V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Всего у скалярной функции Дх1,...,х„) и переменных в заданной точке а может быть и~ частных производных Д.'. (а) второго порядка. При гф-.7 их называют смешаккыми. При — ~ используют обозначения д~Да) ~ '.. (а) или ф (а). 98 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Вычисляя частные производные первого порядка функции и' по переменным х, у и з, находим 1 иихф —— у(у — 1)х" 2 — —, и"„=х" '+ух" '1пх, Аналогично, используя частные производные и'„и и'„получаем и'„'„=ух" ~1пх+х" ~, и"г — — х" 1п~х+х(х — 1)у' ~, иу~ =У +хУ 1пУ И г 2 Отметим, что смешанные производные во всех точках первого октанта удовлетворяют равенствам И И И и и„=иг„, и .
= и„, И И иг.„. —— и„,. Пример 3.2. Найдем все частные производные второго порядка для функции двух переменных ~~(х,у) = Зхзу+уз+5 и запишем для нее матрицу Гессе. Решение имеет вид Как показывают рассмотренные примеры, в некоторых случаях смешанные производные, которые отличаются лишь порядком дифференцирования, совпадают. Следующая теорема Обратим внимание на то, что в ответе получилась си.иметричестия матрица, т.е.
в данном случае (как, кстати, и в примере 3.1) значение смешанных производных второго порядка не зависит от порядка дифференцирования (последовательности. в которой вычисляются частные производные первого порядка). 100 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лагранжа [11). Согласно этой теореме, существует такое число д Е (0,1), что ~р(р+ Ьх) — ~р(р) = у'(р+ дух)Ьх = = ~Д(р+ дух, д+ Ьу) — Д(р+ дух, д)) Ьх. Итак, у(Ьх, Ау) = фр+ Ьх) — р(р) = = ~.'(р+ Ойх, у+ ~ у) — Ор+ ОЬх,п) ~~ х. Выражение в квадратных скобках представляет собой приращение функции Л(у) = Д(р+ дух,у) одного переменного на отрезке [д, д+ Ьу) (или [д+ Ьу, д1 при Ьу < 0): Л(Ю+ Ьу) — ЛИ) = Ор+ ОЬх Ю+ ~у) — Ор+ О~ х,В) На отрезке [у, д+ Ьу] функция Л(у) имеет производную Л (у) = ~~~(р+ Ойх у) и является поэтому непрерывной на этом отрезке.
Значит, и к этой функции на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа. Мы приходим к выводу, что Л(д+ Ьу) — Л(д) = Л'(д+ д1Ьу) Ьу = ~"„(р+ дух, д+ д1Ьу) Ьу, где д~ Е (О, 1) — некоторое число. В результате находим, что у(Ьх, Ьу) = Д'„(р+ дух,д+ д1Ьу)Лхасу. (3.1) Равенство (3.1) было получено в результате двукратного применения теоремы Лагранжа, причем сперва она применялась по переменному х, затем — по переменному у.
Но те же рассуждения можно повторить, поменяв лишь порядок переменных. Тогда получим равенство, аналогичное (3.1), н~ 3.1. Частные производные второго порядка 101 включающее другую смешанную производную. Действитель- „о, если фУнкцию 9(Дх, ДУ) пРедставить в виде 9(Дх, Ду) = 'Ф(д+ Ду) — Ф(Ч) где ф(у) = ~(Р+ Дх,у) — ДР,У), то получим у(Дх, Ду) = Яц+ О2Д у) Ду = [1у(Р+ Дх~ч+ ~2ДУ) 1у(РьЧ+ ~2ДУ)~ Ду~ где д2 Е (О, 1). Повторно применяя теорему Лагранжа к разно- сти в квадратных скобках, приходим к равенству 9 (Дх ~ ДУ) = Уух (Р + ~3 Дх ~ Я + ~2ДУ) ДУДх ~ (3.2) где дз Е (О, 1).
Соединяя равенства (3.1) и (3.2), а затем сокращая на произведение ДхДУ, получаем Ьу(Р+ ~Дх, Ч+ 'д1 Ду) = 1, (Р+ ОзДх, Ч+ д2ДУ). Переходя в этом равенстве к пределу при (Дх, Ду) — > (О, 0), заключаем, что д'„(р, д) = ~п (р, о), так как по условию теоремы смешанные производные д'„и ~» непрерывны в точке (р, д). Ь Условие непрерывности смешанных производных в доказанной теореме нельзя опустить: при нарушении этого условия смешанные частные производные могут отличаться.
Пример 3.3. Покажем, что смешанные частные производные второго порядка функции двух переменных 2 2 ху— г+„ю х2+у2 Фо. Дх,у) = О, х =У=О, различны в точке (О, 0). 102 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Найдем частные производные первого порядка: (х — У2 4Х 9 ~ 2 2„с (Х ) = ~Х2+У2 (Х2+У2)2 / ' О, х=у=О, Х2 2 4Х2 2 У х У 2+у2~0. у~(х,у) = Х2+у2 (х2+у2) х=у=О.
