V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 31
Текст из файла (страница 31)
8.6. Нормальная кривизна повсрхности ный нормальный вектор и~ нормального сечения ~~ орен касатпельному векпгору к этой кривои' и лежит в ~огон „сти кривои ~ъ, содержащеи нормальныи вектор поверхласко „и, который тоже ортогонален касательному вектору наст ,и. Поэтому два вектора и~ и гв коллинеарны. Задав на по„риво верХИ хиости внутре е координа ы, мы тем самым одиозна еделим и выбор единичного нормального вектора к поверхвпре нос „,и в каждой ее регулярной точке. цсли кривая ~ на поверхности 5 не является нормальным чением, то ее кривизну можно вычислить через нормальную „ивизну в направлении касательного вектора кривой у. Теорема 8.8, Пусть ~ — гладкал кривая, лежащая на регулярной поверхностпи 5, имеющая в точке Р единичный касательный вектор т, главный нормальный вектор и и кривизну ~.
Тогда для нормальной кривизны Й„поверхности .5' в точке Р в направлении т верна формула Й„= Я~т) = Йп'и, где и' — единичный нормальный вектор к поверхности 5 в точке Р. 1 В качестве параметра кривой ~ выберем натуральный параиеар. в этой кривой, и пусть точке Р соответствует значение в0 параметра в. Тогда из теории кривых ~П] имеем г'(во) = т, и ~ (во) = йи. По определению значение Я~ т) впьорой квадраяпичной Формы поверхности я на векторе т равно проекции вектора ри ~ (вп) = йи на направление вектора и'. Отсюда с учетом единичной длины и.' получаем Ч(т) = тн(во) и,' = Йиа'.
В частном случае, когда кривая ~ является нормальным сечением, мы имеем ту же формулу, но при этом единичные векторы и и и' коллинеарны, т.е. их скалярное произведение равно Ы. Знак этого скалярного произведения совпадает 226 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ со знаком нормальной кривизны. Поэтому для нормально,, гО сечения Я(т) = ~й„~ип,' = Й„. Теорема 8.9. Кривизна кривой у, лежащей на поверхности 5, в точке Р может быть вычислена по формуле Менье ~а й= —, созд' где Ʉ— нормальная кривизна поверхности Я в точке Р и направлении касательного вектора кривой ~ в этой точке, а д угол между главным нормальным вектором у и нормальнцц вектором к поверхности в точке Р. ~ Согласно теореме 8.8, имеем равенство ~а к= —, ~по ' где и — главный нормальный вектор кривой у в точке Р.
Так как векторы и и а' являются единичными, то ии' = созе. Подставляя зто соотношение в формулу, получаем утверждение теоремы. Ф Замечание 8.6. И главный нормальный вектор и кривой у в точке Р, и нормальный вектор я' к поверхности в этой же точке ортогональны касательному вектору кривой т (рис. 8.13). Поэтому угол д между векторами и и тв' — это угол между соприкасающейся плоскостью кривой у в точке Р и плос- Ъ костью нормального сечения по.
,Р верхности 5 в этой же точке й Действительно, соприкасаюшаяся плоскость параллельна касательному и главному нормальноРмс. 8.13 му векторам кривой, а плоскость 'Ж. Менъе (1754-1793) — французский математик. 227 З.Б. Нормальная кривизна поверхности „ального сечения параллельна тому же касательному векиорм у кривой и нормальному вектору плоскости. Отметим, что то плоскости задают два смежных угла, один острый, друдв м о „- тупои. Угол между векторами и и и равен одному из гон дву ух углов. Заменяя угол д в формуле Менье острым углом е,кду плоскостью нормального сечения поверхности и со„р«касающейся плоскостью кривой, получаем формулу Менье в следующем виде: ~п совд Теорема 8.10.
Нормальная кривизна й„поверхности Ь' в точке Р в направлении вектора 1 касательной плоскости к поверхности Я может быть вычислена по формуле Ьаг + 2Ма3 + Ф,Вг Е,„г+2р, д~ дрг ' ~8.22) где о, ~3 — координаты вектора 1 в базисе г„, т„, а Е, Г, 6 и Ь, М, Х вЂ” коэффициенты соответственно первой и второй' квадратпичных форм поверхности Я. 4 Обозначим через т единичный вектор с тем же направлением, что и вектор 1: Согласно теореме 8.8, учитывая свойства квадратичных форм 1Щ, получаем Й„=Я~т) =Я Я(1) ~ц щг ' ак как щг =1® — значение первой квадратичной формы на векторе 1, приходим к формуле (8.22).
Э 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 8.Т. Главные направления и главные кривизны поверхности Теорема 8.11. В регулярной точке поверхности норма4~ ная кривизна достигает своего наименьшего и наибольшег, значений. ~ В регулярной точке Р поверхности Я нормальная кривнз на й„в направлении вектора 1, согласно формуле (8.22), равна й„= Ч(3)/1(1). Из определения следует, что нормальная кри визна не зависит от длины вектора 1.
Поэтому нормальные кривизны можно вычислять, предполагая, что 1 — единичный вектор. Тогда 1(1) = 1 и Й„= Я(!). Вторал квадратичная форма Я, как непрерывная функция, достигает на замкнутом ограниченном множестве (1 б Й~: Щ = 1~ наибольшего и наименьшего значений (см. теорему 1.10). )~ Замечание 8.7. Нетрудно показать, что произвольная квадратичная форма Ф(х, у) = Ах~+ 2Вху+ Су~ на единичной окружности х~+ у2 = 1 либо постоянна, либо имеет ровно два максимума, достигаемых в симметричных точках окружности.
