V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 32
Текст из файла (страница 32)
значения а и ~3, соответствующие главной кривизне Й;, удовлетворяют системе (8.24). 3в 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 232 Если функции и(1) и о(1) задают линию кривизны, то дл„ любого значения 1 в точке с координатами и(~), о(~) энач~ццц а = и'(1), Д = ю'(1) определяют главное направление. Значцр для всех значений 1 выполняется равенство (ЬР-МЕ)(и'Я)'+(Ьб- ЖЕ)и'Яи'Я+(МС- ИГ)(~'Р))'=О которое после умножения на Й~ сводится к следующему: (ЬР— МЕ) ди +(Ь6 — ХЕ)Виях+(МС вЂ” МР~Йи = О.
Нетрудно убедиться в том, что это же уравнение получается ц после раскрытия определителя в соотношении (8.26). )» Теорема 8.14. Пусть на регулярной поверхности 5 заданы главные координаты и, ю. Тогда в неомбилических точках Р'=О, М = О, а числа Ь М вЂ” Йг=— Е' С (8.27) есть главные кривизны в направлениях г„и г„соответственно ~ Рассмотрим произвольную точку поверхности. В этой точи" вектор г„касается координатной линии ю =соп8$ и поэтому 'См.: Позмюс Э.Г., Шиким Е.В.
На регуалрной поверхности Я, заданной гомеоморфиз.цо.ц Ф(и,о), (и, о) б У С В2, определены два семейства кривых н = = С~ и о = С2, где С1 и Ся постоянные. Эти семейства покрывают всю поверхность Я, причем через каждую точку проходит в точности одна кривая каждого семейства. Укаэанные семейства кривых называют сетпью коордииатмьва .яикий. Если координаты и, ю введены так„что каждая координатная линия и = сопй или о = соп8$ является линией кривизны, то этн координаты называют гмавмыми.
Можно показать', что главные координаты существуют в окрестности любой точки, не являющейся омбилической точкой. '8.7. Главные направления н главные нрнвнзны поверхности 233 „ еделяет главное направление. Подставляя его координаты о«Р 1, ф = О в систему (8.24) и заменяя к, на й~, получаем авнения Ь-Й,Е=О, М-Й,Р=О. (8.28) ~наяогично для координатной линии и =сопв1, получаем урав- нения М вЂ” Й2Е = О, М вЂ” Й2С = О. (8.29) Вычитая второе уравнение (8.28) из первого уравнения (8.29), приходим к равенству (й~ — йг) Р = О.
В неомбилической точке ~, ф йз. Значит, в такой точке г'= О, а потому и М =О. Так как г = О, первая квадратичная форма 1 имеет вид 1= ЕйР+Сйи . Поскольку эта квадратичная форма положительно определена в любой точке, заключаем, что Е > 0 и С > О. Кз первого уравнения (8.28) и второго уравнения (8.29) получаем соотношения (8.27). > Итак, в главных координатах первая и вторая квадратичные формы имеют наиболее простой вид (г =О, М =0).
Главные координаты имеют и другие интересные свойства. Теорема 8.15 (теорема Родриеа"). Пусть на. регулярной поверхности 8 заданы главные координаты и. г. Если 'п(и,и) — единичный нормальный вектор поверхности 5 в точке с внутренними координатами и, о, а Й1 и Й~ — главные кривизны в направлениях г„и г„соответственно, то в произвольной неомбилической точке юи ~1ги~ / 4 Если вектор-функция Д1) удовлетворяет условию Я~К = 1, "ли ~2(1) = 1, то, дифференцируя скалярный квадрпт ~~(1), получаем 2Щ~ (~) = О, В.О. Родриг (1794-18511 — французский математик. 8. гкомктгия повкгхносткй 234 т.е. при произвольном значении 1 вектор Д1) ортогона„„„ е~ вектору ~'($). В данном случае ~и(и,о)~ = — 1. Следовательно частные приизводные и'„и и'„ортогональны и, а пото~' параллельны касательной плоскости и представляются в вн ле линейной комбинации векторов ~„и г„: и'„= аг„+6г „, п„= сг„+ НтЪ.
