V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 41
Текст из файла (страница 41)
10.3). Если производные. необходимые для постановки дополнительных условий, неизвестны, то используют разделенные разности, как и в случае эрмитовых интерполяционных сплайнов. Применение сплайнов для приближения поверхностей в Ф" лом осуществляется по той же схеме, но при этом необходимо преодолеть несколько трудностей. В конечном счете решение такой задачи сводится к аппроксимации кривых сплайнами ол ного переменного, причем тип аппроксимации (аппроксимация линейным сплайном, кубическим сплайном, кубическим эрми товым сплайном) в данном контексте не является существе" ным и зависит от таких характеристик результатов аппрок"" 10.5.
Приближение кривых и поверхностей 301 Ф ~ни, как точность аппроксимации, гладкость аппроксимиру„~ей функции, трудоемкость вычислений и т.п. Поставим задачу следующим обраэо Дать аналитическое описание верхности, если известно некото- ° ~ ° ° е множество точек Р;(хд у;; х;), ~ = 0, а, лежащих на этой поверхности (рис. 10.9).
В основе аппроксимации Рис. 10.9 оверхности лежит ее параметрическое описание в виде х = х(и,о), у = у(и,е), г =г(и,ю) я сведение задачи к аппроксимации координатных функций ®(а,'е), у(и, о), л(и, о). Выбор параметрического представления поверхности не является однозначным и может значительно варьироваться. Естественно стремиться к выбору такого параметрического представления, при котором область изменения координат и и о на поверхности является прямоугольником ~в, Ц х ~с, с~, а точкам,Р; отвечают значения и; и и; в этом прямоугольнике, образующие прямоугольную сетку.
Если имеет место описанная ситуация, то задача аппроксимации поверхности сводится к простой интерполяции координатных функций. На практике такой параметризации поверхности, как правило, нет, т.е. нет никакой информации о том, как точкам Р следует сопоставлять значения и, и ц. Такую параметризацию иумсно воссоздавать в процессе построения аппроксимации поверхности.
Параметрическое описание поверхности можно рассматривать как задание на этой поверхности криволинейных координат, а криволинейные координаты характеризуются двумя семействами координатных линий и = сопас и о= сом1. Поэтому при аппроксимации поверхности ставят задачу провести «врез заданные точки Р; набор таких кривых на поверхно- 302 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Рис. 10.10 сти, которые можно было бы рассматривать как координатны линии в некоторой системе криволинейных координат на по верхности. Семейство кривых можно интерпретировать как семейство координатных линий, если никакие две кривые се.
мейства не пересекаются. Для точности аппроксимации так;к„ важно, чтобы соседние кривые (т.е. кривые, между которымя нет других кривых семейства) были близки друг к другу. Построив одно семейство кривых, затем можно построить второе семейство координатных линий, соединяя точки уже построенных линий. В результате поверхность разделится на части, которым в соответствующих криволинейных координа тах и, о отвечают прямоугольники.
Тем самым в координатах и, о возникает сетка, а дальнейшее решение сводится к интер. поляции сплайнами двух переменных координатных функцн~~ по построенной сетке. Изложим кратко схему реализации описанного метода аппроксимации поверхности с помощью сплайнов. Будем предполагать, что часть точек лежит на границе поверхности. Выберем на границе поверхности четыре точки А, В С, 0 из числа заданных (они будут образами вершин прямоугольника в координатах и, о). Выбор этих точек нужно делать с таким расчетом, чтобы на участках границы между ними оставалось примерно одинаковое количество известных точек.
Точки, не лежащие на границе поверхности, разделим на группы так, чтобы через каждую группу точек можно было провести кривую соединяющую дугу АВ границы поверхности с дугой ВС (значит, в каждой группе точек должна быть одна точка на дуге АВ и одна точка на дуге ВС). Такие кривые не должны пере- секаться. Допустимо, чтобы часть С заданных точек поверхности не по пала ни в одну группу.
В эти груп пы включим множество точек на А В дуге Ай границы области и мноЖе ство точек на дуге ВС (рис. 10 ~®' 10.5. Приближение кривых и поверхностей 303 До каждой из отобранных групп точек построим интерпоционную кривую, которую обозначим 4, Й = О,п„причем увал Ьо обеспечивает приближение дуги А,О, а кривая ܄— иближение дуги ВС. Все построенные кривые можно расатривать как интерполяцию некоторых реальных кривых, 1кащих на поверхности. Каждая кривая Ь1, представляет 6ой набор из трех сплайнов з «(т), 8„,1,(т), 8,,1,(7') с облаью определения [0,1] (т.е. т Е [0,1]). На практике следует едиться, что построенные интерполяционные кривые не песекаются.
На отрезке [О, 1], который является областью изменения раметра построенных кривых, сначала выберем некоторое збиение Т = (оо 111 $ ' ° ° 10тв1~ где О = оо < ц~ < " < Ъ = 1! и 1числим на кривой Ь1, координаты точек Рц, соответствуюих точкам о; разбиения Т: РЦ(зе,1,(Ц); З„,1,(иД;8,,1,(и )), 1'=О, т, 1=0, Я. Далее, для каждого индекса 1' по точкам Рц строим ин.рполяционную кривую Ь~, которая описывается тремя инфполяционными сплайнами з, (и), 8„,.(и), 8,, (и), и Е [О, 1].
