V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 16
Текст из файла (страница 16)
0,01 — 0,02 = !22+ >3 ' 12з+уз !2 1О 1 1~+ 1ЗОО 1ЗОО = '~+бто= ИО Полученное значение отличается от точного лишь в пятом энаке после запятой. Если необходимо оценить точность В полученного приближения, можно использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. В рассматриваемом случае х У х ( г+ э з/э' ~ ю( '") г+ э)з/э' (х +~) х +у х ~1)'( "") ( з+йэ)з/з' Поэтому д 1~э~( уэ(Ьх)э — 2хуЬхЬу+ хэ(Ьу)э 2 2(хэ+ уэ)з/э Ре де * = а+ дух, у = 6+ дну, О < д < 1.
Используя неравенства х<13 ~ 1З, у < 5 в числителе дроби и оценивая снизу знаменатель Реви с помощью неравенства ч/х +у ) 12, получаем ~ < 25(Ьх)э+ 13ЩЬхЬу~ + 169(Ьу)э 961 О-4 <ОЗ 1О 4. НЕЯВНЫЕ <ФУНКЦИИ Рассмотрим систему уравнений ~~(х1,х~,...,х„.~„,) = О, Ях ~, хя,..., х„~.,„) = О, Лв(х3 ~х21 ° ° ° ~ хп+пь) = О~ где функции ~~(х), ..., ~„,(х) определены в некоторой об.алии Х С И"+ .
Предположим, что эта система разрешима относительно части переменных, например х„+1, ..., х„+„,. Разрешимость системы в данном случае следует понимагь а широком смысле как существование для любых значений х~..... х„единственного решения системы относительно переменных х„.~с, ..., х„.~„,.
Тогда определена функция мно их неремсапьп у = Ь(х), которая точке х = (х~, ..., х„) Е В" ставит в соотв< т. ствие точку у=(х„~~, ..., х„~.,„) с= Й"' так, что в совокупно~та переменные х~, ..., х„.~,ц составляют решение рассматривас мои системы. В этом случае о функции Ь(х) говорят как о неявной фрннции, или неявно заданной 4ункции.
Отмс*'п1и что термин „неявная функция" относится не к виду или стр~к. туре функции, а лишь к способу ее задания. В математическом анализе важную роль играют условия. при выполнении которых система уравнений вида (4.1) разР'" шима относительно части переменных. Отметим, что всч ~"" не просто определить, разрешима ли система в заданной обла сти. Условия же локальной разрешимости системы (4.1). тс' ее разрешимости в некоторой окрестности заданной то'Ф"' достаточно просты и связаны в первую очередь с дифферс нп" альными свойствами функций ~5, .... ~„,. 117 4.1. Случай уравнения с двумя неизвестными 4.1.
Случай уравнения с двумя неизвестными Пусть г = Дх,у) — функция двух переменных. Уравнение Дх,у) =0 будем называть уравнением с двумя неизвестпмыми. Остановимся на вопросе о том, при каких условиях это уравнение определяет переменное у как неявную функцию переменного х. Рассмотрим несколько примеров. Пример 4.1. Уравнение Зх~ — у+ 20 = 0 может быть записано в эквивалентном виде у = Зх~+20, и мы видим, что это уравнение задает переменное у как функцию переменного х. Выполненное преобразование уравнения — это фактически е) с Решение относительно переменного у (мы выразили у через х). Пример 4.2. Иэ уравнения х2+у~ — 9 = 0 тоже можно выРиэита у через х: у = хз%9- хэ. Однако в этом елучае каждому значению х Е ( — 3, 3) соответствуют уже два значения у.
Мы "олучаем из уравнения не одну, а две функции, определенные "а отрезке )-В, 3): о1)х) = зур — хх и оэ)х) = -~/9 — хэ. Пример 4.3. Уравнение х~+у~+ 1 = 0 не имеет решений и пО "отому не задает ни одно из переменных как функцию от дРУгого. Пример 4.4. Задает ли уравнение е" +у — х+!пх = 0 пере енное у как функцию переменного х или переменное х как ф Функцию переменного у? Ответить на этот вопрос сложно. Дри изучении системы вида (4.1) удобно использовать векориые способы записи. Подобную систему будем записывать в виде ~(х,у) = О, где х б В" объединяет переменные, значения корых задаются произвольно (свободные переменные), у Е Ж"' бьединяет переменные, относительно которых решается ситема (зависимые переменные), а ~: Ж"+ -р Е"' — некоторая, вообще говоря, веюпорнаа функция многих переменных. Изучение вопроса начнем с частного случая, когда и = т = 1, т.е. переменные х и у являются скалярными.