с Умножая оба равенства (8.30) скалярно на г„и г„и учитывая формулы для коэффициентов первой квадратичной формы получаем п,',т'„= аЕ+ 6Р, и'„г„= аР+ 6С, п$,Р„= СЕ+ сУ', и'„~, = сР+ ИС. Поскольку и, ~ — главные координаты, то Р = О, так что и~Ри = аЕ1 п~рт'и = сЕф п~3 м = 6С1 и~~Tм = аС. (8.31) Дифференцируя тождества ~ „п = О, г„п = 0 по переменныи и и ю, получаем ~ ииц + гиии = О, с г1 пи + ч ии п 0~ У ~'„п„+ т'„„п = О, т„и,',+т'„„п =О, ггпу, — — — Ь, Р уп„= з вил = О, Ф'рп„= -Ж.
(8М) Из равенств (8.32) и (8.31) заключаем, что 6= с= О, так как коэффициенты Е и С первой квадратичной формы, являющейся положительно определенной, не обращаются в нуль. 1~э у, Х равенств (8.32) и (8.31) также получаем, что а = — —, Н = --, Отсюда и из формул (8.27) следует, что а = -й1, Ы= — йр. Подставляя найденные выражения для 6, с, а и Н в (8.30), получае~1 утверждение теоремы. ~ откуда, учитывая замечание 8.4 и равенство М = О, верное в главных координатах, находим Д.8.
!. Внутренняя к инеиииы геометрии поверхности 235 Дополнение 8.1. Внутренняя и внешняя геометрии поверхности до сих пор обсуждение геометрии поверхностей касалось сЮ йств поверхности в окрестности фиксированной точгси, е ее ~~к~~ьных св~й~тв. С~в~ку~н~~т~ ~~к~~~ны~ ~в~й~~в , верхности часто называют геометрией поверхности в малом. О,ойства же поверхности, характеризующие поверхность как единое целое, составляют геометрию поверхности в целом. Ц данном параграфе остановимся на геометрии поверхности в целом. В отличие от геометрии в малом геометрия в целом разработана гораздо меньше, и результаты в этом направлении достигаются лишь с помощью достаточно сложных методов. Наше изложение ориентировано на первое знакомство с основными понятиями и методами геометрии в целом и дано кратко.
Более детально с проблематикой этого направления можно познакомиться в специальной литературе, ссылки на которую приведены в тексте. Начнем с разделения геометрии поверхности на две части: внутреннюю и внешнюю геометрии. Пусть Р1 и Рр — точки поверхности Я. Расстоянием по поверхности между точками Р1 и Рр называют наименьшую из длин кривых, лежащих на поверхности Я и имеющих концы в точках Р1 и Р2.
Иэеибанием иоверхностпи называют такое ее отображение в другую поверхность, при котором не изменяются расстояния по поверхности между любыми двумя ее точками. Иначе говоря, изгибание — это деформация поверхности без сжатий и растяжений. Внутпренней аеометприей иоверхностпи называют совокупность геометрических свойств поверхности, сохраняющихся при. ее изгибаниях. Например, внутреннюю геометрию плоскос"и изучает планиметрия. У разных поверхностей внутренняя геометрия различна.
например, можно ввести понятие онружностпи на поверхноетпи, имея в виду геометрическое место точек поверхности, 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 236 отстоящих от фиксированной точки на одно и то же расст„ оя. ние по поверхности. Окружность на сфере радиуса В являе тся окружностью в общепринятом смысле, но длина окружно радиуса г на плоскости равна 2кг, а длина окружности то„ г же радиуса на сфере — 2я Вв1п —, причем должно выполнят условие г < я В.
Длины кривых на поверхности вычисляются при помощи первой квадрап~ичной формы, потому что первая квадратичн~ форма совпадает с квадратом дифференииала длины дуги крц. вой. Следовательно, первая квадратичная форма однозначц0 определяет внутреннюю геометрию поверхности. Действитель. но, пусть на поверхностях 51 и 52 существуют внутренние координаты, в которых их первые квадратичные формы со впадают. Это предполагает, что поверхности 51 и 5г можно задать гомеоморфизмами Ф: 0 -+ 51 и Ф1. 'У -+ 5~, оп ределен н ыми в одной области У С Е~.
