V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Например, если г = д(у), у = ~Я = ф($) ... ~ (1)), где и Е Е, $ б Е, у = =- (у~, ..., у„,) 6 Ж~, то сложная функция г = д(Я)) зависит 2.6. Днфференцнруемогть сложной функции олько от одного переменного 1 и Их г~ дд ф~, дд ф1 дд ф„, Й,ду,й дуг й "' ду й' (2.18) где частные и обыкновенные производные вычисляются в соответствующих точках. Производную сложной функции х = д(~(1)) в случае и = 1, у — 1 (т.е. действительной функции действительного переменного), вычисляемую по формуле (2.18), называют полной про«зеодной функции д(~(1) ). У сложной скалярной функции у(и, о), и = и(1), о = гг(1), один аргумент 1, как и у функций и(1) и о(1) (т.е.

в данном случае и = 1). Согласно (2.18), находим Иу(~) ду(и, гг) Ни(~) ду(и, и) йф) й ди й ди й ду(и, и) ду(и, и) где частные производные " ' и ' вычисляются в точке и= и(1), гг = гг(1). Пусть х =д(и) — скалярная функция одного переменного и, а и = ~(х,у) — функция двух переменных х и у. Тогда х есть сложная функция переменных х и у: х= 2(х,у) =д®х,у)), причем и — единственное промежуточное переменное. В данном случае и = 2, т= й= 1 и мы имеем две формулы вида (2.17): да(х,у) с®и) дух, у) дх(х,у) йд(и) дЯ'(х, у) дх Ии дх ' ду Ыи ду г де производная — и вычисляется в точке и = ~(х,у). ид( ) Ии Пусть п = т = й = 2, т.е.

~: й~ -~ И~, ~ = (Л Ь), д: В2 -+ -+ Ж~, д = (дг д2) . Тогда для сложной функции х = д(У(хг, х2)) Равенство (2.13) в матричной форме при обозначениях х = д(у), У = У(хг,х2), у = (уг, у2) имеет следующий вид: (х1).', ( г)', (д1)'„, (дг)~„(Л)', (Л)', (22) юг (Х2) х г (д2) уг (д2) ур (У2) х, (У2) жг 2.7. Дифференциал функции многих переменных 91 В данном случае промежуточных переменных дца, но удобо цвести третье промежуточное переменное ю = 1 и рассмотреть сложную функци г = Дю'х,у)' ю = ~, х = ип ~, у = соз~ Используя правило дифференцирования сложной функции, находим Ых д~ йо д~ Ых д~ Ыу д~ д~ д~ — — — — + — — + — —, + созе — — з1п 1, й дю й дхй дуй дю дх ду где частные производные функции ~ вычисляются в точке (~, з1п1, созе).

б. Найдем частные производные сложной функции г(х, у) = =Ди,о,х), и = и(х,у), и= о(х,у). Вводя, как и выше, промежуточное переменное ю=х и записывая сложную функцию х(х,у) = ~(и,ю,ю), и = и(х,у), о = =и(х,у), ю= х, находим дх д~ ди дУ дю д~ дю д~ ди д~ до д~ — — — + + — + + дх ди дх до дх дю дх ди дх ди дх дю' дх д~ ди д~ до д~ дю д3' ди д~ до ду ди ду до дх дю ду ди ду до ду' где частные производные функции ~ вычисляются в точке и = и(х, у), о = е(х, у), ю = х. 2.7.

Дифференциал функции многих переменных Пусть функция многих переменных ~: Ж" -+ И'" определе"а в окрестности точки х = (х1, ..., х„) и дифференцируемп и этой точке. Тогда, согласно следствию 2.2, полное прири'Чение этой функции в точке х в зависимости от приращения т *= (Ьх~ ... Ьх„) независимых переменных можно представить в циде Ь ~(х) = ~'(х)Ьх+ а(Ьх) ~Ьх~, 92 ,2. ДИффятНЦИГтМЬт ФУНКЦИИ где ~'(х) — матрица Якоби функции Дх), а функция а(Ьх) является бесконечно малой функцией при Ьх + О.