1)8 4. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ так как не ясно, каким образом одно из переменных можи<, выразить через другое, преобразуя это уравнение. 4~ Приведенные примеры показывают, что не так-то просто исходя из вида уравнения ~(х,у) = О, выяснить, задает оно нг явную функцию или нет. Как отмечено выше, ответить на этот вопрос можно в окрестности заданной точки, если использо. вать дифференциальные свойства функции двух переменньгх Лх,у). Теорема 4.1 (тпеорема о неявкой функг4ии). Пусть уравнение ~(х,у) = О, х, у Е В, удовлетворяет следующим тренг условиям: 1) координаты точки (а, 6) удовлетворяют уравнению, т г. Да,6) = О; 2) функция Дх,у) определена в некоторой окрестности (~ точки (а, 6) и непрерывно дифференцируема в У, т.е.
~ г= С'(!'); 3) частная производная функции Дх,у) в точке (а, 6) по переменному у отлична от нуля, т.е. У„'(а,6) ф- О. Тогда на плоскости существует такой прямоугольник Р, определяемый неравенствами ~х — а~ ( Ю~, ~у- 6~ < в„, имеющий центр симметрии в точке (а, 6), что в,Р уравнение ~(х,у) = 0 разрешимо относительно переменного у и тем самым задает функцию у = у(х), х Е Т = (а — б,, а+ о ). При этом функция у = у(х) непрерывно дифференцируема на Т, а ее производная может быть вычислена по формуле Д(х, у) ©х,у) в=м(~) ~ Будем для определенности считать, что фа,6) > О, гак как в противном случае вместо функции ~(х,у) можно рассмотреть функцию -~(х,у).
В силу непрерывности частим" производных существует такое число Ь > О, что при ~х — а~ < -~ и ~у — Ц < Ь точка(х, у) попадет в У и будет верно неравенстив 4.1. Случай уравнении с двуми неизвестными 119 с~(х у) > О. Тогда при фиксированном х б 1а — Ь, а+ Ь] функу' Ф „ия д (у) = Дх,у) одного переменного у определена на отрезке ~у Ь,6+Ь] и на этом отрезке возрастает, так как имеет полокительную производную 111].
При этом для х = а функция (у) обращается в нуль в точке 6 отрезка [6 — Ь, 6+ Ь]. Следовательно, У(а,Ь вЂ” Ь) =да(6 л~) < < О и Да, Ь+ Ь) = д,(Ь+ Ь) > О. х, )>О '. Отметим, что функция двух пе- Ь+Ь-- еменных Дх, у) имеет непрерыв- „' ~® у'1 ные частные производные в У. Ф $ Эиачит, она дифференцируема и, ', , 'Р непрерывна в У. Поэтому можно '.1Лх4~)з'О,'- ' указать такое число 8, О < о < Ь, О аЗ а а+д х что при ~х — а~ < о будем иметь ~(х,Ь вЂ” Ь) <О и Я(х,Ь+Ь) >О Рис. 4.1 (рис.
4.1). Выберем произвольное значение х б 1а — а, а+ а] и зафиксируем. Функция д (у) = Дх,у) на отрезке 16 — Ь, Ь+ Ь] непрерывна, возрастает, причем на концах отрезка имеет значения разных знаков. Следовательно, на этом отрезке существует единственное значение у, при котором функция д (у) принимает нулевое значение.
Иначе говоря, при х б 1а — о, а+8] уравнение ~(х,у) = О на отрезке 16 — Ь, 6+ Ь] имеет единственное рещение относительно у, т.е. на отрезке х С 1а — о, а+ О] определена однозначным образом функция у = у(х), удовлетво Ряющая соотношению ~(х,<р(х)) = О. Тем самым доказана разрешимость уравнения ~(х,у) = О относительно у в некотором прямоугольнике Р.
