V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доказательство теоремы в случае, когда у' (а,Ь) ф О, проводится аналогично. ~ Ф ~ истему уравнений (7.5) можно записать в виде дга4«(х,у) = -АдгЫфх,Я, фх,у) = О и придать еи следующую геометрическую интерпретацию: если в точке условного экстремума выполняются условия теоремы 7.1, то тняя уровня целевой функции касается кривой, заданнои уравнением связи. На рис. 7.1, а показано, почему в этом случае необходимое условие не может нарушаться в точке г' условного экстремума.
Представлены линии уровня «(х) = с~. «(х) = сг и «(х) = сз. В изображенной ситуации с~ < сг < сз (это определяется направлением градиента функции «(х,у), являющимся направлением ее роста) и функция «(х,у) на кривой д(х,у) = 0 не может иметь экстремума. На рис, 7.1, б показ»- с сй сз с с2 сз 1 х) С х)=п гад~ с~с2 сз 7.2. Необходимое условие условного экс'гремума 175 Цх, у, Л) = ~(х, у) + Лд(х, у), которую называют функцией Лааранжа, где Л вЂ” множи- грель Лагранжа.
Тогда система (7.5) будет иметь вид Х,'(х,у,Л) =О, фх,у,Л) =О, Ц(х,у,Л) =О. (7.8) Таким образом, задача на условный экстремум ~(х, у) -+ ех~г, р(х, у) = О при выполнении условий теоремы 7.1 сводится к поиску стаци- онарных точек функции Лагранжа (7.7) и их анализу. Пример 7.2. Найдем точки, подозрительные на условный экстремум, в задаче ~(х,у) =ху-+ех~г, 2(х+у) =2р, х > О, у >О, сформулированной в примере 7.1. Функции ~(х, у) = ху и у(х,у) = 2(х+ у) — 2р удовлетворяют Условиям теоремы 7.1, поэтому решать задачу можно при помощи функции Лагранжа. Составим функцию Лагранжа (7.7): Цх,у, Л) = ху+ Л(х+ у — р). поведение функции в окрестности условного максимума Р.
В соответствии с указанным направлением градиента функции у(х,у) имеем с~ < с2 < сз, что и обеспечивает локальный максимум Дх,у) в точке Р на кривой у(х,у) = О. На рис. 7.1, в изображена ситуация, при которой необходимое условие условного экстремума выполнено, но экстремума тем не менее нет (в соответствии с направлением ~гас1~ в точке Р имеем с1 < с2 < сз). Введем функцию 7. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 176 Необходимые условия (7.8) условного экстремума приводят ), системе уравнений Ь' (х,у,Л) = у+ Л = О, Ь'„(х, у, Л) = х + Л = О, Ь',(х,у,Л) =х+у-р=о.
Выражая х и у из первых двух уравнений и подставляя зтц выражения в третье уравнение, находим — 2Л вЂ” р= О, откуда Л = -р/2 и х =у= р/2. Следовательно, условный экстремум в рассматриваемой задаче может быть только в точке Р(р(2; р/2) (рис. 7.2). 4 М(х) Рис. 7.2 Необходимое условие для задачи общего вида (7.3), (7Л) может быть получено по той же схеме, что и в частном случае двух переменных. В задаче (7.3), (7А) функция Лагранжа по определению имеет вид ??? Ь(х,Л) = Дх)+Льр)х) =/~х)+~ А?р)х), 1=! (7.9) где Л = (Л1 ... Л,„), у(х) = (?р1(х) ...
у,„(х)) . При этом числа Л;, ~ = 1, т, называют множитеаами Лагранжа и этой задаче. 7.3, Достаточные условия условного экстремума !77 теорема 7.2. Пусть функции ~: И" -з И и у: И" -+ И' „ределены и непрерывно дифференцируемы в окрестности чки а б И", причем Кд~р'(а) =т. Если в точке а функция ~(-,) ,меет условный локальный экстремум при условии <р(х) = О, то уществует такой вектор Л = (Л1, ..., Л„,), который вместе ~ координатами точки а удовлетворяет системе уравнений дЦх, Л) дх1 дЦх, Л) дх„ дЦх, Л) дЛ, (7.10) дЦх, Л) — — О. ф Доказательство этой теоремы, опирающееся на теорему 4.3 о неявной функции, в основном повторяет доказательство теоремы 7.1 (случай и = 2, т = 1) и потому не приводится.
