V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 18
Текст из файла (страница 18)
!32 г. икяциьи' Фчнкции 4.3. Обратная Функция Теорема 4.4 (пъеорема об обратной фуннгфии). 11усть функция С: В" -+ В" удовлетворяет условиям: 1'. Функция С(х) нег1рерывно диффергнциругми н некоторой окрестности Ь' точки а, т.е. С Е ('~($~). 2'. Матрица Якоби функции С(х) в точке а невырождена, т.е. с1ег,С'(а) ф О. "1'огда найдется такая окрестность! / точки Ь = С(а), что: 1*. В Г определена функция С '(у), обратная к функции С(х), т.е.
С '(у) Е 1/ при у Е Г и С(Г г(у)) = у, у б!). 2~. Функция С '(у) непрерывно дифференцируема в Г (в частности, непрерывна в Г), а ее матрица Якоби связана с матрицей Якоби функции С(х) равенством Рассмотрим функцию Г: В)г" -+ В", определяемую равенством Р'(х,у) = С(х) — у.:)та функция непрерывно диффе1н нцнруема в окрестности точки (и, Ь) б В~", а. множество решении системы и уравнений Г(х,у) = О представляет ~обой графил функции С(х), тле. множество точек (х, у).
удовлетворяюнгих условию у = С(х). В частиостьг, 3(п, Ь) = О. Так как с!ег,С (и) -" ф О, то матрица Якоби ~'У(а,Ь) = С (и) невы1нэждена,. Так))~) образом, для функции Г(х,у) н окрестности точки (а, Ь) выполнены условия гггеоремы 4.3 о неявной функгфии.:)то значит что система уравнений Г(х,у) = О в некоторой окрестности 11 Рассмотрим вопрос, при каких условиях функция мно:их шргменных С: В" -+ В" имеет обратнуго функцию С ', а также вопрос о том, диффгренциругма ли обратная функция. ('и- ответствующие условия в окргстносгии фиксированной точки можно получить с помощью теоремы о неявной функции. 4,3.
Обратная функция вида Ф = 1(х, у) Е Кг": !х — а~ < д „~у — 6~ ( 8д) разрсчпима, относительно перс менных х. тл. существует такая функция р(у), определенная в окрестности ~у — 6! < Б„точки 6. что ( !л?) причем функция д(у) непрерывно дифференцируема, а ее матрица Якоби ранна (1. !О) Так как г"'(х,д) = С(х) — у, тождество (4.9) означает.
что Д(у(у)) = у, т.е. функция р(у) является обратной к функции С7(х). Кроме того, матрица У'„'(х,~г) совпадает с матрипей — Е, противоположной единичной матрице Е. !!озтому равенство (4.10) сводится к раненству р'(у) = (С'(р(гу))), !эавнсн пльнсму (4.8) 3 Пример 4.10. а. Рассмотрим отображение С: Кг -+ Кг. заданное уравнениями =1 — — х~+ с ~, хг — — с" — хг. '.)то отображение непрерывно дифференцируемо всюду н Кг. Его мач.!эица Якоби в пРоизвольной точк~ (х~, хг) Е Кг имеет нид 1 с"" .7(х~,хя) = с'' — 1 а определитель мат1эицы Якоби с!е1,.! (,с ~.
г г) = — ! — ~ ' '+" "" обращается в нуль ни в одной точке в Кг. С'огласно т~ ореме об обратной функции, в любой точке 6 б Кг. 6 = С(а), существу""' окрестпость, в которой определено обратное опэбражепи( , причем с' '(6) = а. 6 Для отображения С: Кг -+ Кг, заданного уравнениями -"~ = х~ + хг, .г — — 2х~, (.! . ! ! ) 4. НЕ>1ВНЫЕ ФУНКЦИИ найдем те точки множества в области значений отображения, н окрестности которых определено обратное отображение С '.