зстроенные кривые не должны пересекаться. Тогда они будут ~ределять второе семейство координатных линий. На отрез- ' [О, 1] как области изменения параметра кривых Ь1 выбираем убиение Т с точками 0 = ио < и1 ... «и„= 1 и вычисляем ердинаты точек На последнем этапе в плоскости иОч на прямоугольнике =[0,1] х [0,1] выбираем сетку с узлами (и;;о.). По этой тке строим три сплайна двух переменных, которые в узлах 'й ю~) имеют значения координат точек Р;,. Три этих сплайна задают искомое приближение рассматриваемой поверхности. 305 Вопросы и задачи 10.3.
Постройте приближение заданной кривой эрмитовым интерполяционным сплайном по значениям координат точек кривой А1(1; 0' 0) Аг(0,697' 0 717; 0.8) Аз( — 0 ббб' 0.746'2,3). ,44(-1,00; 0,04; 3,1), А ( — 0,654; 0,757; 4,0), Ав(0,709; — 0,706; 5,5). 10.4. Постройте приближение заданной поверхности эрмитовым интерполяционным сплайном по значениям координат ее точек А~ (-1,031; 3,086; 0,563), Аз(-0 993' 3 039' — 0 568) А5(0,039; 2,001; 0,001), Ат(1 148' 3,232; — 0,540), Аэ(1 089 3 284' О 713) А (4,001; 8,288; 0,401), Аг(-1,159; 3,062; -0,011), А4(0,026; 2,000; -0,013), А6(0 042' 2 002 0 026) А8(1,283; 3,258; 0,089), А1о(3 650 8 208' — 1 582) А|г (3,330; 8,369; 2,327). 11. ДИ ФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ Теория поверхностей (см.
8) распространяется на общий случай п-мерного арифметического пространства как теори„ „многомерных поверхностей", или многообразий. В принцип„ вполне естественно в развитие теории поверхностей ввести по нятие многомерной поверхности как образа Функции многих переменных. Такой подход позволил бы объединить и теори® поверхностей, и теорию кривых в пространстве, но у него есть один недостаток. Уже в случае поверхностей мы столкнулись с тем, что такую „заурядную" поверхность, как сферу, целиком не удается представить с помощью функции двух переменных.
т.е. сфера как единое целое не укладывается в рамки теории. Выход состоит в том, чтобы с поверхностью ассоциировать не одну функцию, а некоторый набор функций, каждая из которых представляет лишь часть поверхности. Этот подход является развитием идеи, связанной с введением координипг ня поверхности, которые в теории многообразий являются, вообще говоря, локальными, т.е. действуют в некоторой окрестности заданной точки. Применение функций многих переменных для построения локальных координат позволяет использовать всю мощь дифференциального исчисления, которое, замечи" ориентируется на исследование локальных свойств функций.
11.1. Определение гладкого многообразия Под системой координат на произвольном мноМс стве М понимают правило, которое устанавливает взан"н мно однозначное соответствие между точками множества я и у"' 307 ! !.!. Определение гладкого многообразия „оченными наборами чисел х!, ..., х„фиксированной длины, ряд «яз ываемыми координатпами на множестиве М. Упоряяо оченный набор чисел х!, ..., х„можно рассматривать как ,фонетический вектор (элемент и-мерного линейного ариф~аического пространства В").
Таким образом, координаты «а множестве можно ввести с помощью некоторого отобража„«я Ь' М + Е", являющегося инъекчией (рис. 11.1). Отметим, „то, поскольку отображение Ь является инъекцией, оно име- т обратное отображение Ь ~: С -+ М, где С = Ь(М) С Е"— обяасть изменения отображения Ь. Рис. 11.1 Укажем на некоторое расхождение в основных понятиях теории поверхностей и рассматриваемой в этой главе теории многообразий.
В теории поверхностей (см. 8) поверхность задают отображением плоскости в пространство. В теории многообразий оперируют обратными отображениями, т.е. в данном случае отображением некоторого множества М в пространстве на плоскость. Это различие несущественно, так как "те, и другие отображения предполагаются инъективными. Оно лишь отражает сложившиеся традиции в этих теориях. В этой главе под функцией на множестиве М будем понимать произвольное отображение множества М в числовую ©еь В.
Если на множестве М введены координаты с помо- "®О отображения Ь: М + С, С С Е", то каждой функции ! на "ножестве М соответствует скалярная функция многих переМе енных ~о Ь-!: С-+ Е (рис. 11.2), которую можно рассматрить как представление функции у в заданных координатах И, ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 308 Рис.
11.2 Везде далее под емадким отпображением И" в И"' будем понимать функцию многих переменных, имеющую непрерывные производные всех порядков*. Отображение ~: М вЂ” ~ И множества М, на котором заданы координаты Ь: М вЂ” ~ С, С ф К", будем называть осадкой функцией ~неирерыеной функцией) на множестве М, если на множестве С гладкой (непрерывной) является скалярная функция ~о Ь 1. Замечание 11.1. Обратим внимание на то, что о природе множества М ничего не сказано, и в качестве этого множества может быть множество любой природы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
