V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Значит. функция д(х,у) может иметь экстремум лишь в точке (О, О)- Однако при у = 0 функция одного переменного д(х,О) = х~ в точке х = 0 имеет строгий локальный минимум, так как д(х,О) = х~ > 0 = д(0,0), х;Е О, а при х = 0 функция одного переменного д(О,у) при у = 0 имеет строгий локальный максимум так как д(О,р) = -у~ с 0 = д(0,0), у уЕ О. Поэтому точка (О, О) не может быть точкой экстремума функции д(х,у). 6.2.
Достаточное условие экстремума Отметим, что при исследовании функции на экстремум мо,кно не рассматривать те критические точки, в которых „тя и не все частные производные существуют, но существует „о крайней мере одна частная производная, не равная нулю. действительно, такие точки в силу теоремы 6.1 не могут быть чками экстремума функции. Пример 6.3. Функция двух переменных Ь(х,у) = ~х~+у2 „ифференцируема во всех точках плоскости хОу, кроме точек оси Оу. При этом Ь' (х, у) = 1 при х > О и Ь' (х, у) = — 1 при х с О.
Эначит, точки экстремума могут располагаться только на оси Оу, в точках которой не существует частная производная Ь'. Обратим внимание, что частная производная функции Ь(х,у) по переменному у существует во всех критических точках, но обращается в нуль только при у = О, т.е. в начале координат. Поэтому единственная точка, в которой может быть экстремум функции, — это точка (О, О). Дальнейшее исследование поведения функции в окрестности этой точки можно проводить так же, как и в примере 6.1. Слагаемое ~х~ имеет строгий локальный минимум при х = О, а слагаемое у2 — при у = О.
Следовательно, в точке (О, 0) функция Ь(х,у) имеет строгий локальный минимум. 6.2. Достаточное условие экстремума Исследование стационарных точек функции многих переменных на экстремум, как и в случае функций одного переменного, можно проводить, анализируя дифференциал второго порядка. Напомним, что дифференциал второго порядка ФУнкции многих переменных представляет собой квадратичную форму относительно приращений (дифференциалов) независимых переменных.
'теорема 6.2 (достпатпочное условие эхстпремумв ~утмсции). Пусть скалярная функция ~: И" — ~ Ж определена 162 б, ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ в окрестности Г(а) точки а, дважды непрерывно дифферсн цируема в 0(а) и ф(а) = О. Тогда: 1) если квадратичная форма Р~(а) в точке а положитель)и) определенная, то в этой точке функция ~(х) имеет стро~и;, локальный минимум; 2) если квадратичная форма Ы~~(а) в точке а отрицательн0 определенная, то в этой точке функция ~(х) имеет стро~щ, локальный максимум; 3) если квадратичная форма Р~(а) в точке а знакоперемея ная, то в этой точке функция Дх) не имеет экстремума.
< Введем следующие обозначения. Через Ьх = (Ьх~ ... Ьх„)~ обозначим ненулевой вектор приращений независимых переменных, а через и = Ьх/~Ьх~ — единичный векп1ор с тем ж( направлением, что и вектор Ьх. Второй дифференциал И~~(а) функции ~(х) в точке а является квадратичной формой от вектора приращений Ьх, которую можно записать с помощью матрииы Гессе ~"(а) функции Дх), вычисленной в точке а, следующим образом: и и д2 И Да) = Ьх /'(а)Ьх = ~~ Ьх; Ьх . дх;дх, ~1 у=~ Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным ч.ином в форме Пеано для функции Дх) в точке а, получим ~(а+ Ьх) — Да) = ф(а) + -И~~(а) + о(~Ьх12) = 2 1 = — И ~(а) + о(~Ьх~ ). Пусть й(Ьх) — запись квадратичной формы У~(а) как функции вектора приращений Ьх: Й(Ьх) = Ьх ~"(а)Ьх.
Тогл~ Й(Ьх) = щйх~и) = Зс(и)~йх~з, где ус(и) = и ~"(а)и, и Да+аж)-~(а)=-И~Да)+о()йх)~)=-(Ци)~а))ьу)~, (6.1~ где а-+ О при Ьх-~ О. 164 б. ЭЕС'ТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Итак, при т < 0 в точке а функция Дх) имеет в точк~ а строгий локальный максимум, а ее второй дифференциал н этой точке является отрицательно определенной квадратичнои формой.
Случай 3. Пусть т. <О< т . Тогда й(у ) =т >О А.(у,) = т. < О. Значит, квадратичная форма й(у) = у ~"(а)~ н [она ме И~Да)) знакопеременнан. Выберем и = т1п ~г' г Тогда существует такое число Ю > О, что ~а~ < т'/2 и ~а~ < < ~т,~/2 при 0 < ~Ьх~ < Ю. Поэтому при Ьх = 1у'8, 0 < ~ < 1, имеем Ца+Ьх) — ~(а) > — ~т' — -т') ~Ьх~ = -т ~Ьх~ > О, м 1 м1 2 1 м 2 2~ 2 ~ 4 так как в этом случае ~о~ < т /2.
Аналогично при Ьх = ~у.д. 0< 1 < 1, имеем ~(а+Ьх) — Да) < — ~т.+-~т.~~~Ьх~ = -т,~йх~ <О. 11 1 ~ 1 2~ 2 ~ 4 Следовательно, в любой окрестности точки а есть значения функции Дх), большие Да), и есть значения, меньшие ~(а). Итак, в данном случае точка а не является точкой локального экстремума функции Дх), а ее второй дифференциал в этой точке является знакопеременной квадратичной формой.