Для зто воспользуемся теоремой об обратной функции. Отображение С непрерывно дифференцируемо в И~, а его матрица Якоби имеет вид ! 2х~ .l(х),х~) = 2 О Вычисляем определитель матрицы Якоби: де~,!(х~,х~) = -4х >. Отсюда заключаем, что матрица Якоби невырождена во «сох точках (т~, х~), для которых х~ ф О. Таким образом, во всех точках (с~, х~), удовлетворяющих условию х~ ф- О, можно применить теорему об обратной функции. Точки (х~, хр), в которых матрица Якоби вырождена, удовлетворяют условию хя — О и и совокупности составляют прямую — координатную ось Ох~.
Найдем ее образ при отображении С. Для этого в уравнения (4. ! 1) отображения С подставим х~ = О. В результате находим образ координатной оси Ох1. ((-~, ~): =~ = х~, гя = 2;с11, или г2 =2=!. Итак, обратное отображение С ' определено в окрестности любой точки (г1, г~), принадлежащей области значений отобряжения <' и не лежащей на прямой г~ — — 2л~. Теорема об обратной функции не позволяет ответить на вопрос, существует ли обратное отображение Й ' в окрестности какой-либо точки прямой г~ — — 2=~. Для ответа на этот вопрос нужно использовать другие методы. В данном случае уравнения (4.!1) можнО разрешить относительно переменных х~ и хя и тем самыФ получить аналитическое представление функции С '.
4.3. Обратная функция Замечание 4.1. Доказательство теоремы 4.4 показывает, что теорема об обратной функции сводится к теореме о неявной функции. Любопытно, что можно делать и наоборот: теорему о неявной функции выводить из теоремы об обратной функции. В самом деле, систему уравнений Г(х,у) = О, х Е Ж", гу Е Ж™, можно трактовать как частный случай системы уравнений Цх,у) = г при фиксированном г. Рассмотрим отображение И(х,у) = Цх, у) которое получается добавлением новых и координатных функ- г~ггг~ Это отображение дифференцируемо в окрестности точки (а ц), а его матрица Якоби может быть записана как блочная 4гагггрица Е О Г"' (х, у) Е'„'(х, у) П'(х,у) = Это представление показывает, что областью значений отобра;кения С является полуплоскос ть гг > зг/2.
Каждая внутренняя гпочка я = (лг, гя) этой полуплоскости является образом при отображении 6 двух точек а = (аг, аг) и а = (аг, -ар), отличающихся знаком второй координаты. В окрестности каждой точки х = (гг, гя), гг > =-г/2, существуют два обратных отображения, первое удовлетворяет условию С '(х) = а, а второе -- условию С' г(х) = а. Оба отображения определены в области > г~/2. В каждой точке х0 = (юг, х") на прямой хг — — лр/2 не существует окрестности, в которой определено обратное отображение 6' ', и тому есть две причины.
Во-первых, такие точки не являются внутренними точками области значений отображения С. Во-вторых, каждая такая точка х0 является образом единственной точки х" в области определения отображения, но при этом н любой окрестности точки х0 можно выбрать такие две точки. в которых отображение С принимает одинаковые значения.
4. НЕЯВНЫЕ ФУН!АКЦИИ !Зб где д(х,х) — совокупность первых и координатных функций. а 4 (х,х) -- совокупность оставшихся пг координатных функций. Тождество Н(И (х,х)) = (х, =) в блочной форме имеет вид Отсюда находим, что д(х,х) =- х и ~'(ч ( ' х) Их, =-) ) = — У'(х, Ч" (х, х) ) = =. !(о последнее тождество и означает, что уравнение Г(х,д) =; разрешимо относительно переменных у и может быть представлено в виде у = Ф (х,=). В частном случае = = 0 получги'м разрешимость уравнения Р(х,Я = О. Используя правила операций с блочными матрицами [!!!), можно из формулы (.!.ч) для матрицы Якоби обратной функции получить формулу (4.1) для матрицы Якоби неявной функции.
