V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Значения коэффициентов первой и второй квадратичных форм в точке меняются при переходе к новым координатам, т,е. эти коэффициенты не являются функциями точки поверхности. В геометрии более удобно использовать инвариантное функции, значения которых в каждой точке не зависят от выбора системы координат. Инвариантные функции характеризуют собственно геометрический объект (в данном случае поверхность), а не его представление в данной системе координат. Такими инвариантными функциями являются еауссова (или ао.яная) нривизна, равная произведению главных кривизн К = Й1Й2, и средняя кривизна, равная полусумме главных кривизн и = -(й1 + 12). 1 2 8, ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 240 'См.: Позмлк З„Г., Шикин Е.В.
"П.С, Лаплас (1749-1827) — выдающийся французский астроном. Фи зик, математик. Основные труды по небесной механике, математике " математической физике. '"См., например: Фоменко А.Т. произведение (гауссова кривизна) есть понятие внутренней г„ метрии, так как это произведение не меняется при изгибани„„ Это следует из уравнений Кодацци — Гаусса *. Геометрия поверхностей находит свое применение в разли„ ных приложениях, например в теории минимальных поверхн стей и в теории оболочек. Пусть сосуд заполнен двумя не перемешивающимися жн костями. Так как жидкости не перемешиваются, то определен„ граница раздела жидкостей. Предположим, что система нахо.
дится в равновесии. Тогда границу раздела жидкостей можн представить как двумерную поверхность. Поверхность разде. ла возникает также в системе .,жидкость — газ" (например, я случае капли жидкости в газовой среде или газового пузырька в жидкой среде). Условие равновесия системы из двух сред (двух жидкостей или жидкости и газа) накладывает сильное ограничение на геометрию поверхности 5 раздела этих сред. Согласно закону Лапласа ', разность давления р1 с вогнутой стороны поверхности 5 и давления р2 с выпуклой стороны этой поверхности связана со средней кривизной Н поверхности 5 равенством р1 — ря — — 2о'и, где и' — поверхностное натяжение на границе раздела сред* *. Итак, средняя кривизна границы раздела двух сред постоянна. Рассмотрим два случая: 1) средняя кривизна равна нулю: 2) средняя кривизна отлична от нуля. Оба случая хорошо моделируются в опыте с мыльными пленками.
Возьмем водный мыльный раствор, опустим в него замкнутый проволочный контур и извлечем его обратно. Тогда на контуре повиснет мыльная пленка. Ее можно трактовать как границу раздел" Д.8.1. Внутренняя и внешняя геометрии поверхности 241 х газовых сред с одинаковыми постоянными давлениями р~ Это дает реализацию первого случая.
и р~. Второй случай можно реализовать так. Опустим в мыльный рэс твор тонкую трубку и выдуем через нее мыльный пузырь. Он Оторвется от трубки и начнет плавно падать приобретая форму сферы. Здесь мы имеем две среды: внутренний объем здуха с давлением р1 и внешний объем воздуха с давлением р2. весно, что р1 > р2, а система находится в равновесии благодаря Ому, что силы поверхностного натяжения на мыльной пленке компенсируют избыток внутреннего давления по сравнению с внешним. В этом случае средняя кривизна отлична от нуля.
Поверхность, которая в каждой своей точке имеет нулевую среднюю кривизну, называют минимаяьной поверхностпью. Такое название объясняет следующая теорема. Теорема 8.19, Если поверхность Я минимальна, то существует такое число е > О, что любая поверхность Я1, отличающаяся от Я лишь в е-окрестности какой-либо точки пространства, имеет площадь, превышающую площадь 5. 4~ Примером минимальной поверхности является плоскость. Укажем еще две минимальные поверхности. Пример 8.15. В результате вращения вокруг оси Ох Чепной линии у = а сЬ(х/а) образуется поверхность вращения, называемая хатеноидом (рис.
8.14). Эта поверхность является минимальной. Пример 8.16. Рассмотрим в пространстве две прямые 1~ и 1з, пересекающиеся под прямым углом. Фиксируем прямую ~ а прямую 1~ будем перемещать вдоль |~ с постоянной скоростью и, одновременно вращая вокруг прямой 11 с постоянной ""ловой скоростью м. Возникающее при этом винтовое движение прямой 1~ образует поверхность, называемую прямым ~еяннондом (рис. 8.15).
Эта поверхность также является мииимальной. 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис. 8.15 Рис. 8.14 Поскольку теория минимальных поверхностей теснейшим образом связана с изучением границ раздела физических сред, оптимальных форм мембран и пр., то она находится в центре постоянного внимания огромного числа исследователей'. Еще одно приложение геометрия поверхностей находит в теории оболочек"'. Оболочка — это тело, состоящее из отрезков одинаковой длины, средняя точка которых лежит на заданной регулярной поверхности Ь, при этом каждый такой отрезок перпендикулярен этой поверхности.
Поверхность 5 называют срединной поверхностью оболочки, а отрезки — прямолинейными элементами оболочки. Согласно еипотпезе Кирхаофа — Лява"", при деформировании оболочки прямолинейные элементы остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности, а также сохраняют свою длину. Анализ деформации оболочки в предположении, что верна гипотеза Еирхгофа — Лява, сводится к изучению деформация срединной поверхности. При этом все функции, характеризу ющие деформацию, оказываются функциями двух переменных.