я Т.З. Достаточные условия условного экстремума Достаточные условия условного экстремума в задаче (7.3). Р.4) можно сформулировать с помощью функции ЛигрпнжаПусть в задаче на условный экстремум функции У: И" -+ И "Ри условии у(х) = О, заданном функцией у: И" —,~ И, в точке и 6 Ж" выполнено необходимое условие условного экстремум. ~ этом случае в точке а определен вектор Л, множгпиелей,.ЧигРаилса. Зафиксируем в функции Лагранжа 1(х, Л) значения "ножителей Лагранжа, представив ее как функцию только пеРеменных х: Цх) = Цх,Л„). Чтобы выяснить, является ли точка а точкой условного экстремума рассматриваемой функ.
ции, нужно проанализировать дифференциал второго ггорядкв 0~1,(а) функции Цх) в точке а. Рассмотрим этот диффереп г1ггал как квадратичную форму а Ца)11 на лггне~аном подпро. сгпуанспгвс И в Е", заданном системой линейных уравнений Йр(а) = 0 (или, по-другому, ф(а) дх = 0). Теорема 7.3. Пусть функции 1: В" -+ Е и у: Е" -~ Е'" дважды непрерывно дгаффсрегсцирусмы в окрестности гпочки а Е Е", ~р(а) = О, Кдд'(а) = гп и координаты точки а вмесге с некоторым вектором Л удовлетворяют системе уравнений (7.10). Тогда.: г) если квадратичная форма ~РЬ(а)о положительно определенная, то функция 1(х) имеет в точке а сгпрогиг1 условггггй .гокальный минимум при условии р(х) = 0; 2) если ~вадра~ичная форма И Ь(а)11 отрицательно определенная, то функция 1(х) имеет в точке а сгирогиг1 условигггг локальный максгисум при условии у(х) =0; 3) если квадратичная форма сРЦа)11 знакопеременная.
то функция 1(х) в точке а не имеет условного экстремума. 4 Ранг матрггг1ы Якоби у'(а) функции д(х) равен т, и в эгч>гг матрице можно выделить базисный минор порядка гп, равног ~~ количеству строк матрицы. Для упрощения выкладок предположим, что этот базисный минор расположен в последних гп столбцах. Обозначим х = (хг, ..., х„), х = (хг...., х„„,) у= (х„„,+г, ..., х„). Тогдафункции 1 и у можно представить в виде 1(х,у) и у(х,у). При этом матпрчаца Якоби <р'„(Ь,с) функции у(х,у) по часгви игременных у в точке а = (Ь, с) является невырожденной.
Следовательно, в этой точке можно применить гпеорсму4.3 о ггеявной функции. Мы заключаем, что в не которой окрестности точки (а, Ь) уравнение фх,у) = 0 неянп" задает у как функцию х, т.е. уравнение ~р(х,у) =0 эквивалентно уравнению у = Ь(х), где Ь(х) — непрерывно дифференцируемагг функция в окрестности точки а г= Е" "'. Матрица Якоби 6'(г) т..условный эксттмум 180 где Ыу = Ь'(~)Иг. Запишем это равенство в координатно,, форме Ид= Ь~ Ых;.
Отметим, что, согласно равенствам (7.10), Ыд(6) = О, т.е. и точке 6 функция д(г) удовлетворяет необходимым условинм экстремума. Теперь вычислим дифференциал второго порядка, имея в виду, что в данном случае переменные ж„„,+~, ..., х„ входящие в набор у, являются промежуточными переменньит. Н2д = ~ Ь" Нх;Нх + ) Е', И~и,. Так как в силу условий теоремы 7.3 в точке (6, с) выполнены равенства (7.10), то (7.11) Чтобы получить окончательный вид дифференциала второго порядка функции д(г) в точке 6, нужно исключить набор промежуточных переменных у = (х„„,+~, ..., х„), т.е. в правой части равенства (7.11) выполнить замену Ыу = Ь'(6)Ы~. Но это означает, что дифференциал второго порядка функция д(г) = Цл, й(г)) в точке л = 6 совпадает с сужением сРЦЬ, с) уу на линейное подпространство Н дифференциала второго порядка функции Лагранжа Цл,у).