Случай 4. Если т. =0 или т' = О, то квадратичная форма Й(у) является неотрицательно определенной, неположительно определенной или вообще тождественно равна нулю (если т„= т' = 0). В этом случае вид квадратичной формы н~' позволяет сделать какое-либо заключение о характере точки а: в этой точке может быть экстремум, а может и не быть. при этом квадратичная форма Ы~~(а) не является ни знакон1 ложительной, ни знакоотрицательной, ни знакопеременной, т с. он не подпадает ни под одно из трех утверждений теоремы.
6.3, Достаточные условия экстремума функции двух переменных 165 д9 — =2, дх2 д2 ~ д2/ =О, — = 12у2 дхду ' ду2 второй дифференциал функции Д2,у) в точке (О, 0) имеет вид Р~(0,0) = 2Их2. Это вырожденная квадратичная форма, сохраняющая знак. Значит, теорема 6.2 в данном случае ничего ие дает. Однако нетрудно заметить, что в точке (О, 0) функция Дх,р) имеет локальный минимум. Функция двух переменных д(х,у) = х2 — у4 также имеет единственную стационарную точку (О, 0), причем второй дифференциал этой функции в точке (О, 0) совпадает с РДО,О) = 2Й:~.
Но при этом функция у(х,у) не имеет в точке (О, 0) экстремума, так как она в этой точке достигает максимума при Фиксированном х = 0 и минимума при фиксированном р = О. 6.3. Достаточные условия экстремума функции двух переменных В случае функции двух переменных достаточное условие "стРемулса функции в сочетании с критерием Сильвестра "Разводит к простым правилам проверки. Итак, каждый из первых трех случаев соответствует одно„у из утверждений теоремы, а четвертый случай не соответтвует ни одному из ее утверждений. Это завершает доказаельство теоремы.
~ Напомним, что тип квадратичной формы РДа) можно определить с помощью критерия Сильвестра или приведением ее к каноническому Виду [ГЧ]. Пример 6.4. Функция ~(х,у) = х2+у4 двух переменных дифференцируема во всей плоскости хОу, и ее точки экстремума следует искать среди стационарных точек. Вычислив частные производные, заключаем, что у функции только одна стационарная точка (О, 0). Так как функция дважды непрерывно дифференцируема, для исследования характера этой точки можно использовать теорему 6.2. В силу равенств 166 6. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Предположим, что функция Дх,у) дважды дифференциру. ема в окрестности гпочки Р(а, 6) и в этой точке выполи«п„ необходимое условие эксгпремума функции, т.е. Д(а, Ь) = ~,',(а, Ь) = О.
В точке Р матрица Гессе ~"(а,Ь) функции Дх,у), представля ющая собой матрицу квадратичной формы РДа,Ь), имеет пнл У.",(а,ь) У."„(а,ь) Для часгпных г1роизводных в фиксированной точке часто используют обозначения: А = Д~(а,Ь), В = ©а,Ь), С' = ~„"~(а,6). С помощью этих обозначений дифференциал вгггорого порядка функции ~(х,у) в точке Р и матрицу Гессе можно записать следующим образом: И~Да,Ь) = А«~х +2ВЙхйу+С««у~, У"(а,Ь) = !1рименим к исследованию матрицы Гессе критерий Сильв«*стра. Согласно этому критерию, второй дифференциал Н9(а,И является положительно определенной квадратичной формоЙ если А > О и дел/"(а,6) = АС вЂ” В~ > О.
Второй дифференциал является отрицательно определенной квадратичной формоЙ если А < О и АС вЂ” В~ > О. Он является знакопеременной квадратичной формой, если АС' — В~ < О. Наконец, квадратичнз» форма «РДа,Ь) вырождена, если АС вЂ” В' = О. Используя полученные факты, можно переформулир«гвагь утверждения теоремы 6.2 в случае двух переменных «ледуюппги образом: 1) если А > О и АС' — В~ > О, то в точке Р(а, 6) функп»" Дх,у) имеет строгий локальный минимум; 6А. Исследование функций на экстремум 167 62~(а,6) = Айх2+~ВДхау+Сау2 по переменному Ых (при А у6 О) или переменному ду (при СТО) имеет нулевой дискриминант и потому представляет собой полный квадрат.
Например, при А ф 0 имеем А сЬ + 2ВЙх Йу+ СЙу = А ~Ых+ — Ыу~ . 2 А При АС = В2 функция может иметь в точке (а, 6) локальный экстремум, а может и не иметь его (см. пример 6.4). 6.4. Исследование функций на экстремум Задачу исследования скаллрной функции многих переменных 1: Ж"-~ В на экстремум часто записывают в виде ~(х) -~ ех1г. ~акне задачи решают в два этапа. На первом этапе с помо'цью необходимых условий экстремума отбирают точки, подоз рительные на экстремум (критические точки). На втором этапе а"е каждую отобранную точку исследуют на наличие в ней в~сегу~ "Ч~емума функции. Это исследование может выполняться либо (е~ 6 с помощью различных достаточных условий экстремума ' 6.2 и 6.3), либо с помощью непосредственного анализа по~дев ~ ноя функции в окрестности исследуемой точки (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
