V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому, дифференцируя (5.7) в точке ~ = 0 по правилу дифференцирования сложной функции, полу- чаем джабе) / дР(а бс) / дР(абс) Записанное равенство означает, что вектор т = (у'(О), Ф'(0), Х'(О) ), называемый касательным еектпором к кривой у в точи" М, ортогонален вектору цгас)Е'(а,б,с) = (И (а,Ь,г), Г„(а,Ь,с), Р,(а,б,г)), не зависящему от выбора кривой у. в пространстве задана прямоугольная система координат Охух и выполнены следующие четыре условия.
1'. Поверхность 5 задана уравнением г'(х,у,г) =О. 2'. Известны координаты а, б, с точки М. 3'. Функция Цх,у,г) дифференцируема в точке М. 4'. Градиент функции Г(х, у, г) в точке М отличен от нуля. т.е. дга4 Г(а,б,с) ф О. Рассмотрим кривую ~, лежащую на поверхности 5 и проходящую через точку М.
Зададим эту кривую параметрическими уравнениями 149 5.3. Касательная плоскость и нормаль Итак, все касательные векторы в точке М б Ь' всевозможных кривых, лежащих на поверхности 5 и проходящих через точку М, ортогональны градиенту ~гас1Ца,Ь,г) функции Цх,у,г). Построим плоскость я, проходящую через точку М и имеющую нормальный вектор яга4 Ца,б,с). Тогда касательный вектор любой кривой, лежащей на поверхности 5, в точке Я будет параллелен плоскости я. Согласно определению, плоскость я' является касательной плоскостью к поверхности 5 в точке М. Зная координаты а, 6, с точки М, через которую проходит плоскость я', и координаты нормального вектора дгас1 Ца,Ь,г) этой плоскости, можем записать обифее уравнениг нлос ногти т: Х" (а, Ь, г) (х — а) + Р'„'(а, Ь, г) (у — Ь) + К (и, Ь, г) (х — с) = О.
(5.8) Нормаль в точке М поверхности 5 определяется той же точкой М и тем же вектором дга4 Ца,Ь,с), который является направляющим вектором этой прямой. По этим данным можно записать уравнения нормали к поверхности Я в точке М как канонические уравнения прямой у †(~~ с)) Р' (а, Ь, г) Р„'(а, Ь, с) Г'(а, Ь, г) Замечание 5.6. Уравнения (5.8), (5.9) получены в предположении, что выполнены угловия 1'-4' в отношении поверх- ногти 5 и точки М б Я, Значит, эти условия являются достаточными условиями существования кагательной плоскогтн и нормали поверхности К в точке М.
Замечание 5.7. Иэ приведенных рассуждений вытекает важное свойство градиента функции Г(х,у,=): в точк~ (хя1уо~хо) дифференцируемогти функции цх,у,=) ее градиент «га'1 Цхо,уо, хо) ортогонален поверхности уровня Р (х. у, =) = ~', ге = Р'(хо,уо,.-о). В гамом деле, вектор 1'гас1 Г(хп,уо. -и) являе вляется нормальным вектором кагательной плогкогти к по- Р"ности Цх, у,г) — Г'= О в точке (хо, .уо, .-о).
150 5, ГЕОМЕТРИЧЕС!( ИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Пример 5.4. Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к сфере х~+ ух+ г~ =9 в точке М(1; — 2; 2). Легко убедиться, что, рассмотрев функцию Р' = хя + у~ + + г~ — 9, мы обеспечим выполнение условий 1'-4' в данной задаче. Значит, касательная плоскость и нормаль к сфере в точке М существуют.
