций в этой точке.
Следовательно, матрицу Якоби можно записать в блочном виде с использованием градиентов координатных функций: ~гад ~~ (х) 1,гад~ (х) Замечание 5.5. Определение производной по направлению вектора можно было бы с помощью соотношения (5.! ) распространить на векторные функции многих переменных.
Однако такое обобщение не нашло применения и в литературе не встр»- чается. Остановимся на некоторых свойствах градиента функции. Свойство 5.1. Если скалярная функция ~: Ж" -+ И дифференцируема в точке х Е Е", то в этой точке — = пр„! гад~(х), дух) Дгг и р !) где прьа — проекция вектора а на направление вектора Ь. 4 В случае и = 2 или 3 соотношение (5.4) эквивалентно (5.3) в силу формулы связи между ортогональной проекцией и скаляр- ным произведением двух векторов !1!!1: (:").:)) (ж, у) = ~м~ прфу, в которой надо взять ж = и', у = дга4 ~(х) и учесть, что !гг,'! = ! При и > 3 формулу (5.5) следует трактовать как определенис 145 5.2. Градиент ортогональной проекции вектора у на направление вектора х.
Это также позволит записать равенство (5.:3) в виде (5.4). ~ Свойство 5.2. Если функция ~: И" -+ И дифференцируема в точке х б И", п = цга4 Дх) 7' О, то — = ! дгас1 Дх) !. Ю( ) дп 4 Если и =~гас!~(х), то п'= ~ ~( ~ и, согласно (5.3), ! кгаЬ У(х) ! — цгЫ Дх), дух) яга~ У(,1 ! дгм1 ~(х) !~ ди ' !Кга4У(~)! !ега4Дх)! = !Кга4 У(х)!. В Свойство 5.3.
Если скалярная функция ~: И" ~ И дифференцируема в точке х Е И", то в зтой точке вектор ига<1 Дх) указывает направление наибольшего роста функции ~(х). Ч В силу неравенстви Ьошн --Буняковского для любого век- тора п — = (дги1 ~(х), и~) ( !дгас1Дх)! !п'! = !р;гас! Дх)!. д~(х) ди причем несложно убедиться, что в случае, когда п = р;гад~(х), приведенное неравенство превращается в равенство.
Действительно, тогда п' = Л цгас1 ~(х), где А = 1/! дгас1 ~(х) !, и (дгас$Дх), и') = Л!дгас1Дх)! = !дгах1Дх)!. Локажем, что никакое другое направление не является на"Равлением наибольшего роста. Отметим, что для несовпада.- ц~их единичных векторов и1 и иг в силу легко проверяемого то о4Чества 2(и1, пя) = !и~ !~ -1- !и2!~ — !п1 — п~!~ = 2 — !п~ — п2!я !4б 5. ! 'ЕОМЕ7'РИ ЧЕСЕИЕ ПРИЛОЖЕИИЯ верно неравенство (п1.
п~) < 1. Поэтому если единичный вектор и' имеет то же направление, что и дга4Дх). а т' любой другой единичный вектор, то с учетом свойства 5.2 имеем — = (~га(1 ~(х), т~) = дУ( ) Д~по = ~вегас!ДхИ(п', т.') < ~дгас1Дх)! = —,. 6» дух) Свойство 5.4.
Если скалярная функция ~: Ж" -+ В дифференцируема в точке х, то в этой точке вектор -дгас1Дх) задает направление наибольшего убывания функции ~(х). Свойство 5.5. Если скалярная функция ~: В" -+ И дифференцируема в точке х, то наибольшая скорость роста (убывания) функции Дх) в этой точке равна ]дга4~(х)~ ( — ~угад~(х1~) ° ~ Согласно свойствам 5.2 и 5.:3, производная функции ~(г1 по направлению вектора угад~(х) (направлению наибольцн'г" роста) равна !дга4~(х)~. Производная по противоположномУ направлению, определяющая наибольшую скорость убыванн" функции (см. свойство 5.4), отличается лишь знаком и раня~ — ~дгас1 ~(х)~. э 4 Как было отмечено выше (см.
замечание 5.1), при изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции но напраеленню меняет знак. Поэтому если вектор и указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор — и указывает направление наибольннго возрастания функции. В самом деле, если функция Дх,у1 возрастает в направлении некоторого вектора а быстрее, ни в направлснии вектора — и, то она и убывает в направлении вектора -а быстрее, чем в направлении вектора и.
11о это противоречит выбору вектора и как вектора, определяюцн го направление наибольшего убывания функции. С'огласно свойству 5.3, вектор -и имеет то же направление, что и вектор дга4~(х). Следовательно, вектор п по направлению совпал'н'г с вектором -дга4~(х). 3» 147 5.3. Касательная плоскость и нормаль цгада= (2ху, х — бу ). Вычисляем значение градиента в заданной точке М(2; 1): ягадг(2,1) = (4, -2).
И наконец, находим искомую скорость: = ~Г20 = 2Л. ~ дгЫ г(2, 1И = 5.3. Касательная плоскость и нормаль Рассмотрим некоторую поверхность' 5 в пространстве. Пусть точка М принадлежит поверхности 5 и существует такая плоскость т, проходящая через точку М, которая содержит касательные, построенные в точке М ко всем кривым, лежащим на поверхности 5 и проходящим через точку М. Плоскость я называют касательной тииоскостью к поверхности 5 в точке М (рис. 5.2).
ПряМ "ую Ь, проходящую через точку ~ и перпендикулярную плоско- Я' сти к, называют иормалью м ВОве~щкосфт~1В 5 в точке М„ Рис. 5.2 ~равнения касательной плоскости и нормали к поверхности Зв точке М на этои поверхности наидем в предположении, что оверхности и их свойства детально рассмотрены в 8. Здесь же мы Нраемся на интуитивное понимание термина „поверхность". Пример 5.3. Найдем в точке М(2; 1) наибольшую скорость роста функции двух переменных г(х,у) = х~у — 2уз. Поскольку функция дифференцируема в точке М, то наибольшая скорость ее роста в этой точке равна модулю ее гра; диента в этой точке.
Находим градиент данной функции в произвольной точке: 148 5. ГЕОМЕТРИ ЧЕСУЧИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (5 Г) 9(1) у ~~(1) х ~~(1) так, чтобы значение параметра ! = 0 соответствовало точке 11. т.е. чтобы ~р(0) = а, Ф(0) = б, Х(0) = с. Предположим, что в точке й = 0 функции у(Ю), 4 (й), К(й) имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно. При сделанных предположениях Г(р(~) Ф(~) Х(~)) = О, (~" ) причем сложная функция в левой части тождества дифферен- цируема в точке ~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
