V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Эта функция точке в плоскости хОу с координатами х и у, попавшей в окрестность Цо, ставит в соответствие ту точку поверхности Я, которая проектируется в точку (х, у), т.е. функция Ф о Ф имеет вид 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 218 Векторы г„г„параллельны касательной плоскости хОу. ~л довательно, Д(0,0) = О, ф0,0) = 0 и 4'(0,0) = О. Кроме тог„ г хгг, — — г ху = й и и' = й. Согласно замечанию 8.4 и раве„ ствам (8.19), получаем формулы (8.18). я Если две поверхности 51 и 52 проходят через точку Р и им ют в этой точке общую касательную плоскость я', то 51 и 5 2 называют поверхностями, ип.
! сающимися в точке Р. Вос становим перпендикуляр в про. г м извольнои точке А касательной 'Р А плоскости и до пересечения с по. верхностями 51 и 5г в точках Р, Рис. 8.9 и Рг соответственно (рис. 8.9). Тогда для некоторых значений г > 1 верно соотношение ~Р~Рг) = о(~РА~"), А -~ Р (8.20) Теорема 8.6. Предположим, что две поверхности 51 и ~г проходят через точку Р, регулярную для каждой из поверхностей, и имеют в этой точке общую касательную плоскость Пусть Охух — система координат в пространстве, связанная а точке Р с этой касательной плоскостью, а поверхности 5~ и ~г в окрестности точки Р являются графиками функций ~1(х У) и Ях,у). Поверхности 51 и 5| касаются в точке Р с порядко" не менее г в том и только том случае, когда ~1 (х, у) — Ях, у) = о((х + у ) "~ ).
(8.21) (во всяком случае это соотношение верно при г = 1). Точиую верхнюю грань таких значений г назовем порядком косами поверхностей 51 и 5г в точке Р. Отметим, что если для поверхностей 51 и 5г в их общей точке Р существует такая плоскость гг, что при некотором г ) 1 верно соотношение (8.20), то поверхности 51 и 52 касаются в этой точке с порядком касания не менее г, а их общей касательной плоскостью в точке Р является плоскость я. 8.5. Классификация точек поверхности р системе координат, связанной с касательной плоскостью, стояние между поверхностями 51 и 5~ по перпендикуляру к к асательной плоскости равно разности аппликат двух точек „, о~кет быть записано в виде ~Л(х,у) — Л(х,у)~, где х и у— „ординаты точки А в плоскости хОу (см.
рис. 8.9). Поэтому „еделение касания поверхностей порядка не менее г может 6 ~ть записано в виде )Л(х,у) — ~~)х,у)) = о(~~/х~+у2) ), ~то равносильно (8.21). > Пример 8.11. Поверхность и касательная плоскость касаются с порядком не менее 1. Действительно, в системе координат, связанной с касательной плоскостью, поверхность Я есть график такой функции х = Дх,у), что ~(0,0) = 0 и ф(О,О) = О, а касательная плоскость т есть график нулевой функции Цх,у) = О. По формуле Тейлора переого ~горядка ~(х,у) = о((х~+ у~)'~~). Согласно теореме 8.6, поверхность 5 и плоскость я касаются в точке касания с порядком не менее 1. Пусть 5 — регулярная поверхность, я — ее касательная плоскость в точке Р, а. и' — единичный нормальный вектор и поверхности 5 в этой точке, вычисляемый по формуле (8.17). В каждой точке А касательной плоскости я' построим перпендикуляр и отложим на нем отрезок АР1 длиной, равной половине Модуля значения квадратичной формы Я на.
