V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Отметим, что это нера:венство можно замен ить нестроги м неравенством ~ж ~ < г, так как из этого нестрогого неравенства следует, что ~ж~ < 2г = г'. Определение 1.6. Множество, которое содержит все свои граничные точки (свою границу), называют замкнутьюм множеством. Замкнутое ограниченное множество в К" называют компактным множеством, или компактом.
Замкнутый круг и окружность на плоскости, замкнутый шар и сфера в пространстве являются замкнутыми и даже компактными множествами. Множество А, изображенное на рис. 1.2, не является ни открытым, ни замкнутым, так как его граница, обозначенная сплошной и штриховой линиями, содержится в А лишь частично. Замечание 1.2. Пустое множество считают по определению замкнутым. Таким образом, пустое множество одновременно и открыто, и замкнуто.
Точку 6 б К" называют внешней тонкой множест,ва А СК", если существует такая я-окрестность этой точки, ко гоРая не пересекается с множеством А (рис. 1.4). Множество всех внешних точек множества А называют внешностью множесэпва А. 28 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1<'АЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Если точка 6 Е К" не принадлежи1 множеству А С К", то существуют А две возможности: а) любая е-окрестность точки 6 содержит точки мно жества А и, следовательно, точка. 6 является граничной точкой множеРис. 1.4 ства А; б) некоторая,~-окрестность точки 6 не пересекается с А и, следовательно, точка 6 является внешней точкой множества А. Любое отображение у: Т вЂ” ~ К" промежутка Т числовой осн К в К" можно записать в виде где у;(1), г = 1, и, — функции одного действительного переменного 8, определенные на промежутке Т.
Если все эти функции непрерывны на Т, то отображение ~р будем называть иутем и К", а образ у(Т) этого отображения — непрерывной кривой в К". Если Т = 1а, 61 — отрезок, то точку д(а) будем называть началом твути д, а точку <р(6) — концом агути р. В трехмерном случае (и = 3) отображение р(~) можно интерпретировать как закон движения материальной точки, если аргумент 1 рассматривать в качестве времени. Это обьясняет термин „путь", данный отображению у. Пример 1.4. Отображение у: ( — оо, +со) + Кз вида. ~ = Р~ (~) = соМ, Ч = Р~ Р) = в1п ~, =- = ~з(~) = ~ задает непрерывную кривую в Кз, представляющую собой винтовую линию (рис.
1.5). Определение 1.7. Множество А С К'", любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве, называют линейно свлзным. Открытое линейно связное множество называют областью. 1.1. Открытые и замкнутые множества Рис. 1Л Следующие множества являются областями: — любая с-окрестность Г(а,. ) точки а 6 К"; о — проколотая .'-окрестность !1(а, ) точки а Е К"; — (открытое) кольцо в К2 с центром в точке (а1, а~) и радиусами т и И., которое можно описать неравенствами т < (х1 — а1) + (х~ — аг) < Й2, (х1, хя) Е К; — множество ~(х1, хг) Е К: г < ~х1 — а1~+ ~х~ — аг~ < Й~, где (а1, аг) Е К2, О < и < и..
Рассмотрим последовательность (а1,) элементов множества К" (или просто последоватпельностпь в К"). Пусть существует такая точка а Е К", что для любой ее ~-окрестности ~~(а,я) можно указать такой номер Е б И, что для любого й ) Ж верно соотношение а1, б Г(а,. ). Тогда (а1„.~ называют сходя~Чейся последоватпельностпьто в К", а точку а — пределом последователькостпи (а1,) в К".
Если указанной точки а не существует, то последовательность (а1,) называют расжодя~Чейся последоватпельностьто в К". Для предела последовательности в К" сохраняются основные свойства числовых последовательностей, которые можно Рассматривать как частный случай последовательностей в К'" 30 |. ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕРЕМЕННЪ|Х ЕАЕ ОТОБРАЖЕНИЯ при и = 1.
Например, можно показать (по-существу, повтс> рив доказательство для одномерного случая) единственность предела последовательности в К". Так как К'" есть линейнос пространство, элементы последовательностей в К", а значи г и сами последовательности, можно складывать, вычитать и умножать на действительные числа. Как и в одномерном случае, для сходящихся последовательностей (а|,) и (6|,.) можно утверждать, что 11пг (а|,. ~6|„.) = 1пп а~,~ 1пп б|,, lс->со lс-+со /с->ос 1пп (аа|,-) = а 1гш а|,, |с-+со lс-+оо причем существование пределов в равенствах слева вытекает из существования пределов справа.