Если первые квадратичные формы 11 и 1~ поверхностей в этих координатах совпадают, т.е. 11 —— Й~ — — Е(и,о)ди +2г(и,и)Йидз+С(и,и)йи', (и, и) Е Г, то отображение Ф1 о Ф 1: 5~ -+ 52 отображает точку поверхности 51 с координатами и, и в точку поверхности 52 с теми же координатами и, о. Кривой у1 на поверхности 51 будет соответствовать кривая ~~ на поверхности 5~ той же длины, так как для вычисления длины этих кривых используется идентичное представление их в координатах и, о и одна и та же первая квадратичная форма. Следовательно, две поверхности с одинаковыми первыми квадратичными формами имеют одинаковые внутренние геометрии. С другой стороны, изгибания сохраняют длины дуг, а значит, длины касательных векторов к кривым на поверхности Квадрат длины касательного вектора к поверхности равен зня чению первой квадратичной формы на этом векторе.
Следовя тельно, первая квадратичная форма не изменяется при изгиба ниях и является понятием внутренней геометрии поверхности Д.8.1. Внутренняя и внешняя геометрии поверхности 237 им образом, все геометрические факты о поверхности, ко- тоР ~е можно получить при помощи ее первой квадратичной мы, и только они, составляют внутреннюю геометрию похности. Внутренняя геометрия поверхности составляет то, можно изучать без выхода с поверхности в объемлющее странство, и для этого достаточно знать только первую „адратичную форму поверхности.
Свойства поверхности, связанные с взаимным расположеницм ее частей в объемлющем пространстве, называют вкешмей яеометврией иоверхмостпи. К внешней геометрии относят все свойства поверхности, которые не изучаются в рамках внутренней геометрии, в частности искривленность поверхности. Остановимся теперь на понятиях, которые характеризуют поверхность. Теорема 8.16 . Поверхность однозначно определяется своими первой и второй квадратичными Яормами. Точнее, если на двух поверхностях можно выбрать координаты, в которых первая и вторая квадратичные формы первой поверхности совпадают соответственно с первой и второй квадратичными формами второй поверхности, то зти две поверхности можно совместить движением пространства. 4~ Так как внутренняя геометрия поверхности определяется первой квадратичной формой, то, согласно приведенной теоРеме, внешняя геометрия определяется второй квадратичной формой.
Пример 8.13. Сворачивание плоскости в цилиндр является изгибанием. Таким образом, плоскость и цилиндр имеют одинаковые внутренние геометрии (см. примеры 8.7 и 8.8). ~вешние геометрии плоскости и цилиндра различны, так как зти поверхности нельзя совместить движением. Это следует из '~то утверждение вытекает из более общей теоремы, доказанной в ге: Позняк Э.Г., Шикин Е.В. (теорема 4 из $6 главы 2). 8.
Гкомкт1 ия повегхносткй 238 того, что у плоскости и цилиндра разные вторые квадратичн,„ ь1р формы (см. примеры 8.9 и 8.10). 4~ Теорема 8.17. Гауссова и средняя кривизны поверхности выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм следующим образом: БХ вЂ” М2 1 ЕИ вЂ” 2РМ+СЬ ЕС вЂ” Е2 ' 2 ЕС вЂ” И 'См.: Позняк Э.Г„Шикин Е.В. "Д. Кодацци (1824-1873) — итальянский математик. К.Ф. Гаусс (177' 1855) — выдающийся немецкий математик, труды которого оказали боль шое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной гео метрии.
Ему принадлежат также фундаментальные исследования в астро номии и геодезии. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм опр деляют поверхность, но не являются произвольными функция ми координат на поверхности. Для того чтобы функции Е, р С, Е, М, У переменных и и ю были коэффициентами перв „" и второй квадратичных форм некоторой регулярной поверхн сти с внутренними координатами и и ю, необходимо, чтоб, они удовлетворяли трем дифференциальным уравнениям', на зываемым уравнениями Кодацци — Гаусса* .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