векторе Р~~. ОтРезок расположим по одну сторону с вектором я' относительно Касательной плоскости я', если значение Я(~Р) положительно, " по разные стороны, если это значение отрицательно. Мно®ество точек Р1 для различных А б я образуют поверхность, Которую называют соприкссающимс* аараболоидом лоеерхностии 5 в точке Р. Из этого определения следует, что в системе координат ХУЕ, связанной с касательной плоскостью поверхности 5 в 220 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ точке Р, соприкасающийся параболоид совпадает с графи, ~ко~ функции д(х,у) = -Ьх + Мху+ -Жу, 1 г 2 2 т.е. является эллиптическим или гиперболическим парабол „ дом, если вторая квадратичная форма невырождена, и пар~ болическим цилиндром, если вторая квадратичная форма в, рождена, но тождественно не равна нулю.
Если квадрат чн, форма тождественно равна нулю, соприкасающийся парабол ид совпадает с касательной плоскостью. Из определения соприкасающегося параболоида также л~гко получить его векторное уравнение: 1 г = о+ +дг. + -Я(о Я ', 2 где г — радиус-вектор произвольной точки в пространстве; го — радиус-вектор точки Р; о, ~3 — координаты вектора РА в базисе г„, г„; ц(а„д) — вторая квадратичная форма.
Числа а и 4 можно рассматривать как координаты на соприкасающемся параболоиде. Теорема 8.7. Поверхность Я и ее соприкасающийся нараболоид в точке Р касаются в этой точке с порядком не менее 2. 4 Из теоремы 8.5 следует, что в системе координат, связанной с касательной плоскостью, поверхность Я в окрестности точки Р совпадает с графиком некоторой функции Дх,у), причем ~(0,0) = О, 4(0,0) = О, а д~~(0,0) есть вторая квадратичнаЯ форма поверхности 5 в точке Р. В этой же системе коорднна1' соприкасающийся параболоид совпадает с графиком половины второй квадратичной формы, т.е. функции х = 0,5сР ~(0,0).
гЛ' ах = х, ау = у. Из формулы Тейлора второго порядка получае" Дх,у) — ~РДО,О) = о(хг+ уг). Используя теорему 8.6, приходн" к утверждению теоремы. ф Как уже было отмечено, соприкасающийся параболоид ян'"" ется поверхностью второго порядка. Тип этой поверху<'"'~ 8.5. Классификация точек поверхности еляется типом квадратичной формы. Так как соприка.- Я и ийся параболоид касается поверхности 5 с порядком не еяе ®ее 2, в окрестности точки Р поверхность Ь' во многом еделяется своим соприкасающимся параболоидом.
Поэтому , вственно различать точки поверхности по типу соприкаса; , ~егося параболоида. Точку Р поверхности Я называют эллит«тической, если ,прикасающийся параболоид в этой точке есть эллиптический «раболоид. Точка Р еиперболическая, если соприкасающий- ~ параболоид в этой точке есть гиперболический параболоид. аконец, точка Р т«араболическая, если соприкасающийся «раболоид есть параболический цилиндр. Тип точки можно определить по дискриминанту 0 = 1Ф вЂ” М2 второй квадратичной формы. При 0 > 0 точка ~липтическая, при Р < О она гиперболическая, а при 0 = 0 Ь~+ Ф2 у~ Π— параболическая.
В эллиптической точке созикасающийся параболоид располагается по одну сторону от кательной плоскости. В гиперболической точке соприкасащвйся параболоид, являясь гиперболическим параболоидом. ,'реходит с одной стороны касательной плоскости на другую, .'ресекаясь с ней по двум прямым. В параболической точке )прикасающийся параболоид расположен по одну сторону от кательной плоскости, но пересекается с ней не в одной точке, «к в случае эллиптической точки, а по прямой. Отдельно выделим случай, когда вторая квадратичная фора в точке Р поверхности 5 равна нулю.