Для последовательностей в К" верен критерий Коши. Согл асио этому к ритери ю„последовател ь ность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальногг последовательносгггью. В данном случае последовательность (а|,.) в К" называют фундаментальной, если для любого числа е ) 0 можно указать такой номер г>г' б М, что для любых й > Ф и ггг ) Ж выполняется неравенство ~а|„.
— а„,~ < ~. Нетрудно увидеть, чтс> данное определение дословно повторяет определение фундаментальной числовой последовательности [1-6.5). Замечание 1.3. Критерий Коши для последовательностей в К" можно свести к одномерному случаю. Действительно.
сущест вован ие п редела последовател ьн ости (а|„. ) с элементам и а|; = ~а|,, а|,,, а|„, (, А: (= М, равносильно существованию / (г) (2) (н)~ предела у каждой из ~г, последовательностей* (а,. ), (а„), ..., (а|, ), Аналогично последовательность (а~) фундаментальна (») тогда и только тогда, когда фундаментальны все последовательности (а. ), (а,. ), ..., (а, ). Доказательство этого утверждения можно получить, изменив соответствующим образом доказательство теоремы >.4. 1.2, Функции многих переменных 1.2.
Функции многих переменных Отображение вида ~: А -+ К"', где А С К", и > 1, называфункцией многих переменных (функиией нескояьких ,еменных). В случае т = 1 значением такого отображения ляется действительное число (скалярная величина) и отображение называют скалярной функцией многих переменных. При уд > 1 значением отображения является упорядоченный набор из т чисел, который можно интерпретировать двоя„о как элемент линейного арифметического пространства или как элемент аффинного арифметического пространства. Пример первого рода дает поле скоростей текущей жидкости, когда в каждой точке некоторой области в пространстве задана скорость частиц жидкости, протекающих через эту точку. Пример второго рода дает перемещение частиц жидкости в пространстве: каждая частица жидкости перемещается из одной точки пространства в другую и результат перемещения можно рассматривать как отображение точек старого положения частиц жидкости в точки их нового положения.
Ориентируясь в случае т > 1 на первый вариант интерпретации отображения, будем называть такое отображение векторной функцией многих переменных. Это отображение часто называют вектпорной функцией вектиорного аргумента, что подразумевает интерпретацию и области определения, и области значений как линейных пространств. Замечание 1.4. Пусть Ь| и Ь2 — линейные пространства размерностей п и т.
Зафиксировав в обоих линейных "ространствах базисы, можно представлять векторы в них как у "орядоченные наборы координат. Это позволяет любое отобРажение ~.: Ь, — ~ Ь2 трактовать как отображение вида ~: К" -+ '~ К2В , т.е. как функцию многих переменных. бранные определения согласуются с определением функции дгйст твитсльного псргменного, которое соответствует общему оп у определению функции многих переменных в случае и = 1. 32 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Таким образом, понятие функции многих переменных можа, рассматривать как обобщение понятия функции действитель ного переменного. Упрощая изложение, в дальнейшем функции многих переменных часто будем называть просто функциями или скалярными (векторными) функциями. Будем также использовать и упрощенные обозначения таких функций.
Вместо ~: А -+ К"', А С К", будем писать так: ~: А С К"-+ К"'. В тех же случаях, когда существенным является не множество А, а лишь размерности линейных арифметических пространств, будем записывать функцию многих переменных следующим образом: ~: К" — ~ К . Эта запись может иметь и другой смысл, обозначая функцию, для которой А = К'", но этот случай будет оговариваться особо. Множество Р(~) = А точек из К", в которых определена функция ~: А С К" — ~ К"', называют областью определения (суи4ествования) функции ~, а множество В(~) = = (у Е К™: у = Дх), х Е Р(~)) — облвстью значений 1'изменения) функции ~.
Подчеркнем, что термины „область определения" и „область значений" никак не связаны г термином „область". Область определения функции и область е~ значений могут и не быть областями в смысле определения 1.7. Поскольку элемент линейного пространства К'" при т > 1 является совокупностью л~ действительных чисел, то векторную функцию многих переменных ~: К" -+ К"' можно рассматривать как совокупность и скалярных функций Д, полагая, что Дх) = ® (х) ~~(х) ... ~„,(х)), х Е РЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