!(ак и в слу- чае функций одного переменного ~П], можно ввести следующее понятие. Определение 2.3. Линейную относительно Лх часть полного приращения функции Дх), дифференцируемой в точке х. называют (полным) дифференциалом функции ~ и обозначают через ф(х). 4(х) = ~'(х) Йх, дх = (Ых1 ...

Их„) . (2.19) Для полного приращения дифференцируемой функции многих переменных имеем равенство ЬДх) = ф(х) + а(Ьх) ~Ьх~ = ~'(х) ах+ а(Ьх) ~Ьх~, (2.20) где ах = (ах1 ... ах„) и а(Ьх) -+ 0 при Ьх — ~ О. В случае скалярной функции ~: Ж" — ~ Ж ее матрица Якоби ~'(х) в точке х является матрицей-строкой, а равенство (2.19) можно записать следующим образом: (Ях) — ~ (х) ах1+ ~ (х) ах2+... + ~ (х) ах„> т (х1 х2 ° хи) Слагаемые Д ах; в правой части равенства называют частными дифференциалами функции ~(х) в точке х.

Каждо~' Итак, дифференциал функции многих переменных, дифференцируемой в точке х, вычисляется по той же формуле, что и и случае функции одного переменного: ф(х) = ~'(х)Ьх. Правда, в многомерном случае ~'(х) обозначает не производную функции, а ее матрицу Якоби. Дифференциалы независимых переменных х;, г = 1, и, как и для функции одного переменного, по определению равны приращениям этих переменных: ах; = Ьх;. С учетом этого дифференциал функции ~ можно записать в виде 3.7.

Дифференциал функции многих переменных 93 агаемое Д ах; представляет собой линейную часть частного иращения Ь;~(х) функции Дх) в данной точке. Дример 2.8. Найдем дифференциал Иг дифференцируемой калярной с.1ожной функции двух переменных г = ~(и,и), где и - х + у! 0 = ху. В данном случае Нх = х' Ых+ х„'Ыр, где хх = 1иих + чьих = 1и + Уму~ а частные производные функции ~(и,о) вычисляются в точке (х+и, ху). Таким образом, Дифференциал функции многих переменных, как и функции одного действительного переменного, имеет свойство, которое называют инвариамтпностпью формы записи дифференциааа. Пусть функция ~: И"-+Е"' дифферен цируема в точке а б Е", а функция д: й™ -~ Е~ дифференцируема в точке Ь = ~(а).

Согласно теореме 2.6, композиция до двух функций дифференцируема в точке а, а ее дифференциал в точке а в соответствии с правилом дифференцирования сложной функции имеет вид сЦд о ~) = (д о,Г)'(а) сКх = д'(Ь) ~'(а) сЕх = д'(Ь) сну, где Ыу = У'(а)с~х — дифференциал функции ~. Но точно такой же вид имеет дифференциал функции д(у). Вводя набор промежуточных переменных и = ~(х), запишем композицию 9'1 в виде х = д(у), у = Дх). Мы видим, что дифференциал д= сложной функции г = д(дх)) выражается через дифференциал ~У промежуточных переменных так же, как и в случае, когда зти переменные являются независимыми. Другими словами.

если 3 = д(у), то Их = д'(и) Ну и эта формула не зависит от ого каковы переменные у, промежуточные или независимые. 94 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Это свойство дифференциала и называют инвариантностью его формы записи. Замечание 2.2. Для дифференциала функции многих переменных сохраняются свойства дифференциала функции одного переменного. Например, для дифференцируемых функций ~, у: )и," -+ В и произвольного действительного числа с верны равенства й(с~) = сф, сЦ~ ~ д) = 4 ~ Ыу. Кроме того, в случае скалярных дифференцируемых функций ~ и д справедливы еще два равенства: Ы(~у) = яу+ дф и п(Оу) = (уф — ~яд)/уг (в точках, где д ф- 0).

Вопросы и задачи 2.1. Пусть функция ~: В" -+ В"' определена в окрестности точки х и имеет в этой точке матрицу Якоби ~'(х). Пусть функция д: В -+ Й~ определена в окрестности точки у = ~(х) и дифференцируема в точке у. Докажите, что сложная функция уо~: В" -+ Е" имеет в точке х матрицу Якоби, причем (д о ~)'(х) = у'(у)~'(х).