О, При у ф. 0 имеем У,'(О, у) = -у, откуда уи (О 0) ~ Ух(О~У) Ух(0~0) ~~0 у Аналогично У„'(х,О) = х при х ф. О, и поэтому фх,О) — ф0,0) и предел этой производной при х +0 зависит от й, т.е. Я является функцией, разрывной в точке (О, 0). Следовательно, У"„(0,0) ф Д.'„(0,0), что связано с нарушением условия непрерывности смешанных производных в точке (О, 0). Разрыв'смешанных производных вытекает из теоремы 3.1 (согласно этой теореме, в случае непрерывности смешанных производных в точке (О, 0) они в этой точке совпадали бы).
Но в этом можно убедиться и непосредственно. Действительно, в области х2+у2 ф-0 функции У' и У„' имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным у и х соответственно, которые равны между собой: х2 — у2 8х2у2 У „(х,у) — 1+ — У„(х, у). Р ~ х2+ у2 (х2+ у2)2 У Однако, например, при у = йх, х у~ О, имеем 3.2. Частные производные высших порвдков 3.2. частные производные высших порядков !О:5 Частпные проиэводкые высшего порядка вводятся так «е, как и частные производные второго порядка. Частную производную -г Й-го порядка (Й ) 1) функции многих переменных оп редел яют как часшную производную первого порядка от некоторой частной производной (й — 1)-го порядка этой функции. Например, для функции ~ = Дх,у) двух переменных мат с ществовать следующие частные производные третьего порядка: У"' = 1"з, 1",'„= У я„) ~' „„4 =.1'„ т.д, всего восемь частных производных.
Порядок производной в верхнем индексе указывают соответствующим количеством штрихов, если он невелик (не выше трех-четырех), а в общем случае натуральным числом. ри этом использу уют как римские обозначения натуральных чисел, ш (3) так и арабские (в круглых скобках). Например, Д",.„: — ~',„, /ввуу —,/ ~2 вз — Ф ~2 в2 * Пусть Х вЂ” ооласшь в Е". Через С" (Х) обозначают множество тех скалярных функций ~: Х С Е" -+ Е, у которых все частные производные до порядка Й включительно являются непрерывными на множесшве Х функциями.
Аналогичное множество векшорных функций, у которых все частные производные до порядка к включительно у всех координашных функций непрерывны в Х, обозначают Сх(Х,Е ). Можно сказать, что С (Х,Е"') — это множество таких векторных функций, все координатные функции которых принадлежат С (Х). жества С"(Х,Е"'), С"(Х) называют классами и говорят, что скалярная (векторная) функция принадлежит классу области Х, если она является элементом множества . (~" (Х,Е'")).
О функции ~ Е С~(Х) (Д Е С~(Х,Е™)) также говорят, что она имеет й-й порядок гладкостии в области Х "ли что она является Й раэ непрерывно дифференцируе- 4'о~ в области Х. В этих обозначениях допустим случай Й = оо, означающий, что соответствующая функция имеет непрерыв- з. п~оизводныь высших порядков ""е частные производные любого порядка. Такую функцию об"ч»о»азывают аладкой или бесконечно дифференцируе»ой функцией. для функций Й-го порядка гладкости в некоторой области "~Че»»е частной производной порядка не выше Й не зависит Последовательности, в которой выполняется дифференци)ч ~ч Ро~а»»е. НапРимеР, пРи Й =4 Равенство ~' „„= ~' хуу можно р ссиатривать как равенство частных производных по пере"е»»ому у функций ду' и д"у, или д"у и д„", где д = ~,. од' = " так как эти частные производные, являющиеся ху дух 1 ~'ст»ыии производными функции д, непрерывны. Значит.
1~ху И /хуху Iххуу' Свойство независимости частных производных от порядка ;А "Фференцирования, которым обладают функции классов С, ~»оляет в обозначениях частных производных группировать ~~»» те же переменные и тем самым упрощать запись. Напри» для скалярной функции Дх1,...,х„) частные производныг "о порядка обозначают следующим образом: д"Л ) д~'~П ) д",...д '" д",...д '„"' ~"»а=(в1, ..., ю„) и г= ~о~ обозначает сумму г~+...+1„всех и»4ексов.
3.3. Дифференциалы высших порядков Пусть скалярная функция ~: Е" -> И дифференцируема и "Рестности точки х. Тогда ее дифференциал ~еринн „гладкий" в математической литературе не имеет устоявшего~ММсла. В разных областях математики этот термин может обозначать Нме понятия. 105 3.3. Дифференциалы высших порядков к функция от х может оказаться дифференцнруемой функ„ией в точке х. В этом случае выражение Если дифференциал первого порядка является линейной т функцией переменных Ых = (дх1 ...
Ых„), то дифференциал второго порядка, согласно представлению (3.3), является квадратичной формой относительно этих переменных. В матричной записи дифференциал второго порядка имеет вид Ы ~(х) = (Ь ~и(х)сЬ, где у"(х) — матрица Гессе функции ~. Итак, если ~ б С2(У), где У вЂ” некоторая окрестность точки х Е Е", то в этой окрестности существуют непрерывные частные производные первого и второго порядка, а значит, в существуют как дифференциал первого порядка (у, так и лнфференциал второго порядка Ю~~. Дифференциал второго порядка, зависящий от набора незавн в"снмых переменных х и вектора их приращений дх (диффеРен нцналов независимых переменных), может оказаться диффе- представляющее собой дифференциал от дифференциала функции Дх), называют ди4ференциалом втиороао порядка функции У(х) в точке х и обозначают И~Дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