Применение достаточных условий экстремума для функций многих переменных завершаГ'~' доказательство теоремы. Например, если квадратичная фоР- ма ~РЦ6,с)ц положительно определенная, то и сРд(6) являет( я положительно определенной квадратичной формой. Согла~ н" теореме 6.2, функция д(~) = Ь(л,Ь(г)) имеет в точке 6 локал~ ный минимум. Это равносильно тому, что функция Ь(л,у) (а 7.3. Достаточные условия условного зигтремума „ачит, и функция ~(л,у) ) имеет в точке а= (6, с) условный , кальный минимум при условии у = Ь(г) (или <р(х, у) = 0). ~ 'теорема 7.3 утверждает, что для проверки точек, подозрительных на условный экстремум, необходимо проанализировать квадратичную форму <РЦа), т.е.
дифференциал второго порядка функции Лагранжа, при значениях приращений Ьх. которые удовлетворяют системе линейных уравнений сбр; = ~, ' Ьх =О, г = 1, ти. д~р;(а) дх 2 (7,12) Пример 7.3. В примере 7.2 уравнение с6р = 0 дает дх+ Иг~ = О откуда можно, например, выразить 0х через Иу: дх = — ~1у. Матрица этой системы линейных алгебраических уравнений совпадает с иатрицей Якоби у'(а) функции фх) в точке а, ранг которой по условию теоремы 7.2 равен щ. Следовательно, система (7.12) позволяет выразить т приращений через оставшиеся и — т приращений.
Зафиксируем известные значения множителей Лагранжа (координат вектора Л). Рассматривая функцию Лагранжа Б(х) как функцию только переменных х1, ..., х„, вычислим ее дифференциал второго порядка ~Р!. в точке а. Исключим из квадратичной формы УЬ указанные ш дифференциалов. Получим квадратичную форму относительно и — т дифференциалов. Если эта квадратичная форма является положительно определенной (отрицательно определенной.
зиакопеременной), то в точке и функция Дх) имеет условный локальный минимум (условный локальный максимум, не имеет Условного локального экстремума). Если указанная квадрати чная форма от и — т переменных вырождена, но сохраняет знак (неположительно или неотрицательно определена), то в точке а Функция Дх) может иметь условный локальный экстремум, а.
"ожет и не иметь. В этом случае по виду второго дифферен"иала в точке выявить поведение функции дх) нельзя и нужны другие методы исследования. Т. УГЛОВНЫИ:Ич СТРЕМУМ 182 Пример 7.4. Исследуем на условный экстремум функцию ~(х,у) = х~+у~ при угловии .г~/а~+ у~/6~ = 1, где а > 6.
с!эункция Дх,у), как и функция д(х,у) = х~/а~ -1- у~/6~ — ~ я вл яется по край ней мере дважды неп реры вно дифферен ци руемой на всей плогкости. Согтавим функцию Лагранжа Х(т.,ч1 = ~(х,у) + Ау(т,,у) = (1+ — )ж~+ (1+ — д)у1 — Л. Запишем систему (7.10) необходимых условий условного экст- ремума: Л Ь',(х,у) = 2~1+ — х = О, Л Ь'„(х,у) = 2~1+ —, у = О, Из первого уравнения находим, что либо х = О, либо Л = -а'. В нервом случае (х = О) из третьего уравнения вытекает, что у = ~Ь „-Е О, а из второго -- что Л = — Ь~. Во втором случае (Л = -а~) из второго уравнения сразу получаем, что у=11. Окончательно, используя третье уравнение, заключаем, что есть четыре точки, подозрительные на условный экстремум: х1д — — О, у~ ~ — — ~6, Л = -Ь~; х3,4 ~пс у3.4 = 01 Исследуем эти четыре точки, применяя достаточное углони' условного экстремума. Рассмотрим два случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