В качестве б и д„следует взять соответственно 6 и Ь. Отметим, что функция у = у(х) непрерывна в точке а, в которой значение функции равно 6, т.е. д(а) = 6. Действительно, "риведенные выше рассуждения верны при любом сколь угодно малом значении Ь > О. Это на самом деле означает, что дл" любого числа Ь > О существует такое число о > О, что при ~х 'а! (» 8 уравнение ~(х,у) =О разрешимо относительно у, при- !2! 4.
!. ('лъ'чай' уравнения с двумя неизвестными г~е о(Лт) бе< конечно .чт.ися 4ункция при Ь)' -+ О. Учтем )то представление в равенстве (4.3): ~(а + Ьх) — ~Р(а) = Ь2/ = — .'л.т + о(Ьх) .Ьх. Фа. Ь) ~,'(а,Ь) цолученное соотношение по определению означает, что функ- ция одного переменного у = ~р(х) дифференцируема в точке а. !!ри зтом Отметим, что прямоугольник Р~, построен ныи и докачвтел!ъстве теоремы 4.1, выбран так, что график функции у= р(.г) расположен внутри зтого прямоугольника и соединяет две точ"и на противоположных вертикальных сторонах прямоугольника. ПРимер 4.5.
Уравнение ~(),д) = х~+у~ — 9= О из при"ера 4.2 задает окружность радиуса 3. Условия теор~мы 4.! выполнены во всех точках окружности. кроме точек (3. 0) и З О), в которых ~„' = О. Для любой точки (а, Ь) окружнос "'""и в верхней полуплоскости существует прямоугольник Р. Ясно, что вместо точки (а, Ь) можно взять любую точку и прямоугольнике Г. лежащую на графике функции у = ~(,г), и повторить рассуждения. Мы приходим к выводу. что функция у = ~р(х) дифференцируема. в интервале (и — д . а+8„.). а ее производная может быть вычислена по формуле (4.2). )!нконец, отметим, что правая часть формулы (4.2) представляет собой комиозици)о непрерывных функций': отношение чжтных производных есть непрерывная функция двух переменных как отношение непрерывных функций (нри зтом Д,',();,у) ф О в прямоугольнике Р), а переменное у есть непрерывная функция 9=.у()') переменного;г.
Следовательно, функция р'() ) непр~ рывна. и интервале (а — Б, а+ 6 ). ~ 4. НЕЯВНЫЕ ФУНЕЦ!!!! в котором уравнение разрешимо и <- У ногительно и: у = о'й-л> <риг. 4.2), Р В качестве такого и ря моугол ьн н. ь ---- б„ ка подходит любой прямоугольни), '<> ' в верхней полуплоскогти со стор<. 1 >,н> -3 нами, параллельными огям коордн нат, центром в точке (а, 0), такой. что окружность пересекает«В г его боковыми сторонами. Для т<>- чек окружности в нижней полунл»<- Рис. 4.2 когти в соответствующем прям<>- угольнике у = ->гй — л>. В окрестногти точек <:>, О) и <-'.>. и> уравнение неразрешимо относительно у. Например, позыв<)< точку (3, 0). Тогда при любом х > 3 уравнение не имеет ренн ний, а при х < 3 оно имеет два решения, т.е. в окре«тногти зт»и точки уравнение не определяет у как функцию х.
Отметим, чт > в этих особых точках касательные к окружности вертикальны. Прямер 4.6. Функция ~(х,у) = г" +у — х+!их из пример .!.4 удовлетворяет условию ~'„'(х,у) = г" + 1 > 0 всюду н прав»н полуплоскогти х > О. Значит, если»то уравнение имеет хотя бы одно решение (а, 6), то в окрестности этого р~чцения уравнен п< разрешимо относительно переменного у и задает у как функцию переменного х. Например, это справедливо и для точки (1, 0), поскольку !(1,0) =О. С'оглагно теореме $.1, н некот»- ром прямоугольнике < центром в точке (1, 0) ра«гматриваем<><' уравнение неявно задает функцию у = д(х), причем зта функция имеет непрерывную производную — 1+ 1/х р'(х) гя+ 1 Подставив координаты точки (1, О) в найденное выраук<'- ние производной, заключаем, что р'(!) =О. Следовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
