V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Дифференциал второго порядка функции Лагранжа Ь(х,у, Л) при фиксированном значении Л = — о/2 н точке (р/2; р/2) име~.~ вид сРЬ. = 2дхпу. Исключая из второго дифференциала д~ получаем квадратичную форму 2(-Ну)йу = -2(Иу)~, котора„ отрицательно определена.
Следовательно, в точке (р/2; р/2) им имеем условный локальный максимум. 7.3. Достаточные условил условного экстремума В первом случае, когда А = -6~, дифференциал второго пор ядка функции Лагранжа имеет вид ЬЯ Ф Ь(х, у) = 2(! — — ) йх~. Подпространство Н в точке (О, 6) описывается уравнением 4 (0,6) Йх+ р'„(0,6) йу = О, или с учетом равенств (р' (О, а) = О, д'„(0,6) = 2/6 Ь= о. В точке (О, — 6) подпространство Н описывается тем же урав- нением. Легко увидеть, что квадратичная форма являющаяся сужением ИЯЬ(0,6) (или ~ФЬ(0,— 6)) на подпространство Н, положительно определена, так как а > 6.
Значит, точки (О, 6) и (О, — 6) являются точками условного минимума. Во втором случае, когда Л = — а~, в точках (а, 0) и ( — а, 0) второй дифференциал РЬ функции Лагранжа имеет вид И~(,(ха,О) = 2(1 — — ) Иу~, а подпространство И описывается уравнением Их=О. ~ак как а > 6, квадратичная форма РЬ(=~а, 0) на подпространстве тве Н (т.е. при Нх = 0) отрицательно определена,, и поэтому 'Роч "ки (а, 0) и (-а, 0) являются точками условного локального ~~ксимума.
~тот пример является иллюстративным, и приведенное реЦ1еа ние в данном случае не самое лучшее. действительно, 7. УСЛОВНЫЙ ЭЕСТРЕМУМ 184 ограничение х~~а~+ у~/62 = 1 можно записать параметрц,„ ски в виде х = асора, у = 6яп~, 1 б (0,2я1. Это позвол„ ет заменить исследование функции ~(х,у) двух переменць~„ на условный экстремум исследованием на экстремум функццц ~(асов~,бяп~) одного переменного. Кроме того, постав.цн. ная задача имеет простую геометрическую интерпретацию Кривая у(х,у) = 0 в данном случае представляет собой эллцц,.
с полуосями а и 6. А линии уровня функции ~(х,у) — это концентрические окружности, причем значение функции ца каждой такой окружности равцо У(х,у)=а2 квадрату радиуса (рис. 7.3). Максимальный радиус окружности, цс ресекающей эллипс, равен большоц Ь полуоси эллипса. При этом окруж- О а х ность пересекает эллипс.
в его вершинах, расположенных на большой Лх,у)-Ь2 у(х) =0 оси. Минимальный радиус окружности, пересекающей эллипс, ран~ н малой полуоси эллипса, а точками Рис. ~.3 пересечения будут оставшиеся две вершины эллипса. Пример 7.5. Рассмотрим следующую задачу на экстремум: х+2у+х-+ ехФг, 2х~+ у~ — гх =2, у~ + г~ = 2. Цх,у,г,Л,р) = х+2у+г+А(2х +у — х — 2)+и(у +г — 2)- Целевая функция задачи и обе функции, задающие уравнения связи, являются по крайней мере дважды дифференццруемыми. Поэтому решение задачи можно искать с помощью> функции Лагранжа. В данном случае функция Лагранжа имеет вид 7..3. Достаточыые условия условного экстремума бкодимые условия экстремума приводят к системе уравне11ео к ими 1+4Лх = О, 2+2Л~+2ру = О, 1 — 2Лг+2уи = О, 2х2+у2 — г2 = 2, 2+ 2 2 (7.13) И первых трех уравнений заключаем, что Л уЕ О, Л+ р у'- О, Л вЂ” р ф О.
(7.14) 1(роме того, находим 1 1 1 х= — —, у= — —, х= 4Л' Л+р' 2(Л вЂ” ус) (7.15) Ы~ Б = 4Л Их~ + 2(Л + р) йу + 2(р — Л) гЬ2. Вычитая из четвертого уравнения системы (7.13) пятое и гокрац1ая на 2, получаем х2 = х2, что приводит к двум случаям х = я и х = -х. Однако последний случай невозможен, так как иначе из равенств (7.15) будет следовать, что 4Л = 2(Л вЂ” и) и Л+ р = О, а это противоречит неравенствам (7.14).