2.2. Найдите все частные производные следующих функций многих переменных: а) ~!х,у) = х~ — ху+Зу~ — х+у — ); б) л(ж,у) = !/1 -х+у~; х в) х(х,у) —,, г) и — а~п(х+у +ух), хг+ уг д) х = у(1), где 1 = х — у; е) х=д(х,у), где х =соМ, у=яп1; ж) 8 д(и и) гдеи х уг и у хг. з) х=у(х,у,~), где х=е ~~, у=Зе-~. 2.3. Найдите матрицу Якоби следующих функций многих переменных: а) Д1) = (асоМ аып1 1); б) ~(х) = Ах, где А б М„(И) — числовая матрица, х Е В"; в) ~(х,у) = (хг 2уз ху у~х) Вопросы и задачи 2.4. Найдите дифференциалы следующих функций многих переменных: ) и(х,у,г) = хапуг~; б) х(х,у) = 1 — х)б — у2; в) х(х,у) = —; у г) я= Цх,у), где х =соя2~, у=я1п2~; ) я=у(и,о), где и=ху, ю=у+х~; е) я — я(хву,1), Где х = ып 1, у = сова; ж) я = у + х ~(х+ у, ху), и з) я = агсФ~у —, где и = 1п (х + у), о = ху.

2.5. Имеет ли функция Дх,у) = взводвую Ы в точке (2, 0)? частную про- дг дг х — — у — = л. дх ду 2.6. Существуют ли частные производные заданной функции в точке (О, 0) и дифференцируема ли функция в этой точке, если фуикииз задаиа следующим обрезом: а) з)з у) = ~~~+ уз; у) — Ч/из+уз. в) з)з у) — у)з)з+))уу))ззч 2.Т. Наидите — и —, если г=е, у=х+агс~~х. дл И~ ху а~ ь' 2.8. Пусть фи) — произвольная дифференцируемая функция действительного переменного. Докажите, что функция х(х, у) = х «р(ху) удовлетворяет дифференциальному уравнению 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Эта глава по содержанию близка аналогичной главе выпуска ~И], посвященного дифференциальному исчислению функций действительного переменного, и даже названа так же. Ео основные темы: ироизводные и дифференциалы высших порядков и теорема Тейлора. Под производными в данном случае мы понимаем частные производные.

3.1. "Частные произиодные иторого порядка Предположим, что скалярная функция ~: И" -+ Ж во всех точках в некоторой окрестности Ща,о) точки а имеет частную производную Д. (х). Эта частная производная сама является функцией многих переменных, определенной в окрестности 0(а,6), и может оказаться, что она имеет частную производную в точке а, например по переменному х~. Частную производную дх дх функции Д (х) называют частной ироизводной втпорого аор.едка функции ~(х) в точке а по переменным х; и х и обозначают' или ~",~, (а). д~Да) ' х,дх; 'Иногда используют другой порядок переменных в обозначении часгных производных, а именно 3.1.

Частные производные второго порядка если для скалярной функции ~= Дх1,...,х„) в точке х существуют все частные производные второго порядка, то из них можно составить квадратную матрицу порядка и д~Ь(х) д2~1 (х) Ф ~1 (х) дх2 д~Ь(х) дх~дхр д ~р(х) дх~дх„ д~Ь(х) ~н(х) = дх' дх,д . дхрдх1 д'У ( ) д'У (х) дх„дх~ дх„дхр Ф~' (х) д. которую называют матрещей Гессе'. Пример 3.1.

У функции трех переменных и=х" +у'+ +1в(хг) в первом октанте, т.е. в области ((х, у, г) (= И~: х > О, у > О, г > О), су1цествуют все частные производные первого порядка: ц ух.-1 + 1 х и', = у'1пу+ —. г и„' = х" 1п х + ху' ', ~та функция в первом октанте имеет и частные производные второго порядка, которые вычисляются как частные производ- ные первого порядка от уже найденных производных. Э Л О. Гессе (1811-1874) — немецкий математик. Производные Д (х) в связи с этим называют частмымм продводными перв оао порядка.

Характеристики

Список файлов книги