В этом случае точку называют точкой у~мои4ения. В точке уплощения соприксающийся параболоид поверхности совпадает с касательной 1оскост ью. Пример 8.12. У эллипгоида и двуполостного гиперболо1а все точки эллиптические, у однополостного гиперболоида :е точки гиперболические. У любого цилиндра (зллиптическо- ~, гиперболического, параболического) все точки параболиче- 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 222 ские. Рассмотрим, например, одну из вершин А эллипсои, ла (рис. 8.10). Рис. 8.10 Эллипсоид в некоторой прямоугольной системе координат задается каноническим уравнением х2 у2 ю2 — + — + — =1 а~ о2 с~ причем эту систему координат можно выбрать так, что рассматриваемая вершина А будет находиться на положительной части оси Ок, т.е. будет иметь координаты (О, О, с).
В окрестности точки А эллипсоид можно считать графиком функции а касательной плоскостью к эллипсоиду в точке А является плоскость г = с. Значит, система координат Ах1у1к1, связанная с касательной плоскостью, получается из первоначально выбранной системы координат Охук параллельным переносом при котором начало координат совмещается с точкой А. В системе координат Ах1у1к1 эллипсоид в окрестности точки А определяется уравнением 223 8,5.
Елассификация точек поверхности ,,асио теореме 8.5, имеем д2х~ с(1 — у12/Р) д2х~ сх1у1 дх2 а2 ~Я2 дх ду1 а2$2Яз/2 ' д231 с(1 — Х2/62) — ду2 р1оз~2 Я = 1 — х2/а2 — у12/в2. Вычисляя дискриминант, находим с2 1 — х2/а2 — у12/Ь2 с2 а2$2 ЯЗ а2$2 Я2 Следовательно, точка А является эллиптической. Замечание 8.5. В эллиптической точке поверхности касательная плоскость лежит по одну сторону от поверхности (точнее, от ее части в некоторой окрестности точки, рис.
8.11, а). А если точка гиперболическая, то касательная плоскость расположена частично с одной стороны поверхности, частично с другой, пересекаясь с поверхностью по двум кривым (рис. 8.11, 6). Такой вывод можно сделать на основании теоремы 8.5. Рис. 8.11 Действительно, в системе координат, связанной с касательной плоскостью, поверхность я в окрестности заданной точки совпадает с графиком некоторой функции ~(х,у), причем ~У~О,О) = О, а ~2ДО,О) совпадает со второй квадратичной фор.м "ои поверхности в точке Р.
Если точка Р эллиптическая, то фс ~~(0,0) является положительно или отрицательно определен®ой квадратичной формой. Согласно достатпочному условии аи®гремума, функция ~(х,у) имеет в точке (О, 0) экстремум, 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 224 поэтому ее график (т.е. поверхность 5) расположен с одно,; " 'Р<). роны от касательной плоскости. Если же точка Р гиперболическая, то квадратичнай ф„ ОРМа Нй~(0,0) является знакопеременной, а поэтому точка (О, р )»~ является точкой экстремума функции Дх,у). Геометрич ес»» это означает, что график функции частично расположен н»,„ И)Ке касательной плоскости, а частично выше.
В параболической точке Р (или в точке уплощения) квад тичная форма РДО,О) является вырожденной. В этом случ точка (О, 0) может быть точкой экстремума, а может и не бь т таковой (см. пример 6.4). Поэтому график функции может на ходиться с одной стороны от касательной плоскости, а может и пересекать ее. 8.6. Нормальная кривизна поверхности В регулярной точке Р поверхности 5 построим плоскость, проходящую через точку Р параллельно нормальному вектору и к поверхности и заданному вектору 1 в касательной плоскости.
Эта плоскость пересекает поверхность 5 по некоторой кривой и, которую называют нормальным сечением поверхности 5 в точке Р в направлении вектора 1 (рис. 8.12) Р 7~, а кривизну нормального сечений в точке Р называют нормальной кривизной поверхностпи Рис. 8.12 5 в точке Р в направлении вектора !. При этом кривизну берут со знаком плюс (по модулю), если направление главного нормального вехтора и~ кривой у совпадает с направлением нормального вехтора х поверхности, который вычисляют по формуле (8.8). В противном случае нормальная кривизна имеет отрицательное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
