V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 23
Текст из файла (страница 23)
6.1). д) если А < О и АС вЂ” В2 > О, то в точке Р функция ~(х,у) ет строгии локальныи максимум; З) если АС вЂ” В2 < О, то функция ~(х,у) не имеет в точке Р экстремума. Приведенные утверждения не охватывают случай АС = В2. р этом случае квадратичная форма ~2~(а,о) вырождена, но охраняет знак, так как квадратный трехчлен !68 6. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пример 6.5. Рассмотрим задачу х'+ 2ху+ у -~ ех~г. Функция ~(х,у) = хз+2ху+уя является бесконечно дафф; ренцируемои, т.е.
Г Е С (И~). Поэтому ее точки экстремума зто стационарные пгочки, которые можно найти, приравняв пу лю частные производные функции ггервого ~горядка: Д(х,у) = О, /„'(х,у) = О. В нашем случае Д(х,у) = Зхя+2у, фх,у) = 2г. +2у, и мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: 3х~+ 2у = О, 2х+2у = О. (6.2) Из второго уравнения находим, что х = -у, и после подстанов- ки в первое уравнение получаем ?у'г+2у = О.
Следователын~. система (6.2) имеет два решения 2 2 и у2 — — --, хг — —. 3' 3 уг — — О, хг — — 0 Значит, функция ~(х,у) имеет две стационарных точки Рг(0. О). РРРР, — 2/3). Воспользуемся достаточным условием экстремума для функции двух переменных. Для этого найдем часигныс ггроизводны~ второго порядка функции ~(х, у): ,~~2 (х) у) бхай,~~у(хф у) 21,~ 2 (х1у) Подставляя в эти производные координаты точки Рг, находим А = О, В = 2, С' = 2. Отсюда АС'- В~ < О, и, согласно достаточным условиям экстремума функции двух переменных, в точи' Рг(0, 0) функция ~(х,у) экстремума, не имеет. Аналогичн~с 169 Вопрос ы и эадачи вычисления для точки Рг дают следующее: А =4 > О, И =2, ~'-2, АС' — 8~ > О.
Значит, в точке Р~(2/3, — 2/3) функция у(х,у) имеет строгий локальный минимум. Значение функции в точке Р~ равно У„,;„= -4/27. Обратим внимание на то, что у функции ~(х,у) есть значения, меньшие Д,„;„. Например, Ц вЂ” 10,0) = — 1000. Это говорит о том, что минимум в точке Р~ носит локальный характер, а пе абсолютный: значение Д2/3, -2/3) является наименыпим лишь в некоторой окрестности точки Рг, но не во всей плоскости. Вопросы и задачи 6.1. Докажите, что функция двух переменных ~(х,у) = 2 = е " (1+ х~) имеет единственную критическую точку (О, 0). но не имеет локального экстремума в этой точке.
6.2. Докажите, что функция двух переменных Дх,у) = 2 = е" (1+х~) имеет единственную критическую точку (О, 0), которая является точкой локального минимума. 6.4. Исследуйте на экстремум заданную функцию: а) и(х, у) = 2х'(1 — у) + у'; б) и(х, у, -) = х2+ 2у~ + х~ — х г — 2ух — 4у. 6.5. Исследуйте на экстремум функции и(х,и) и у(х,ю), неявно заданные системой нелинейных уравнений (4.5) в окрестности точки (О, 0). 6.3. Определите, при каких значениях параметра а функция х(х,у) = ха+ уз+ 4ху — 7х — 7у+ а(х — 1)~ + а(у — 1)2 в точке (1, 1): а) имеет максимум; б) имеет минимум; в) не имеет экстремума. 7. УСЛОВНЫЙ ЗКСТРЕМЪ'М В приложениях часто встречаются задачи поиска экстр~ мумов фунхций многих переменных при дополнительных огра ничениях на возможные изменения переменных.
Такие огра ничения могут иметь различный характер. Например, зна и ния переменных должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям или неравенствам. Как ограничение можно рассматривать условие попадания точки и-мерного линейного арифметического пространства в заданную область, или, наоборот, точки некоторого множества в И" не принимаются н расчет.
Далее мы остановимся на случае, когда аргументы функции подчиняются ограничениям в виде одного или нескольких уравнений, часто называемых уравкеми.яма связи. ТЛ. Общая постановка задачи Пример 7.1. Рассмотрим задачу определения прямоугольника г заданным периметром наибольшей плошади. Обозначив через х и у длины сторон прямоугольника, через 2р его периметр, мы придем к задаче поиска максимума площади прямоугольника 5(х,у) = ху при дополнительном условии (ог ран и чен и и) 2(х + у) = 2р, что кратко можно зап исать следующим образом: 5(х, у) = ху -~ п1ах, 2(х+ у) = 2р.
(7.1) Нас интересует решение задачи в области х > О, у > О. В данном случае решение задачи легко можно найти, выразив из уравнения связи 2(х+ у) = 2р одно из переменных и подставив найденное выражение в функцию 5(х,у). В результате мы придем к задаче поиска минимума действительной функции одного действительного переменного. Например, из уравнения 17! 7.1. Общая погтаноака задачи свя язи находим у = р — х.