Итак, х = л. Учитывая это, из равенств (7.15) находим, 1 что' р = ЗЛ и у = — — = х, т.е. х = у = г. Используя четвертое или пятое уравнение, получаем два решения рассматриваемой системы: 1 у,— 1, Л=--1 И= 4 з 1, Л= — И= 4 Необходимые условия экстремума привели к двум точкам. подозрительным на экстремум. Исследуем эти точки, используя достаточные условия экстремума. Вычисляем дифферен""ал второго порядка функции Лагранжа: 7. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В точке (1, 1, 1) с учетом Л = — !/4 и ~и = — 3/4 дифференции, при и и мает вид ,12~,~ 2 2~ 2,~ 2 а в точке ( — 1, — 1, — 1) будет отличаться знаком: „2~,~ 2+2,~ 2+,~ 2 Видно, что в первом случае второй дифференциал является от рицательно определенной квадратичной формой, а во втором— положительно определенной квадратичной формой.
Это свой ство сохранится и на подпространстве Н, которое в данном случае определяется уравнениями 20х+ Иу — Их = О, ду+ Их = О. Учитывая это, заключаем, что точка (1, 1, 1) является точкой условного максимума, а точка ( — 1, — 1, — 1) — точкой условного минимума. 7.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений Напомним, что поиск наибольшего и наименьшего значений действительной функции одного действительного переменного на заданном отрезке сводится к поиску всех критически» точек функции и к сравнению значений функции в критических точках и на концах отрезка 11Ц. Скалярная функция многих переменных, непрерывная на компактном множеств~ К, достигает на этом множестве наибольшего и наимепьш~" го значений, но определение точек множества Е, в которых достигаются эти значения, — более сложная задача, так кяк компактное множество в И" в отличие от отрезка числовой ос" может иметь границу очень сложной структуры.
В таких ся туациях исследовать поведение функции весьма непросто. Пусть скалярная функция ~(х) непрерывна на компактном множестве К С Е" и достигает своего наименьшего и наиболь шего значений соответственно в точках х Е Е и х Е Е. 1огЛя 7А. Нахождение наибольшего и наименьшего значений 187 олняются неравенства вмп ~(х,)<Дх)<Дх ), хбЕ. (7.16) 1тобы проанализировать способы поиска точек х. и х, рас, отрим некоторые частные случаи.
Пример 7.6. При п = 1 и Е = 1а,61 для поиска точек х. и можно поступить, как уже отмечено, следующим образом: — в интервале (а, 6) отобрать все критические точки фумкиии У(х) — к критическим точкам добавить граничные точки а и 6; — во всех отобранных точках вычислить значения функции ~(х) и по этим значениям выделить те точки х. и х, в которых значение функции является наименьшим наибольшим. 91(хну) 3» О, 92(х,у) » О, 93(х,у) » О. Рис. 7.4 ®ибольшее (наименьшее) значение функции может достигать® или во внутренней точке множества Е, или на одномерной Пример 7.7.
В случае п = 2 рассмотрим функцию Дх,у), непрерывную на компакте К, который ограничен тремя кривыми 91(х,у) = О, дг(х,у) = О, дз(х,у) = О (рис. 7.4). Будем считать. что функции д;(х,у), ~ = 1,3, непрерывно дифференцируемы, а компакт А описывается неравенствами 7. УСЛОВНЫИ ЭКСТРЕМУМ границе (на одной из дуг АС, АВ, ВС), или в угловых ро„ ках границы (А, В или С), являющихся точками пересечен ии„ дуг. Поэтому для поиска точек с наибольшим (наименьши„,) значением функции можно действовать следующим образом — находим все критические точки функции Дх,у), котор~и, являются внутренними для компакта К (они удовлетворяи,, неравенствам д1 > О, д2 > О, дз > 0); — среди точек, подозрительных на условный эхстрему.и, и каждой из трех задач ~(х,у) -«ехФг, д2 = 0 Дх,у) -«ех~г, дз=О Дх, у) — «ехФг, д1=0; отбираем те, которые лежат на соответствующей дуге АС.
ВС', АВ, т.е, удовлетворяют соответствующим неравенствам: д~(х,у) > О, дз(х,у) > 0; д1(х,у) > О, дз(х, у) > 0; д1(х, у) > О, дг(х,у) > 0; — к указанным точкам добавляем точки А, В, С, являвшиеся решениями систем уравнений д1(х,у) = О, д2(х, у) > О, дз(х у) — 0 др(х,у) = О, д2(хз у) Оз дз(х~у) > О~ д1(х,у) > О, д~(х, у) = О, дз(х,у) = 0; — во всех отобранных точках вычисляем значения функции и по этим значениям выделяем две точки х. и х', в которых значение является соответственно наименьшим и наибольшим. В общем случае при вычислении наименьшего и наиболь шего значений функции „~(х) п переменных на, компакти0~ множестве К, которое задано, например, т условиями д;(х) 3 О ~ = 1, т,, задачу можно решать аналогично.
Отбираются то" ки в которых может достигаться наибольшее или наименыис" Вопросы и задачи зюач „ение: а) среди внутренних точек множества К; б) на всех ц мерных частях границы (Й = 1, и — 1); в) все нульмерньн* .. ементы границы (такие, как точки А, 8, С' в примере 7.7). О бор точек внутри К приводит к задаче на локальный экстре- отбор точек на (и-Й)-мерных частях границы приводит „задаче на условный локальный экстремум, как правило, с 1 равнениями связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