Лействительно, нетрудно убедиться, что для невырожденной квадратной матрицы д порядка ю и матрицы А типа т х и А 8 — И'~ И' в которой символ 0 обозначает нулевой блок соответствующего типа, а Е -- единичную матрицу соответствующего порядк». Видно, что де~ И'(а,Ь) = де1Е ° де~Р,(а,Ь) ~Е 0 и для функции И выполнены все условия теоремы об обратной функции и окрестности точ ки (а, Ь), причем И (а, Ь) = (а, 0). Значит. по теореме об обратной функции в окрестности точки (а, 0) существует обратное отображен ие И ' (х, х). которое мож но представить в виде !ЗЙ 4.2. Найдите дифференциал Иг функции двух переменных х = г(х,у), заданной неявно уравнением с "+у= — !п(х+х) = О.
4.3. Найдите все частные производньн второго порядк» функции двух переменных = = =(х,у). заданной неявно уравнением х+у+=+" х = О. 4.4. Верно ли утверждение, что „уравнение у=- — х~ = И задает х как функцию от у и г"" .!~акое уточнение сделает это утверждение верным? 4.5. Для функции»(х,у) двух переменных, неявно заданноп уравнением ~(ух,х+г) = О, гд~ Ди,«) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, найдите частньн производные =„' и =„'. 4.6. Найдите "' и ='„, если х = агс®1,(и+ «), и+ с" = у'.
«у+,е!и « — х д= гЭ= 4.7. Покажите, что у — — х —, = О. если функция =(х. у) двух ' д.г ду переменных неявно задана уравнением р(2х+ у~/=, ") = О, г,н р(и, «) — произвольная дифференцируемая функция. 4.8. Для функции г(х, у), заданной уравнением х~+ у~+ „-'~ = =а2, найдите первый и второй дифференциалы. 4.9. Для функции «(х,у) двух переменных, неявно заданноп у!эавнением в!!п(хг) + соя(у=) = !. найдите первый и второн дифференциалы в точке х = у = !, " = О. 5. ГЕОМЕТРИ'ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 5.1. Производная по направлению о и = — =(иг,...,и„).
п~ Определение 5.1. Производной функции ~: И" — ~ И в точке а 6 И" по направлению вектора и называют число дУ(а) . ~(а+ зп') — Х(а) дп з-++О 8 (' ~) если этот предел существует. Из этого определения и содержащегося в нем соотношения (5.1) легко сделать вывод о том, что производная по направлению вектора представляет собой скорость изменения значений Функции ~ в точке а в направлении вектора и.
Теорема 5.1. Если функция ~: И" -~ И дифференцируем» в точке а Е И", то в этой точке она имеет производную по "аправлению любого ненулевого вектора и, причем дДа) " д~(а) дп . дх1 (5.2) где 1 ~ ( ) Пусть скаяярнал функция многих переменных ~: И" — г И определена в некоторой окреспгнослги пгочки а Е И" и задан вектор п,ф О.
Обозначим через и' единичный векпгор, имеюгций то же направление, что и вектор и: 140 з. гкомктгичкскик птложвиИя гЯа ц + яи~,..., а„+ ви„) з=О Ив дДа~ + ъи~,...,а„+ чи„) ~ дДи) В то же время. согласно определению производной функции действительного переменного, имеем у(, ) — у(0) . ~(а+.
и') — ~(п) = 1!ш' = Ьи з-+О я ю-вО Я !!з сушестнования последнего предела вытекает н сущсч твомние равного ему одностороннего предела при в -++О. !!озтому ~(п + ви') — ~(а) с)~(п) = !пп -о . ~+О я ди Иу(в) !!риравнивая правые части полученных равенств, нсэлучж и утверждение теоремы. ~ Пример 5.1. Скалярная функция двух переменных Д.г,д) = =г'" имеет чпсьчныг иронзвгэдныг Д(х,у) = яг ".
/„'(х,у) = х ' ". являющиес я непрерывными грункцаямп. !!сээ гому она, согласи теореме 2.5, дифференцируема в каждой точке плоскости. 1~ точке (1, 0) функция /'(х,н) имеет производную но любомУ пап равлен и ю. Взя в вектор я . я~ ! 1 и = соя —, я!н -) = 4' 4) Я Я Л Рассмотрим функцию у(в) = ~(а+ яи') одного действительного переменного я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