Для построения их уравнений определяем частные производные первого порядка функции У'' г (х,у,х) = = 2х, Х'„(х.у,=.) = 2у, Г.'(х,у,л) =2х. Вычисляем значения частных производных в точке М(1; -2; 2): Г'(1, -2,2) = 2, Г„'(1, -2,2) = -4, Й(1,-2,2) = 4. Находим уравнение касательной плоскости в точке М 2(х — 1) — 4(у+ 2) + 4(х — 2) = О и уравнения нормали в этой точке х — 1 у+2 х — 2 2 -4 4 (5.10) фп,б)(х — и) + ~'„'(а,Ь)(у — Ь) — (х — с) = О. Пусть поверхность Я задана уравнением х = Дх,у), где функция Дх,у) дифференцируема в окрестности точки М(а; Ь). Найдем уравнения касательной плоскости и нормали в точке (а; Ь; с), где с = ~(а, Ь).
Поверхность 5 следует описать уравнением вида г (х, у,-") = = 0 с дифференцируемой функцией Цх,у,х). В качестве этой функции можно взять Р(х,у,х) = Дх,у) — х. Тогда условия !'-4' будут выполнены, и, следовательно, в точке М существуют касательная плоскость и нормаль к поверхности 5.
Уравнс. ния касательной плоскости найдем по формуле (5.8). Так как !'„'(и,б,с) = Д(и,б) ~Г(а,Ь,с) = ~„'(п,Ь), Г.'(и,б,с) = — 1, то уравнен ие касател ьной плоскости и меет вид 5.3. Еасательная плоскость и нормаль Аналогично по формуле (5.9) находим канонические уравнения нормали х — а у — Ь х — с Д(а,Ь) ©а,Ь) -1 ' (5.11) х-2 у г+1 1 — 1 1 и запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке. В нашем случае Дх,у) = х2/2+ р2/4„Д = х, ~„' = р/2, так что направляющий вектор нормали к поверхности в произвольной точке (х, у, х) имеет вид (х, у/2, — 1).
По условию иормаль в искомой точке параллельна заданной прямой. Критерием параллельности двух прямых в пространстве является коллинеарность их направляющих векторов 1111). В результате, записывая критерий коллинеарности двух векторов, получаем соотношения х у/2 -1 1 — 1 1 Из этих соотношений находим координаты точки Р, в которой нормаль к поверхности параллельна заданной прямой: х = — 1, У = 2, х = х~/2+ у2/4 = 3/2.
Остается записать уравнение касательной плоскости в найденной точке исходя из координат этой'точки и нормального вектора плоскости: (х+1) — (у — 2)+ (х — 3/2) = О, или 2х — 2у+2з+3 = О. Пример 5.8. Найдем уравнения касательной плоскости "ормали к гра4ику фуикиии ~(х,р) = ха+ хр+ р2 в точке (1;1; ~) Пример 5.5. Рассмотрим поверхность х = х~/2+у2/4 (это эллиптический параболоид). Найдем точку на этой поверхности, нормаль в которой параллельна прямой 152 5.
ГЕОМГ7 РИ ЧЕС1~ ИЕ ИРИЛОЖЕ!!ИЯ 3(х — 1)+3(у-1) — (л-3) =0 и канонические уравнения нормали х — 1 у — 1 з — 3 3 3 — 1 Понятие касательной пло» кос ги позволяет дать геометрич»- скую интерпретацию дггффергнциалу фуюсцгггг многих ггере»»» иных. Пусть функция = = ~(х.у) двух переменных дифферепцируема в точке (а, Ь). Тогда ее дифференциал сгх в этой то гк» равен с!х = ~'(а,б) йх+ Г(а,б) сйм. (»~ ! )) В то же время уравнение з = Дх.у), рассматриваемое н прямоугольной системе координат Охук, задает поверхность и простра.нстае, и эта поверхность в точке (а; Ь;Да,Ь)) им»»'г' тсатпе;гьную гг готосигь, уравнение (5.10) которой можно эг»- писать в виде „- — с = ~' (а, 6) (х — а) + Ца, 6) (у — 6). Обозначив х — а = 'ьх.