'См.: Фоменко А.Т. "См.: Филин А.П. "'Г.Р. Кирхгоф (1824-1887) — выдающийся немецкий физик. А. ЛЯ" (1863- 1940) — английский механик. 243 Волросы и эадачи ~но взять в качестве этих переменных главные координаты .инной поверхности до ее деформирования. Вид деформисред иной срединной поверхности определяется шестью функ- рова сия „„ми, связанными тремя дифференциальными уравнениями. Н пример, в качестве шести функций можно взять коэффи„«енты первой и второй квадратичных форм, а в качестве дич т л ьеренциальных уравнений — уравнения Кодацци — Гаусса. Гипотеза Кирхгофа — Лява верна, как правило, для тонкотенных конструкций. Поэтому теорию оболочек используют в машиностроении (корпуса машин, улитки турбин), приборостроении (мембраны„тарельчатые пружины), строительстве (покрыти», перекрыгия и козырьки), кораблестроении (корпуса судов), авиастроении (фюзеляжи и крылья самолетов) и т.п.
Вопросы и задачи 8.1. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к прямому геликоиду (см. пример 8.16) в его произвольной точке. 8.2. Покажите, что прямой геликоид (см. пример 8.16) и катеноид (см. пример 8,15) локально иэометричны. 8.3. На геликоиде х =осови, у= выпи, г= и задан криволинейный треугольник О < ю < БЬи, О < и < ио. Найдите: а) площадь этого треугольника; б) длины его сторон; в) углы этого треугольника. 8.4.
Найдите первую квадратичную форму эллипсоида вра- щения 2 2+~2 + = 1. оя $2 8.5. Пусть ~(ж) и у(ж) — квадратичные формы. Докажите что если квадратичная форма ~р(м), ю Е Ж", положительно 244 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ определена, то квадратичная форма ~(ю) либо постоянная н а множестве ~р(ж) = 1, либо имеет на этом множестве ровно д два условных локальных максимума, достигаемых на противоп ложных векторах, и ровно два минимума, также достигаем „ на противоположных векторах.
8 6. Покажите, что у треугольника на сфере, составленног„ из дуг больших окружностей, сумма углов больше 2я. 8.7. Поверхность образована вращением вокруг оси 0 кривой х = Ди) > О, у=О, я=у(а) . Для этой поверхности найдите. "а) первую и вторую квадратичные формы; б) главные координаты; в) регулярные, эллиптические, гиперболические и параболические точки. 8.8. Решите предыдущую задачу, если: а) поверхность получается перемещением кривой г= Ди) в направлении вектора а; б) поверхность образована касательными к кривой г = Ди).
Найдите в главных координатах первую и вторую квадратичные формы для этих поверхностей, а также гауссову кривизну. 8.9. Тором называют поверхность, образованную вращением окружности радиуса а с центром в точке (6;0) (6 > а) плоскости хОу вокруг оси Оу. Вычислите площадь поверхности тора. 8.10.
Найдите уравнение кривой на сфере, которая пересекает все меридианы под заданным углом а. Используйте сферические координаты. 8.11. Выведите для второй квадратичной формы поверхности формулу, аналогичную формуле (8.10). 8.12. Выразите гауссову и среднюю кривизны поверхности образованной касательными к некоторой кривой, через кривизну и кручение этой кривой. Вопросы и задачи 245 8,1З. Найдите гауссову и среднюю кривизны поверхности у(х) + дЬ) 8.14.
Поверхность образована касательными к кривой г = у(п) с кривизной й(и). Докажите, что если изгибать кривую сохранением Й(а), то поверхность будет изгибаться с сохраняем первой квадратичной формы. 8,15. Докажите, что длина окружности радиуса г на сфере радиуса В1 Г «~ л'В, равна 27ГВв!п —. В 8.16. Выведите формулы теоремы 8.17 из уравнения (8.23), используя теорему Виета о коэффициентах квадратного уравнения. 8.17. Докажите теорему 8.18. 8.18. Покажите, что все точки минимальной поверхности являются гиперболическими или точками уплощения.
8.19. Докажите, что плоскость, катеноид (см. пример 8.15) а прямой геликоид (см. пример 8.16) являются минимальными поверхностями. Для удобства вычислений на геликоиде введите „полярные координаты". 8.20. Запишите уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида поверхности х = списово, у = 5 3~ =спи$1п6, З=впи в точке ~0, 4' 4 ~ 8.21. Составьте уравнения катеноида — поверхности, образованной вращением цепной линии г = асцх/а) вокруг оси Ох. Найдите уравнения касательной плоскости, нормали к этой а а поверхности в точке О, —, — —, а также уравнение сопри' ~Гг' ~/г касающегося параболоида, 8.22.
Поверхность образована касательными к некоторой пространственной кривой ~. Докажите, что во всех точках Фиксированной касательной к кривой ~ эта поверхность имеет одну и ту же касательную плоскость. 8. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 246 8.23. Докажите, что нормаль поверхности вращения совц„ дает с главной нормалью меридиана и пересекает ось вращен„„ 8.24. Для поверхности, образованной главными нормаля данной кривой, вычислите: а) первую квадратичную форм поверхности; б) гауссову и среднюю кривизны. 8.25.
Найдите гауссову и среднюю кривизны поверхности образованной бинормалями данной кривой. 8.27. Найдите угол между координатными линиями поверхности. 8.28. Для поверхности х = (а+ 6сово) соя и, у = (а+ 6созю) яп и, г = 6в1п г вычислите в произвольной точке вторую квадратичную форму, главные направления и главные кривизны, гауссову и среднюю кривизны, определите типы точек поверхности. 8.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