и ровно два минимума, также достигаемых в противоположных точках окружности. Значит, и вторая квадратичная форма Я(1) либо постоянна на множестве 1(1) = Щ = 1, либо имеет два максимума и два минимума, достигаемых на противоположных векторах. Следовательно, в данной точке поверхности либо нормальная кривизна одинакова во всех направлениях, либо существуют два направления, в первом из которых она достигает наименьшего значения, а во втором — наибольшего значения.
Регулярную точку поверхности, в которой нормальная кривизна имеет одно и то же значение в любом направлении, называют омбилической (или тпочкой окруаления). Остальные точки будем называть кеомбилическими. Наибольшее и нан меньшее значения Й1 и Й2 нормальной кривизны в данной точке называют алваными кривизнами поверхностпи в этой точке. В омбилической точке Й1 — — й~. В неомбилической точке 8.7. Главные направленил и главные кривизны новерхности 229 ф йг, и направления, в которых нормальная кривизна до- Ф! ст игает своих наибольшего и наименьшего значений, называют авммме направлениями в данной точке.
Следствие 8.1. В неомбилической точке поверхности су„ествуют ровно два главных направления, причем эти напраления взаимно перпендикулярны. 4 О том, что в неомбилической точке ровно два главных направления, уже сказано выше (см. замечание 8.7). Отметим, что первая квадратичная Форма представляет собой квадрат длины вектора в касательной плоскости, а потому в любом ортонормированном базисе на касательной плоскости имеет канонический вид: 1(р,д) = р2+д~. Вторая квадратичная форма определена также в линейном пространстве векторов касательной плоскости. В этой плоскости существует такой ортонормированный базис, в котором вторая квадратичная форма имеет канонический вид: Я(р,д) = Л1р~+ Л~д~, где Л1 и Лг — собственные числа матрицы второй квадратичной формы. Нетрудно показать, применяя необходимое условие условного экстремума, что Л~ и Лг дают наибольшее и наименьшее значения функции Я(р,о) при условии 1(р,д) = 1, т.е.
являются главными кривизнами поверхности в рассматриваемой точке. Соответствующие главные направления определяются векторами ортоноРмированного базиса и поэтому перпендикулярны. ~ В омбилической точке поверхности будем называть главными любые два взаимно перпендикулярные направления. Кривую на поверхности, в каждой точке которой направление касательной совпадает с главным направлением на поверхности в этой точке, называют линией кривизны.
Теорема 8.12. Главные кривизны поверхности 5 в регулярной точке Р являются корнями уравнения 230 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ где Е,,Р, С вЂ” коэффициенты первой, а Ь, М, М вЂ” коэфу„ циенты второй квадратичных форм поверхности в точке р Координаты а, д в базисе г„, г„вектора главного направ ния со значением главной кривизны Й; удовлетворяют систем линейных алгебраических уравнений (Ь вЂ” И;Е)а+ (М вЂ” М; Г)~3 = О, (М вЂ” 1с;Р)а+ (Ж вЂ” 1с;С)~3 = О. ~ Отметим, что однородная квадратная система линейных ал гебраических уравнений имеет ненулевое решение в том и толь ко в том случае, когда матрица системы является вырожденной. Поэтому, если координаты а и,8 вектора главного направления удовлетворяют системе (8.24), то выполняется и равенство (8.23).
Следовательно, достаточно доказать, что координаты о и ~3 вектора главного направления являются решением системы (8.24). Главные направления можно искать как точки условного экстремума функции Я(1) при условии 1(1) = 1 (см. доказательство теоремы 8.11 и замечание 8.7). Функция Лагранжа в этой задаче на условный экстремум имеет вид .С(а,~У,Л) = Я(а,~З) — Л(Г(а,Я вЂ” 1) = = (Ь вЂ” ЛЕ)о~+2(М вЂ” ЛГ)~д+ (Ж вЂ” ЛС)/3~+ Л где а и 4 — координаты вектора 1. Применяя необходиио~ условие условного экстремума, получим систему уравнений (Ь вЂ” ЛЕ)о+ (М вЂ” ЛР),В = О, (М вЂ” ЛЕ')о+ (Ж вЂ” ЛС)~3 = О, Еа~ + 2Ес4+ Сд~ = 1, в которой первые два уравнения повторяют уравнения системь' (8.24) с заменой й; на множитель Лагранжа Л.
Пусть найдено решение этой системы а,,В, Л. При подстановке этих значени" 8.7. Главные направления и главные кривизны поверхности 231 «б истему все три уравнения превращаются в тождество. Умно„ им первое уравнение на а, второе уравнение на,В и сложим.
О цучим (Ь вЂ” ЛЕ) а~+ 2(М вЂ” Л Р) оЯ+ (Ф вЂ” ЛС) о~ = О, ,,г+ 2Мо~+ р~~г Л(Еог+ 2~с„~+ С~р) Эиачит, Теорема 8.13. Еоординатиные функции и(1) и и(1) линии кривизны на поверхности удовлетворяют дифференциальному уиаанению (8.26) =О, Где Е, Р, С вЂ” коэффициенты первой, а Ь, М, Ф вЂ” коэффици- енты второй квадратичных форм поверхности. 4 Внутренние координаты а и ~3 вектора, определяющего главное направление, удовлетворяют системе (8.24). Выразим ~' из первого и второго уравнений этой системы. В результате получим откуда (ЬР— МЕ)аг+ (ЬС вЂ” ИЕ)а0+ (МС вЂ” ЖГ)дг = О. Л— Бог+ 2МаД+ ХЯ Еаг+ Жа~3+ С~г ' т.е. множитель Лагранжа Л, согласно теореме 8.10, совпадает ,с нормальной кривизной Й„поверхности, соответствующей направлению 1 с координатами а и ~9. Условие Л = й„означает, что первые два уравнения системы (8.25) совпадают с уравне.ниями системы (8.24), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