Тогда площадь прямоугольника при заа„ном ограничении можно представить как функцию только пв временно1 о х: Ь'(х) = х(р — х). Исходя из есте( твенных огра„ичений х > О, у > О, находим область изменения переменного . О < х < р Функция 5(х) достигает максимума в интервале (О р) при х = р/2, что дает решение рассматриваемой задачи: -у= р/2. Итак, среди всех прямоугольников с заданным пери мрт ром наибольшую площадь имеет квадрат. Отметим, что функция двух переменных 5(х,у) = ху не имеет экстремумов, а у рассмотренной задачи решение сущ~ ствует.
Это связано с тем, что для задачи (7.1) не играют роли значения функции Ях,у) в тех точках, которые не удовлетворяют ограничениям. В задачах такого типа все зависит от поведения функции лишь на части ее обласпт определения, а именно на множестве тех точек в области определения, которые подчиняются установленным ограничениям. Определение 7.1. Говорят, что функция ~: И" -+ И в точке а б И" достигает условного локального максимума (минимума) при условии р(х) =О, где д: И"-+И"' - некоторая. вообще говоря, векп1орная функция многих переменных,, если о существует такая прокологпая окрестность 1.1(а) гпочки а, что о для всех точек х Е Г(а), удовлетворяющих условию фх) = О, верно неравенство ~(х) < Да) (Дх) > Да)).
(7.2) 1"(х) -+ ехСг, р(х) = О (7.3) (7А) Понятия условного локального максимума и минимума объединяют под общим названием условный экстпремум функЧии. Если в определении 7.1 неравенства строгие, то говорят 0 строгом условном экстпремуме функцию. Задачу исследования функции ~: И" -+ И на условный экстремум при ограничениях <р(х) = О, заданных с помощью функции ~р: И" -~ И"', часто записывают в виде 7. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 17'2 7.2. Необходимое условие условного экстремума Остановимся на простейшем случае функции двух переменных. Теорема 7.1 (необходимое условие условного экстремума). Пусть ~: Ж2-+ Ж и у: Ж~ -+ Ж вЂ” функции двух переменных, определенные и непрерывно дифференцируемыс и окрестности точки Р(а;6).
Если функция Дх,у) имеет и точке Р условный экстремум при условии д(х,у) = О, причс'~1 и называют задачей на условный экстиремум. При этом функцию Дх) называют целевой функцией. Условие (7А) и общем случае представляет собой систему нелинейных уравис ний — уравнений связи. Метод решения, использованный в примере 7.1, может при меняться лишь в простейших ситуациях. Распространение этого метода на общий случай наталкивается на трудности. связанные с исключением части переменных из аргументов цслевой функции при помощи уравнений связи. Такой подх»,1 приводит к необходимости решать систему нелинейных ураинений, а это, как известно, — сложная задача.
Отметим, чт» исключение неизвестных с помощью уравнений связи приводит затем к задаче поиска локального экстремума функции многих переменных, т.е. к решению еще одной системы нелинейных уравнений, которые получаются приравниванием нулю частных производных. Исключение неизвестных нужно липп, затем, чтобы вычислить эти частные производные, но частныс производные можно также вычислить и с помощью теоре.,иы о неявной функции.
В этом случае исключение неизвестных фактически уже не нужно, и решение задачи упрощается. Развитию этого подхода на основе теоремы о неявной функции мы и уделим внимание, начав с более простой задачи для условног» экстремума функции двух переменных. Т,З. Необходимое угловие угловного экгтремума а1~р(а,Ь) ф О, то существует такое число Л, которое вместе г „ординатами а и 6 точки Р удовлетворяет системе уравнений /'(х,у)+ Лр'(х,у) = О, ф~(х, у) + Лср„(х, у) = О, у(х,у) = О. .< Поскольку ~гаду(а,Ь) ,-Е О, то одна из частных производных первого порядка функции <р(х, у) в точке Р отлична от нуля. Пусть, например, ~р'„(а,Ь) ф.
О. По теореме ~.! о неявной функции в некотором прямоугольнике Г=((х, у): ~х — а~(Б1, ~у — Ь~ < 6~) уравнение у(х,у) = О разрешимо относительно переменного у, т.е. задает неявную функцию у = п(х), непрерывно дифференцируемую в окрестности точки а, причем В прямоугольнике Г точки, удовлетворяющие условию фх, у) = =О, имеют вид (х; й(х)), где х Е (а — 8~, а+б1). Значит, если функция Дх,у) имеет в точке Р условный экстремум при условии !!о(х, у) = О, то функция у(х) = Дх, Ь(х)) одного переменного Имеет в точке а локальный экстремум.
Эта функция, как композиция дифференцируемых функций, является дифференцируемой в точке а. Следовательно, в силу необходимого условия локального экстремума [11~ верно соотношение у'(а) =О. Согласно правилу дифференцирования сложной функции и равенству (7.6), находим ! Ь У (а) = ~~ (а,Ь) + ~!(а,Ь)Ь'(а) = ~~(а,Ь) — ~~(а,Ь) = ©а,Ь) — ", ' р'(а,6) = О.
У„'(а, Ь) у'„(а,Ь) Введем обозначение А = — «„'(а,Ь)/<р'„(а, 6). 'гогд- «(,6)+ А~,'.(а,Ь) = О, «,,(а,Ь) + ХФ(а,ь) = О, где первое из этих уравнений вытекает из условия д'(а) = = О, а второе эквивалентно равенству, определяющему числ, Л. Добавив к этим уравнениям равенство д(а,6) =О, которо< должно выполняться в точке условного локального экстремума. получим систему уравнений (7.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