у — Ь = Ьу. = — с= Ь=, перепипн м: т»' у!)аниеггие В Виде (5. )3) Ьз = ~' (а, Ь) Ьх + фа, 6) Ьу. Сравнииая (5.12) и (5.13), заключаем, что дифференциал»г= соипадает с Ьг, так как приращения Ьх и гъу независим»»я переменных х и у в точке (а: 6) в то же самое время являют»" Функция Дх,у) янляется дифференцируемой в точке (1: 1) Поэтому в соответствующей точке графика этой функции» ~ ществуют касательная плоскость и нормаль к этому графику, Уравнения касательной плоскости и нормали можно получить с помощью формул (5.10) и (5.11). С учетом равенстн Д(1, ! ) = = ~„'(1,1) = 3 получаем уравнение касательной плоскости 5.4.
Касательная и нормаль кривой на плоско< ти Рис. 5.3 5.4. Касательная и нормаль кривой на плоскости Рассмотрим на плоскости хбу кривую ц' и точку М на этой кривой. Найдем уравнения касательной и нориали к кривой ц' в точке М в предположении, что выполнены следующие четыре условия, 1'. Кривая Я задана уравнением Дх,у) = О. 2'. Известны координаты а, 6 точки М. 3'. Функция ~(х,у) непрерывно дифференцируема в точ- ке М. 4'. Градиент функции ~(х,у) в точке (а, 6) отличен от нуля, т.е. дга4Да,6) ф О.
Напомним [Щ, что если кривая Ч на плоскости является "рафиком некоторой действительной функции действительно- "о ~еременного у(х), то касательная к этой кривой в точке ~ У(а)) определяется уравнением у= р (а)(х — а)+у(а), (~.]4) дифференциалами этих переменных. Другими словами, диффе- ренциал функции двух переменных есть приращение в точке М аппликаты точки на касательной плоскости, соответствующее приращениям Ых, ау независимых переменных (рис. 5.3). л П'ОМКти1 ЧКСКИК ШЧИОжа!ИЯ а достаточным условием су«г«ествования касательной я«гляе«ч я Л««ФФере«««г««руемость функции д(х) в точке а. В данном случае функция Дх,у) является д««ффере«гц««руемой в точке М(а; Ь), причем агас1 ~(а,Ь) = Ц'(а,Ь), ~„'(а,Ь)) ф (). З««ачят, одна из часпгмых ггроггзводных функции Дх,у) в точкс М отлична от нуля.
Пусть, например, ~'„'(а,Ь) уг О. Тогда вь«- полнены условия теоремы о неявной' фумхци«г. Соглас«го это«« теореме, уравнение У(х,гу) = О в некотором прямоугольнике Р < центром в точке М задает дифференцируемую функцию ф.г), х ~ ««г — Аа+81, о > О. Иначе говоря, часть кривой Я внутри прямоугольника Р является графит.гг функции р(х), и мы можем записать уравнение касательной к кривой Я в точке Л! н виде (5 14). Учитывая выражение (4.2) для производной «««яв««ой функции р(х) и равенство р(а) = Ь, находим Д(а, Ь) д-Ь= —, (х-а), фа, 6) откуда получаем р(а,Ь)(х — а)+фа,Ь)(у — Ь) =О. (5.! 5) Поскольку норм аль к криво««в точке М проход т через: у точку и перпендикулярна касательной, то ее уравнение имеет вид (;).
16) х — а р — Ь У'(а,6) У„'(а, Ь) Если ~„'(а,Ь) = О, но Д(а,Ь) уг О, то, поменяв местами переме««пые х и у и повторив рассуждения, получим те же уран««< ния касательной и нормали. Итак, условия 1'-4' являются достаточными для того. ««~>- бы в точке (а, 6) существовал««касательная и нормаль к кр«« вои Я, которые в этом случае задаются уравнениями (5.1:"~) «' (5.16) Можно показать, что это утверждение остается вернь«" и тогда, когда условие 3' заменено более слабым условием д««Ф ференцируемости функции в точке (а, 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
